第5章留数.doc

第5章 留数及其应用
5.1 孤立奇点
奇点的分类是计算留数的基础.
5-1 函数在点是（ ）.
（A）本性奇点 （B）可去奇点 （C）一级极点 （D）二级极点
解 故是它的一级极点. 选（C）.
5-2 是函数的（ ）.
（A）本性奇点 （B）可去奇点 （C）一级极点 （D）非孤立奇点
解 取为任意非零整数，皆有，因而在的任一邻域皆有此函数的无限个奇点. 选（D）.
5-3 是函数的（ ）.
（A）本性奇点 （B）二级极点 （C）一级极点 （D）三级极点
解 由及但，故是此函数的二极点.
5-4 是函数的（ ）.
（A）本性奇点 （B）一级极点 （C）可去奇点 （D）二级极点
解 故是此函数的本性奇点.
选（A）
5-5 若在点的罗伦级数有无限项，但不出现的正整数幂的项.则点的函数的（ ）.
（A）本性奇点 （B）极点 （C）解析的点 （D）可去奇点
解 设，则.从而是的可去奇点. 选（D）.
用罗伦级数展开计算留数是基本方法之一.
5.2 留数与留数定理
5-6 （ ）.
（A）0 （B）1 （C）2 （D）
解 选（B）.
当时，，这些，均与实函数是一致的.

5-9 （ ）.
（A） （B） （C） （D）
解
因此， 选（B）.
是偶函数
5-10 （ ）.
（A）0 （B）1 （C） （D）
解 ，故 选（A）.
5-11 （ ）.
（A）0 （B）1 （C） （D）
解 故 选（D）.
在处的留数，也可令.
5-12 （ ）.
（A）0 （B）1 （C） （D）
解 ，故 选（C）.
5-13 （ ）.
（A）1 （B） （C） （D）
解 选（A）.
故
要注意求点的留数，要展成的罗伦级数.
5-14 （ ）.
（A）0 （B） （C） （D）
解
其罗伦级数不含的项，故. 选（A）.
也可令来作.
5-15 （ ）.
（A）1 （B） （C） （C）
解

选（D）.
5-16 （ ）.
（A） （B） （C） （D）
解 而
的罗伦级数中不出现的项，故 选（B）.
对本性奇点求留数一般都用罗伦展开，试总结以上各题求留数方法.
5-17 （ ）.
（A）0 （B）1 （C） （D）
解 ，不出现的项. 选（A）.
5-18 设，而在点解析，，则是的级极点，则（ ）.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）0
解 由是的一级零点，故是的二级极点. 选（B）.
本问题是要读者灵活运用求极点处留数的方法，不要硬套公式.
5-19 设是的三级极点，则（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
解 设
则
故
选（C）.
先分清极点的级数，再求留数.
5-20 （ ）.
（A）0 （B）3 （C）1/3 （D）1
解 是的二级零点；是三级零点，因此，是的一级极点.
选（B）.
是的一级极点.
5-21 （ ）.
（A）0 （B）1 （C） （D）2
解 选（C）.
是的一级极点.
5-22 （ ）.
（A）1 （B） （C） （D）
解 选（B）.
5-23 （ ）.
（A）2 （B） （C）4 （D）
解 选（A）.
是的一级极点.
5-24 （ ）.
（A） （B） （C） （D）
解 .故
选（A）.
由与是等价无穷小知
5-25 （ ）.
（A）0 （B）1 （C） （D）2
解 在0点解析，而
，故. 选（B）.
时，是一级零点.
5-26 （ ）.
（A）0 （B）1 （C） （D）2
解 选（D）.
是的4级零点.
5-27 （ ）.
（A）1 （B） （C）2 （D）0
解 选（C）.
在是一级零点.
5-28 （ ）.
（A） （B） （C）1 （D）
解 令，则

而 选（B）.
在时是一级零点.
5-29 （ ）.
（A）0 （B）1 （C） （D）2
解 ，而，故留数为0. 选（A）.
直接用是的一级极点也可得到相同结果.
5-30 函数在解析，以为一级极点，且留数为1，则（ ）.
（A） （B） （C） （D）
解 记

则 故
选（A）.
注意是函数的二级极点.
5-31 （ ）.
(A)0 (B)1 (C) (D)2
解 选（B）.
这里时也称为偶函数，则偶函数在的留数为0.
5-32 （ ）.
（A）0 （B）1 （C） （D）
解 是偶函数，罗伦级数中不出现的项，故. 选（A）.
若令则在是三级极点，求留数可得相同结果.
5-33 （ ），（为一整数）.
（A） （B） （C） （D）2
解

选（B）.
注意是函数的二级极点.
5-34 ( ).
(A) (B) (C) (D)
解 选（C）.
偶函数在0点的留数为0.
5-35 （ ）.
（A）0 （B）1 （C） （D）
解 的罗伦展式中不出现的项. 选（A）.
5-36 （ ）.
(A) (B) (C) (D)
解 ，故. 选（C）.
虽然本题函数在是三级极点，但这样作更简便.
解2用罗伦展开法作更简便.
5-37 （ ）.
（A）0 （B） （C） （D）
解1
故
解2
故 选（C）.
是3级极点但这样作更好.
5-38 （ ）.
（A） （B） （C） （D）
解 ，故 选（A）.
5-39 （ ）.
（A）0 （B） （C）1 （D）2
解 选（B）.
用罗伦展式作更简单.
5-40 （ ）.
（A）1 （B）-1 （C） （D）
解

选（C）.
5-41 求证，如果是的级零点，那么是的级零点.
证
故

在解析，且，故是的级零点.
洛必达法则可用于复变函数的极限.
5-42 如果和是以为零点的两个不恒等于零的解析函数，则
（或两端为）.
证 设均解析.
若，则
及是明显的，故只要证明的情况.

