《信号检测与估计》简明讲义.doc

信号检测与估计讲义

一、 课程目的：
了解随机信号分析基本手段，掌握信号检测与参数估计的基本概念、方法及其应用。

二、 主要内容：
第一部分： 随机信号分析
1、随机信号处理基础
信号分类、信号的频谱分析、随机变量及其数字特征、随机变量的特征函数、信号处理新方法
2、随机信号分析
随机过程及其相关概念、随机过程的数字特征、线性系统与非线性系统对随机信号的作用、随机信号的高阶谱
第二部分： 信号检测
1、信号检测的基本理论
假设检验的基本概念、判决法则、M择一假设检测、序列检测—瓦尔德检测
2、确知信号检测
匹配滤波器、卡享南—洛维修展开、高斯白噪声中的信号检测
3、随机参量信号检测
复合假设检测、随机相位信号的非相检测、最优接收机、随机相位和振幅信号检测、随机频率信号检测、随机到达信号检测、随机频率和随机到达信号检测
4、脉冲串信号检测
确知脉冲串信号检测、随机参数脉冲串信号的检测
5、非参量检测
6、鲁棒性检测
第三部分：信号估计
1、参数估计
贝叶斯估计、最大似然估计、伪贝叶斯估计、线性均方估计、最小二乘估计
2、信号波形估计
维纳滤波、离散线性系统模型、正交投影、卡尔曼滤波
3、功率谱估计
经典谱估计方法
4、随机信号的双谱估计

三、 学习方法和方式：
课堂讲授与课后讨论相结合，注意从内容学习到方法学习和思想学习的升华

四、 考核方式：
开卷书面考试
第一部分：随机信号分析
第一章 信号处理基础
§ 1.1 信号处理概述
一、信号及其分类
信号是承载信息的物理量，信息是指消息中所包含的有效内容，或者说受信者预先不知而待知的内容。音频，视频，语音，图像，地震波，通信信号，雷达信号，声纳信号，医学图像和音乐信号等都是常见的信号。
根据不同的标准，信号可以分为以下几种:
1、确定性：
确定信号：是指其取值在任何时间都是确知的或可预知的信号，通常可用数学表达式表示它在任何时间的取值。例如，振幅、频率和相位都是确定的一段正弦波，它就是一个确知信号。
随机信号：是一类随时间作随机变化的信号。例如，噪声，电磁波的传输路径。虽无法用数学表达式表示它在某时刻的取值,但其具有一定的统计特性。
2、时间特性：信号自变量取值特性
连续信号（模拟）：自变量、取值均连续的信号。
离散信号（数字）：自变量离散，取值有可能连续。
3、周期性：
连续周期信号：
离散周期信号：
4、能量信号与功率信号
能量信号：若平方可积，即,则其是能量信号；如数字信号的一个码元就是一个能量信号。
功率信号：若不能平方可积，令,若P为不等于零的常数，则其是功率信号。
若一个信号的能量有界则为能量信号；若一个信号的功率有界则为功率信号；一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但少数信号既不是能量信号也不是功率信号，如.
例1-1 试问 是什么信号？
解： 因为，所以是能量信号。
例1-2 是什么信号？
解：因为

所以是功率信号。
例1-3 是什么信号？
解： 因为

所以是其他信号。
二、信号的频谱分析
任一实信号，只要符合Dirichlet条件:
（1）如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；
（2）极大值和极小值的数目应是有限个；
（3）信号是绝对可积的
都可以分解为一系列不同频率的正弦（或余弦）分量的线性叠加；每一个特定频率的正弦分量都有它相应的幅度和相位, 即其幅度和相位分别是频率的函数,也即其复数幅度是频率的函数。这种幅度（或相位）关于频率的函数，就称为信号的频谱。当把信号频谱，即幅度（或相位）关于频率的变化关系用图来表示，就形成频谱图。从频谱图上，我们既可以看到这个周期信号由哪些频率的谐波分量（正弦分量）组成；也可以看到，对应各个谐波分量的幅度，它们的相对大小就反映了各谐波分量对信号贡献的大小或所占比重的大小。
这样，信号一方面可用一时间函数来表示，另一方面又可以用频率函数来表示。前者称为信号的时域表示法，后者称为信号的频域表示法。无论是时域（时变函数），还是频域（频谱），都可以全面的描述一个信号。因此，经常需要把信号的表述从时域变换到频域，或者频域变换到时域，以及两者之间的关系。这种转换关系可以通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。

