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圆知识点汇总（一）
一、圆、垂径定理
1、圆的定义及表示法
（1）圆的定义1：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点A随之旋转所成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心。线段OA叫做半径（如图1-1）。
（2）圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
（3）圆的定义2：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。（圆实一条闭合曲线，不包含中间的部分）
确定一个圆的要素是圆心和半径。
2、与圆有关的概念
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）直径：经过圆心的弦是直径。注意：圆中有无数条弦，其中直径是圆中最长的弦。
（3）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
（4）半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆。（画图判断带弦的不叫弧，叫弓形）
（5）优弧：大于半圆的弧叫做优弧。优弧CAB，记作“”，如图1-2。
（6）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。劣弧表示时只需两个字母。
（7）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
（8）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
（9）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
（10）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
判断：长度相等的弧叫做等弧。（×）
3、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
注意：（1）圆的对称轴有无数条。（2）错误说法：圆的对称轴是直径。因为直径是弦，弦是线段，所以直径是线段，而对称轴是直线。应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”。
4、垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
5、垂径定理的推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（4）在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等。如图1-3，= 。
③AE=BE
④=
⑤=
6、垂径定理的基本图形（如图1-4）

②CD⊥AB
①CD为直径
几何语言表述：

垂径定理的五个基本条件：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。在这五个条件中，知道其中任意两个即可推出另外三个（知二推三）。特别注意：（1）（3）时“平分弦”中的“弦”不能是直径。
判断：平分弦的直径垂直于弦。 （×）
7、弓高（拱高），弦心距
一条弦的中点和它所对的弧的中点所连线段叫做弓形的高，圆心到弦的距离叫弦心距。
8、半径、弦长、弓高及弦心距之间的关系
设圆的半径为R，弦长为a，弦心距为d，弓高为h，则
d+h=R；d2+（）2=R2
在R、a、d、h这四个量中，已知其中两个量即可求出另两个量。图1-5是垂径定理三角形的基本图形。
9、证明点共圆的方法
要证明几个点在同一个圆上，根据圆的定义，可以证明几个点到某一个定点的距离相等，那么这些点就在以这个定点为圆心，以其中一点到定点的距离为半径的圆上。
注意：这个定点可能是已知的，也可能是未知的，要是未知的就要先设法找到它。
掌握方法：如何确定到三个点距离相等的点的位置，三点所连线段中任意两条垂直平分线的交点。
10、常用辅助线：作半径和弦心距，构造直角三角形进行计算。

二、弧、弦、圆心角、圆周角
1、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，围绕圆心任意旋转一个角度α，都能够与原来的图形重合。
注意：①圆不但是轴对称图形，还是中心对称图形。②实际上，圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
2、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆心角、弧、弦、弦心距四者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等；②所对的弧相等；③所对的弦相等；④所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项都相等。可简记为：“等角对等弧”、“等角对等弦”、“等弧对等角”……
圆心角定理基本图形，如图2-1，在⊙O中，OM⊥AB，OM′⊥A′B′，则
∠AOB=∠A′OB′
①
②
③

OM=OM′
①
②
③
①
②
③
AB=A′B′

5、圆心角度数定理
（1）把顶点在圆心的周角分成360等份时，每一份的圆心角是1°的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被分成360等份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。
定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。
（2）圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对弧的度数相等。
6、圆周角
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
7、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
如图2-2，写出等量关系式：∠ACB=∠ADB=∠AOB
8、推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
简记为：“等弧对等角”、“等角对等弧”（角既可以是圆心角，也可以是圆周角）
推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
简记为：“直径对直角”、“直角对直径”
如图2-3，① ∵AB是直径 ∴∠ACB=90°
② ∵∠ACB=90° ∴AB是直径
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。如图2-3所示：∵CD=AD=BD（或CD=AB） ∴△ABC是直角三角形
9、辅助线作法小结
（1）当已知中有弦的中点时，常常连接圆心和中点，进而利用垂径定理、勾股定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理；另外，当要证明同一圆中的两条弦相等时，也常常作弦心距（即过圆心作弦的垂线段）。
（2）在计算弧的度数时，或者有等弧的条件时，或需要证明等弧时，常连接半径作出弧所对的圆心角。
（3）当条件中有弧的中点或需要证明弧的中点时，常有以下几种作辅助线的方法：①连接弧的中点与圆心，构造半径；②连接等弧所对的弦；③作等弧所对的圆心角。