而
注意和皆是函数的孤立奇点.
5-43 判定孤立奇点的类型，并求相应奇点处的留数.
解 （1）是一个孤立奇点.
而，故这是可去的奇点从而
（2）
因此，和均是此函数的一级极点，且

中无项.
5-44 证明：若以为一级极点，则
证 记在是解析函数，则

即在点的罗伦级数中，不含的项，故.
5-45 函数在的奇点类型与留数是什么？
解 由于在为任意正实数）解析，故且故是的本性奇点，而

故
注意求在点的留数的公式.
5-46 求函数在点的留数.
解1 由
而
故的项系数为

解2 在有限点有是一级极点

故
也可用，故是的一级极点.
5-47 已知在内解析，且，证明是的一级极点且
证 由在内解析，知

而由知上述展开的负幂次项有且仅有的一项，故是一级奇点.
且
注意本题与对数留数的联系.
5-48 已知以为级零点，证明
证 记在0点解析，且，于是

由，知在0点解析，故

应将这些与对数留数相联系（5-48题、5-49题）.
5-49 已知是函数的级极点，证明
证 设在解析，且，于是

在解析，故

注意在内有个奇点.即而求用洛必达法则作更简单.
5-50 （ ），（是正整数）.
（A）0 （B） （C） (D)
解 记是的个根，则这个点皆是被积函数在内的一级极点，故

故 选（B）.
故是的一级极点.
5-51 （ ）.
（A） （B）0 （C） （D）
解 在内被积函数有三个奇点：是一级极点，也是一级极点.

留数和为，积分为 选（D）.
而故是的一级极点.
5-52 （ ）.
（A） （B） （C） （D）
解 在内有2个一级极点.

留数和为，积分为. 选（B）.
5-53 （ ）.
（A） （B） （C） （D）
解
，故积分值为 选（A）.
有5个根，均分布在单位圆上.故
5-54 （ ）.
（A）0 （B） （C） （D）
解 设和是的5个不同的根，则在内被积函数有5个一级极点即，因此，留数和为，从而积分为0. 选（A）.
注意时，因此是的本性奇点.
5-55 （ ）.
（A）0 （B） （C） （D）
解

积分值为 选（C）.
5.3 对数定理在计算实积分中的应用
5-21 ，则（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
解
令，
则
选（A）.
5-22 计算积分
解 由，得
（1）是的三级零点；（2）在内无零点：

而
故

5-23 计算是正整数.
解 在内，是的唯一的本性奇点，且

故
于是
5-24 求的值.
解 是被积函数的二级极点，由于其罗伦级数中无的项，故

在中，尚有两个一级极点.

故奇点处留数之和为0，所求积分为0.
5-25 计算
解 令，则
原积分
若，则有两个零点，仅有在内，

于是
5-26 计算
解 令
原积分
在内仅一个一级极点.

故

5-27 计算积分
解 记

5-28 计算积分
解 原式

5-29 计算
解 原式
5-30 计算
解 原式

5.4 * 对数留数与辐角原理
5-31 叙述函数的对数留数的概念及其与的零点与极点的关系.
解 设在简单闭曲线上解析，且在上，则称积分为关于曲线的对数留数，很明显它是的对数函数在所围区域内部的留数的代数和，关于的对数留数与在所围区域内部的空点与极点的关系可用下面定理来表述.
定理：设在简单闭曲线上解析且不为零的函数在所围区域内有个零点，和个极点（除这些极点外处处解析），在计算零点与极点的个数时，级的零点或极点均算作个（重）零点与极点.则

5-32 叙述辐角原理与路西（Rouche）定理.
解 如果在简单闭曲线及其所围区域内解析，且在上，那末，在内零点的个数，等于乘以当沿正向绕行一周时辐角的改变量.
路西定理：设与在简单闭曲线上和内解析，且在上满足，那么在内与的零点个数相同.
5-33 利用对数留数计算以下各题：
（1） （2） （3）
解 （1）记在内有2个零点，故

（2）在内有两个零点：

（3），而在中与均是一个零点，故

5-34 证明在单位圆内有5个零点.
证 令
则在上，

而

而在内有5个零点，在内也有5个零点.
5-35 证明次代数方程

有个根.
证 取是充分大的正实数，及，于是

于是，取
则在上，有
与在内有相同个数的零点，而有个零点，故有个零点，即方程有个根.
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