三、实信号的复数表示
物理可实现的信号都是时间的实函数，其在各时刻的函数值都是实数。如正弦信号，信号噪声。实信号的频谱是复共轭对称的:

从上式可以看出:
2、 解析信号和Hilbert变换
为s(t)的解析信号

显然，由x(t)求其Hilbert变换相当于对x(t)作一次滤波，滤波因子为 h(t)=
设相应的频率响应即Hilbert滤波器的频谱为H(f):

所以 其中
可见，一个信号经Hilbert变换后相位谱要做90度的相移，故称Hilbert变换为90度相移滤波器，或垂直滤波。
Hilbert逆变换
由于
即Hilbert逆变换为：

注：x(t)的Hilbert逆变换为，而的Hilbert变换为-x(t)。
3、 实信号复数表示的必要性
h(t) H(w)
证明：F[sgn(t)]=根据对称性得到，所以。其中sgn(t)为门函数。
§ 1.2 随机变量与特征函数
一、随机变量
1、随机变量的定义
设E是一随机试验，是其样本空间，是定义在上的随机变量, 或具有确定概率，则是随机变量。根据的连续性，将其分为连续/离散随机变量。
2、 分布函数及概率密度函数
离散型：设离散型随机变量分布律为
由概率的可列可加性得X的分布函数为
连续型： 表示概率密度
分布函数的特性：
连续型： ，非负有界性，单调非递减
离散型：，非负性 单调非递减
3、常见的随机变量
① 二项式分布
二项分布即重复n次的伯努利试验。每次试验只有两种可能的结果，实验间相互独立，且结果事件发生的概率在整个试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利试验。当n=1时，这个特殊二项分布就会变成两点分布,即两点分布是一种特殊的二项分布。

设随机变量取零和正整数：。其概率为：
， 其中

证明:由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p.因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和.
设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+...+X(n).
因X(k)相互独立,所以期望：E(X)=E[X(1)+X(2)+...+X(n)]=np.
方差：D(X)=D[X(1)+X(2)+...+X(n)]=np(1-p).
② 泊松分布
泊松分布是18～19 世纪的法国数学家Siméon Denis Poisson在1838年时发现，但是这个分布却在更早些时候由贝努里家族描述过。泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率，泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数，如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。

设随机变量取零和一切正整数：。其概率为：
，为正实数
EX=;DX=
③ 均匀分布
随机变量取值在，且在其间处处有相同的分布密度，记为X~U[a,b]：

EX=;
DX=
设连续型随机变量X的分布函数为 F(x)=(x-a)/(b-a)，a≤x≤b。
④ 高斯分布
高斯分布又称正态分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为的高斯分布，记为N(μ，)。期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。 其概率密度函数为 EX=;DX=
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低。σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡。在正态曲线下方和x轴上方范围内区域面积为1。3σ原则：P（μ-σ<X≤μ+σ）=68.3%
P（μ-2σ<X≤μ+2σ）=95.4%
P（μ-3σ<X≤μ+3σ）=99.7%
4、 多维随机变量
科研和生产实践中,许多随机现象往往需要涉及到两个或两个以上的随机变量的概率分布问题.如射击时单孔在靶面上的坐标. 二维随机变量 (X,Y) 的性质不仅与X及Y有关， 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系，不仅要将(X,Y) 作为单个地研究 X 或 Y 的性质还不够，还要将其一个整体来研究。将二维随机变量（X,Y)作为整体，有分布函数F(x,y),其中X和Y都是随机变量，它们的概率密度函数和分布函数的关系为：

边缘分布：
边缘概率密度：

与一维分布函数类似, F( x, y)是变量 x 和 y 的不减函数且右连续
5、独立的概念
独立：随机变量X和Y是相互独立的充要条件是其概率密度函数满足:

