复变函数留数复习题.doc

5.1指出下列函数的奇点及其类型，若是极点，指出它的级：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）；（7）；（8）。
解：（1），奇点：1（二级极点），-1（一级极点）；
（2）奇点：0（三级极点），（二级极点）；
（3），为本性奇点；
（4）令，得：，
因为，所以是一级极点；
（5），是可去奇点；
（6），且是的一级极点，是的三级极点，所以是 的二级极点；
（7）是的三级零点，所以是的三级极点，
均为一级极点；
（8）
是一级极点。
5.4求下列函数在各有限奇点处的留数：
（1）；；（3）；（5）；
解：（1）
；
（3）是三级极点，
，
；
（5），
；
5.6计算下列函数在的留数：
（1）；（2）；（3）；（4）
解：（1）
展开式中不含正幂项，所以是的可去奇点，且，
所以；
（2）
是的本性奇点，；
（3）

是的可去奇点，；
（4）
展开式中含无穷多正幂项，所以是的本性奇点，
，
所以。
5.7证明：若是的的级零点，则是的一级极点。
证明：是的级零点，可设，
其中在点解析，且，
，

函数，在点均解析，
，且是的一级零点，
所以是的一级极点。
5.9利用留数定理计算下列积分：
（1）；（2）；
（3）；（4）。
解：（1）被积函数有和两个极点在圆内，

（2）被积函数有3个一级极点，，均在圆内，

（3），，所以是的可去奇点，则
，

（4）被积函数有，和6个极点在圆内，

5.10计算下列积分：
（1）；（2）；
（3）；（4）。
解：（1）有限极点均在内，

（2）有限极点均在内，

（3）内只有一个一级极点：，

（4）

所以，

5.11计算下列积分：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（8）
解：（1）被积函数的分母在内不为0，所以积分有意义。

的两个极点中只有在圆内，
所以

（2）
设，

（3）令，在实轴上无奇点，
在上半平面有两个一级极点，

（4），
令，在实轴上恒不为0，在上半平面有2个一级极点：，，

（5）令，在上半平面有1个一级极点，

所以