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从频率的角度理解概率的意义
王建波

如何正确地理解和把握概率的意义，形成正确的随机观念是学习概率的一个重点，同时也是一个难点。同学们在学习概率的初期，难免对概率存在一些错误认识。建议大家在面对概率问题的时候，不妨多从频率的角度进行思考，多动手进行操作，通过活动和试验不断地体会概率的意义。
请先思考以下几个问题：
1. 如果某彩票的中奖率为1%，那么买100张这种彩票一定会中奖吗？（假设该彩票有足够多的张数）
2. 掷均匀的硬币100次，一定出现50次正面朝上的结果吗？
3. 今天北京的降水概率是50%，上海的降水概率是80%。假如今天北京下雨了，上海今天是否一定也会下雨？
对于问题1，由生活经验我们不难知道，买100张这种彩票也不一定会中奖。实际上，买100张彩票相当于做了100次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做100次的结果也是随机的。也就是说，每张彩票既可能中奖，也可能不中奖，因此这100张彩票中可能没有一张中奖，也可能有1张、2张……中奖。另一方面，虽然中奖张数是随机的，但这种随机性中具有规律性。随着试验次数的增加，即随着买彩票张数的增加，大约有1%的彩票中奖。实际上，我们可以算也：买100张彩票没有一张中奖的概率为，中奖的概率为。
对于问题2，不少人也许会有这样的误解：既然正面出现的概率为，那么掷100次硬币出现50次正面朝上是必然的，或者这个事件发生的概率应该很大。但实际上，掷100次硬币的结果也是随机的。也就是说，每次硬币既可能正面朝上，也可能反面朝上，因此掷100次硬币可能50次正面朝上，也可能49次、48次……正面朝上。另一方面，虽然正面朝上的次数是随机的，但这种随机性中具有规律性。随着试验次数的增加，即随着掷硬币次数的增加，大约有50％的次数正面朝上。实际上，我们可以算出：正好出现50次正面朝上的概率大约为0.08。
对于问题3，我们考察北京历史上的天气记录，如果和今天在大气压、云层、气温等天气条件方面相同的天数是100天，而其中有50天降雨了，那么就说今天北京的降水概率是50%。今天上海的降水概率是80％的道理也一样。也就是说，“今天降雨”是一个随机事件，今天北京的降水概率是50%，上海的降水概率是80％，只是说明今天上海降雨的可能性比北京大，并不表示今天北京降雨了上海就一定会降雨。如果今天北京降雨了而上海没有降雨，这只能说明可能性较小的事件发生了而可能性较大的事件却没有发生。这也正体现了随机事件发生的不确定性。
由上面的几个问题我们不难体会到：随机性是概率中的一个基本概念。它包括两个方面：单一事件的不确定性和不可预见性；事件在经历大数次重复试验中表现出的规律性，在现实生活经验的基础上，我们比较容易接受事件发生具有不确定性和不可预见性，但仅靠平时一些零散的生活经验，往往难以理解不确定性背后会有规律可循，难以想象为何重复试验有利于发现规律，且重复大数次比重复小数次获得的规律更可靠。因此，我们在学习概率的过程中，特别要注意以下几个问题：
1. 在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件出现的频率应该稳定于该事件发生的概率。事件发生的频率与概率既有区别又有联系：事件发生的频率不一定相同，是个变数，而事件发生的概率是个常数；但它们之间又有密切的联系，随着试验次数的增加，频率越来越稳定于概率。
2. 在具体操作过程中，大家往往发现：虽然多次试验结果的频率逐渐稳定于概率，但可能无论做多少次试验，两者之间存在着一定的偏差。应该注意：这种偏差的存在是经常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影响，通过试验得到的估计结果往往不太理想，甚至有可能出现极端情况，此时我们应正确地看待这样的结果并尝试着对结果进行合理的解释。对试验结果的频率与理论概率的偏差的理解也是形成随机观念的一个重要环节。
3. 在实际应用中，当试验次数越大时，出现极端情况的可能性就越小。因此，我们常常通过做大量重复试验来获得事件发生的频率，并用它作为概率的估计值。试验次数越多，得到的估计结果就越可靠。

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