二、随机变量的数字特征
用概率分布函数和概率密度函数可以准确而全面的描述随机变量的分布情况，但在许多实际问题中，往往只需要知道随机变量可能取值的平均数以及取值分散的程度等特征，即可以明确随机变量的性质。
1、 数学期望
数字特征量表征随机变量分布的平均值。对于离散型随机变量，它的取值为，，...,对应的概率分布函数为，，...，均值实际上是X的加权平均。对于连续性随机变量，若其概率密度函数为f(x),则x取值为的概率为f(x)dx,因此连续性随机变量的数学期望是积分形式。

数学期望的性质：
(1) E(c)=c c为常数
(2)
(3)

(4) E(aX+b)=aE(x)+b
(5)

2、 方差
方差表征随机变量对其数学期望的离散程度。方差值小，随机变量的值在其数学期望值左右分布越集中，数学期望E(x)愈能代表x取值的平均水平。

证明：

方差的性质：
①

②
③

3、矩
矩是描述随机变量概率分布的宏观特性的一类常用量。概率论中矩的概念与力学中矩的概念是类似的，如果将概率分布类比物体的质量分布，则数学期望相当于重心，二阶矩相当于转动惯量等等。由于各种矩在描述和确定概率分布时常起重要作用，因而它们在概率论与数理统计中有广泛运用。
设X为一随机变量,F(x)是它的分布函数。对于任一正整数k，的数学期望E()称为X的看k阶原点矩。称为X的k阶中心矩。
① R阶原点矩
注：其一阶原点距为该变量的期望值
② K阶中心矩
=
注：一阶中心矩为0，其二阶中心距为该变量的方差
③ 设X与Y是两个随机变量,F(x,y)是它们的联合分布函数,则对于任何正整数i,j,还可以定义X与Y的i+j阶混合原点矩。X、Y的（i+j）阶混合矩（混合原点矩）:
注：当i=1,j=1时为X,Y联合分布的期望值
④ X、Y的（i+j）阶混合中和矩

其中 协方差
注：当X=Y时
⑤ 归一化协方差
定义: 称为随机变量X与Y的相关系数
x.y互不相关
E(xy)=0 x.y正交 独立一定互不相关
p(x.y)=p(x)p(y) x.y独立 不相关不一定独立
协方差具有下述性质：
① Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
证明：

② Cov(,Y)=Cov(,Y)+Cov(,Y)
证明：

4、随机变量的变换

单值：X x+dx p(x)dx
Y y+dy p(y)dy

多值： y

例：X正态分布，期望，方差，,求p（y）。
解：
对于y<0,显然有
对于y，

所以得到分布函数：
由此可得到密度函数

X，Y相互独立，Z=X+Y,则
例：电阻的阻值是20K，误差是，都符合均匀分布。如果进行串联，误差不超过的概率是多大？
解：令Z=X+Y
40（）=

三、 随机变量的特征函数
在概率论和数理统计中，求独立随机变量和的分布问题是经常遇到的问题，特征函数是处理许多概率论问题的有力工具，它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算。
1、随机变量特征函数定义：

特征函数与其概率密度函数构成一对傅立叶变换对

利用特征函数，可以确定随机变量经过某种变换后的概率密度函数
2、特征函数的性质
(1)总是存在
(2)
(3)
(4)
(5)若Y=g(x)=ax+b a、b是常数 , 则
证明：
==
（6) 若、独立，其特征函数、，. 则.即独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。 证明：
=.
=

注：时域的卷积等于频域的乘积
（7） 如果两个随机变量具有相同的特征函数，那么它们具有相同的概率分布； 反之， 如果两个随机变量具有相同的概率分布， 它们的特征函数也相同)。
（8） 在一致连续。
（9） 非负定性。随机变量的特征函数是非负定的，即对任意正整数，及个实数和个复数，有
.
证明 设是连续随机变量，其密度函数为，则有
==
==
3、常用分布的特征函数
（1）单点分布：P(X=a)=1,其特征函数为

（2）0-1分布：，X=0，1，其特征函数为
，其中，q=1-p.
（3）泊松分布：，其中k=0,1,...,其特征函数为

（4）均匀分布U(a,b),因为密度函数为

所以特征函数为：
（5）标准正态分布N(0,1）：因为密度函数为
，
所以特征函数为
= 其中，
4、特征函数与原点矩的关系

上式说明矩函数可由特征函数唯一的确定。
5、多维特征函数
① 、随机变量联合概率密度函数

② 、统计独立
③

第二章 随机信号分析
§ 2.1 随机过程
一、随机过程的定义
具有随机性的时间函数称为随机信号，或随机过程X(t)
二、随机过程与随机变量的关系：
为X(t)的实现/样本函数

X(t)是一个随机变量 表示X(t)的时间序列

的概率分布函数

X(t)的概率分布函数

三、随机过程的数学特征
1、数学期望

2、 方差

3、 自相关函数

反映的是随机过程的两个不同时刻之间的依赖程度
4、 矩函数
随机过程X(t)的n阶原点矩函数为
均值为一阶原点矩，自相关函数为二阶原点矩
5、 自协方差函数

6、统计独立，不相关，正交
若 独立
正交
互不相关
四、 随机过程的特征函数
1、随机过程的一维特征函数为

2、随机过程X(t)的n维特征函数为

五、 平稳随机过程
1、 平稳随机过程的定义
① 狭义平稳随机过程：
在任何时刻随机过程的统计特性都是一样的随机过程称为狭义随机过程，即：

② 广义平稳随机过程：
随机过程X满足：

被称为广义平稳随机过程
③ 平稳随机过程的相关函数及其性质
相关函数：
性质：
⑴
⑵
⑶

同理有：
⑷ 若为周期随机过程，周期为，即，则

⑸ 平稳随机过程的自相关函数，对于任意时刻和任意函数都有：成立
⑹ 对于非周期的平稳随机过程，若和在时统计独立，则：，
⑺

⑻
⑼ 相关系数

④ 平稳随机过程的互相关函数及其性质
互相关函数：
若和为平稳随机过程，则仅与有关，并称和之间是广义联合平稳的。
若和为平稳随机过程，其互协方差函数为：

和之间的相关系数为：
互相关函数的性质：
⑴ 若、统计独立，则：

⑵ 若、互不相关，则：

⑶ 若 或

则、互为正交。
⑷
⑸
，即
对于任意都成立，则：
，即
同理： ，
⑹
，
又由于任意两个正数的算术均值总大于其几何均值，即

2、 平稳随机过程的功率谱密度
功率信号功率谱密度
能量信号能量谱密度
平稳随机过程既非周期，又是能量无限，为功率信号
设平稳随机过程的某样本函数的平均功率为：

若存在，则

被称为的功率谱密度函数，简称功率谱。
为随机过程的平均功率谱，简称功率谱。
3、 维纳－辛钦定理

证明：=====
=
==
令，，则有，。
将变量变换为，其雅可比行列式，则
=
=
==
§ 2.2 随机信号通过线性系统
一、 线性时不变系统
1、 线性时不变系统的定义
2、 LTI系统的性质
① 可加性
② 比例性
3、 LTI系统的冲激响应

4、 LTI系统的频率域响应

二、 平稳随机过程通过连续时间的LTI系统
1、 若输入为平稳随机过程，则输出也为平稳随机过程
2、 LTI系统响应的矩分析

若输入为平稳随机过程，则输出也为平稳随机过程；且、联合平稳。
3、 LTI系统响应的频域分析

§ 2.3 随机信号的高阶谱
随机信号的高阶谱较二阶统计量可以提供更多有用信息，能有效的检测出随机信号除幅度之外的其他信息。
随机信号的高阶谱常用于：① 提取随机信号本身偏离高斯性的信息，因为对于高斯过程来讲，其三阶以上各阶统计量恒为零；② 高阶统计量可以估计非高斯参量信号的相位 ③ 利用高阶统计量可以分析具有随机激励系统的非线性特性。

一、 高阶统计量
1、 高阶统计量的定义
表示具有有限阶矩的随机变量，其特征函数为：

若设由各随机变量组成一个随机变量矢量，则定义其联合特征函数为：，其中 。
定义其阶累计量生成函数为：

在各态历经的随机序列中，阶随机变量的阶联合累计量为：
其中：。
阶随机变量的阶联合矩为：
其中：
对于零均值的随机变量来讲，当时，其三阶以下的累计量和矩时等价的。
2、 随机过程高阶累计量的定义
假设为一零均值阶平稳的随机过程，且满足各态历经性，其阶累计量定义为随机变量的联合阶累计量，表示为：

随机过程高阶累计量还可定义为：
若为一零均值阶平稳的随机过程，为一高斯随机过程，若和具有相同的自相关系数，则的阶累计量定义为：

具有任意自相关系数的高斯过程，其高阶累计量恒为零，其高阶矩不恒为零。
3、 高阶累计量的应用
的阶累积量的物理意义是的阶矩偏离高斯过程阶矩的程度。
服从拉普拉斯分布，均匀分布，需用四阶累积量进行有关问题的研究。若服从指数分布，瑞利分布及分布，可使用三阶累积量，若其四阶累积量存在但大于三阶累积量时可使用四阶累积量。
二、 高阶谱
1、 高阶谱的定义
设实随机变量序列均值为零，阶平稳，其阶累积量存在，则的阶谱为：
阶谱又称累积量谱或者多谱
当时，，称为双谱 ，用表示。
三、累积量与双谱的性质
1、累积量的性质：
①
②
式中是的一个排列
③
④为常数，
⑤若与彼此统计独立，则

⑥ 若中一部分随机变量与其他部分的随机变量统计独立，则：

2、双谱的性质
① 双谱是一个复数，可以计算出其振幅谱和相位谱
② 双谱是以2为周期的双周期函数

③ 双谱具有以下对称关系

④ 对于持续时间有限的随机序列，如果其离散时间的付利叶变换存在，则

⑤ 对于三阶平稳的零均值非高斯白噪声序列，有

⑥ 若为一零均值的高斯平稳随机序列，对于所有的，有：

即，高斯过程的双谱为零。
⑦ 随机过程的二阶及三阶矩均不能检测信号的线性相移信息
设功率谱和双谱分别为 和
若，N为常数，则：

⑧ 双谱具有检测信号平均相位耦合信息的能力
四、线性系统分析
1、非高斯过程通过线性系统
若设输入为零均值非高斯序列，功率谱为，双谱为
输出为
若考虑噪声，则输出为
自相关

若为一平稳非高斯过程，为一高斯白噪声，则：

可进一步化简可得：输出高阶累积量是输入高阶累积量与线性系统的多重卷积,即
2、 线性系统的冲激响应
输入，输出

已知 ， 由
事实上X未知且有噪声，很难得到，但由高阶累积量可以进行，参看有关资料。
第二部分：信号检测
第三章 信号检测的基本理论
§3.1 假设检测的基本概念
一、假设检测基本理论模型

信源：0/1；信道/系统：包含噪声，可以理解为一个概率转移机构；观测空间：在此假设检验，得到观测数据；判决规则：根据判决规则来判决信号属于哪种状态。
二、假设检测分类
二元信号检测：两种可能的输出信号状态
M元信号检测：M元可能的输出信号状态
三、假设检测的实质
统计判决（即统计假设假设检验的任务）就是根据观测量落在空间的哪个位置，按照某种检测规则判决信源的哪个输出为真，哪个为假。其实质就是观测空间的划分问题。

在二元信号检测中，是把整个观测空间R划分为R0和R1两个子空间，并满足R=R0∪R1，R0∩R1=空集。子空间R0和R1称为判决域。如果观测空间R中的某个观测量（x∣Hj）或者（x∣Hj）（j=0，1）落入R0域，就判决假设H0成立，否则就判决假设H1成立。
§3.2 判决准则
一、 贝叶斯准则
1、就二元假设检验进行讨论贝叶斯判决准则
已知信源的先验概率和， （即概率和为1，并要求和已知）。
判决代价（因子）： 表示为真时，判决成立所付出的代价。
一般假定错误判决的代价大于正确判决的代价：
判决概率：为真而判成立的判决概率为 。
由判决概率，先验概率P（），判决代价因子，可以求出平均代价。
则，在为真时判决所付出的代价为：（i，j=0,1）
已知出现的先验概率为，则判决付出的平均代价为：
=P(H0)C(H0)+P(H1)C(H1)，（i，j=0,1）
对于M元信号：（i,j=0,1,….M-1）
=∑C()P（）
所谓贝叶斯准则，就是在先验概率已知，各种判决代价因子确定的情况下，使 最小的准则。
因为事件为当为真时，由概率转移机构映射到整个观测空间，经划分落入成立的判决域而判成立。平均代价又可表示为：
又因为：，，且

则：
要使最小，即要使最小，我们把凡是使被积函数取负值的那些x值划分给R0域，而把其余的x值划分给R1域，以保证平均代价最小。被积函数为零的那些x值划分给R0域或者R1域是一样的，不影响平均代价。为了统一起见，这样的x值都划分给R1域。
当落入区域且；当落入区域且时，达到最小。
即：当时，认为落入区域，即承认成立，反之认为成立。
所以，贝叶斯判决准则可以表示为：

其中 称为似然比，用表示。称为（似然比）检测门限，用表示。不等式左边是两个转移概率密度函数，右边是先验概率和代价因子决定的常数。
贝叶斯判决准则又可表示为：

2、贝叶斯判决准则的性能
第一类错误：为真而判 虚警
=P(H1｜H0)
第二类错误：为真而判 漏报
=P(H0｜H1)
错误判决的平均概率是：
检测概率：为真而判为真的概率
= P(H1｜H1)

二、贝叶斯准则的几种派生准则
1、最小总错误概率准则
在通信系统中，通常有，，即正确判决不付出代价，错误判决代价相同。
该准则仍然使最小，但在，条件下：

将，带入上式即可得到最小总错误概率准则：

或者

且当时，

即似然比等于1是合理的。
等先验概率下的最小总错误概率准则为最大似然准则。最小总错误概率准则可看做是贝叶斯准则的特例。
5、 最大后验概率准则
由贝叶斯判决规则：

若令： ，则

又因为：

不等式的左边和右边分辨是在已经获得观测量x的条件下，假设H1和H0为真的概率，即后验概率。因此被称为最大后验概率准则。
3、极大极小化准则
使用贝叶斯准则需要事先知道和
在已知而未知时，有极大极小化准则。
即在上述条件下可以避免可能产生的过分大的代价，使其极大可能代价极小化，所以称之为极大极小化准则。

当似然比是具有严格单调概率分布随机变量时，是上的上凸函数。-在贝叶斯准则中，似然比检测门限与先验概率有关，所以在先验概率未知的时候无法使用贝叶斯准则。

为此，先设定一个先验概率，可得到并进行判决。
又由于及都与有关，即确定，及就确定，则为一直线。
因为是凸的，是一直线，所以存在直线与切点处最小，而在其他时候＞
而存在某些点，比如，使得。
为使此种情况不发生，先找到，使得处最大，求：
求得，然后即可求出似然比检测门限。
4、奈曼—皮尔逊准则（Neyman-Pearson）
先验概率和代价因子事先都不知道的情况下怎么办？
奈曼—皮尔逊准则可以解决这个问题，该准则是：在虚警概率尽可能小的约束条件下，使检测概率最大
即最小，其中

因为，所以，若使最小，则当时的应归于域，即判成立，否则应判成立。即：
或
下面讨论如何求
P(H1︱H0)=
（通过变量代换∧（z）→z，上式只含有一个未知数u，从而可求得u）
结合例题3.3.5（p128）进行讲解

三、假设检验的性能指标－接收机的工作特性（ROC）
假设检验的检测性能主要体现在虚警概率和检测概率上，和可以通过检测门限联系起来：

曲线描述了假设检测的性能，称为接收机的工作特性ROC。

ROC有如下共同性质：
1．所有连续似然比检验的ROC都是上凸的。
2．所有连续似然比检验的ROC都位于对角线之上。
3．ROC某一特定点处的斜率等于该点上和所要求的门限值。
4．a．在贝叶斯准则，最小总错误概率准则下，先求出似然比检测门限，以此作为求解的曲线斜率，当时相切于点，该切点就是所求的解，从而可给到相应的和
b．在极大极小化准则下，检验的工作点是直线
与相应的d值的ROC的交点
c．对于奈曼—皮尔逊准则，给定了，其解为直线与工作标准曲线的交点C，可得到在条件下的

四、M择假设检验
M元假设检验与二元假设检验没有本质上的区别，只是相对于原假设备择假设由一个变成了M-1个：，采用的准则可以是以前所讨论的贝叶斯准则，最小总错误概率准则，最大后验概率准则，极大极小准则及Neyman－Pearson准则，但实际应用中，前两种准则使用的最多。

1、贝叶斯准则
贝叶斯平均代价可表示为

由于

按贝叶斯准则要求最小
令
于是，应使 的划归域，判成立。即当
2、最小总错误概率准则
若令
则贝叶斯准则就变成了最小总错误概率准则，此时

后一表示式又是最大后验概率准则的表示式。
当：时判成立
此时，最小总错误概率为：

则：
五、序列检测——瓦尔德检验
前面讨论的信号检测中，观测次数是固定的，即的规模是确定的，而实际中，各观测值是按顺序得到的，若不事先规定观测次数，则把这种检测称为序列检测。一般采用的准则是修正的奈曼—皮尔逊准则，又称瓦尔德序列检验或者序列概率比检验（SPRT）Sequence Probability Ratio Test
序列检测的一般叙述:

若观测数据落入区域则判假设成立；若数据落入区域则判假设成立；若观测数据落入区域则既不能判假设成立也不能判假设成立，需要继续观测数据，再作判断。
瓦尔德序列检验
序列检测相当于采用似然比检验，似然比与两个门限值进行比较，若似然比大于等于，则判成立；若似然比小于等于，则判成立；若似然比处于之间，则需继续观察数据，再做判决。而所需的是由计算出来的。
①若令代表个观测样本所构成的观测向量，即
则其似然比为：
若假设各次观测是独立同分布的，则：

②两个检测门限来确定
若成立；成立；再增加一次观测，进行下一次检验。

若判假设成立，则，代入上式即得：

又：
代入
若判假设成立，则上式变为：

当似然比函数时，判决假设H1成立，只有取理论值的上限，似然比检验时才能有足够的观测次数。同理，应取其下限。
若采用对数似然比进行检测时：

对应的门限值为：；若似然比的每一步增量都很小，此时可以令：
，以得到简单的设计公式。
③ 序列检测的平均观测次数
当为真时：
当为真时：
假设增量很小，则只可能等于，则其条件均值分别为：

④若观测量是独立同分布，则

其中，是任意一次观测的似然比函数。那么，在假设为真的条件下有：

可得：
同理可得，在为真的条件下，所需的平均观测次数为：

⑤若，需再增加一次观测，一般情况下：

则经过几次观测后，。当时：，当n→∞时，落在和之间而不能作出判决的概率等于零，即序列检验是收敛的，有终止的。
但实际应用中采用一个规定的上限，即若不能判决则按次所固定观测次数判决。
⑥瓦尔德（Wald）和沃尔福维茨（Wolfowitz）已经证明，对于和已定，这种序列检验的平均观测次数最小。
4 确知信号检测
4.1 引言
本章节将把信号检测的基本理论应用到噪声中信号检测之中。
噪声中信号波形检测的基本任务：根据系统要求，设计与环境相匹配的检测系统（接收机），以完成从噪声污染的接收信号中尽量多地提取有用的信号。
噪声中信号波形检测的主要应用：通信系统、雷达等无线电系统。
确知信号概念：信号的所有参数都确知（包括幅度、频率、相位）。
例如：数字信号经恒参信道，接收机输入端的信号可认为是一种确知信号。对于它，从检测的观点来说，未知的只是信号的出现与否。
信源
发射机
接收机
检测器
s0(t) s1(t)
n(t)
z(t)
{0,1}序列
{0,1}序列

图4-1 数字通信波形检测模型
发端：信源在T秒内输出一个二进制符号，分别用s0(t)、s1(t)表示。
收端： 信号经过信道传输，接收到的信号可用假设检验来描述，可以表示为

最佳接收的准则如下：
最大输出信噪比准则：加到线性接收机输入端的是信号与噪声的混合物。如果在给定时刻上t=t0，在线性接收机的输出端获得最大的信噪比，则认为s(t)存在。在此基础上，构成匹配滤波器。
最小均方误差准则：要求线性接收机的实际输出波形so(t)和我们所期望的波形so'(t)之间的均方误差最小，即要求

有最小值。
式中：so(t)是信号的实际值；so’(t)是信号的期望值。
最大似然准则:
在通信领域，通常最佳准则是最小总错误概率准则。
在雷达和声纳领域，最佳准则一般是N-P准则。
说明：在信号检测理论中，处理的观测信号被假设为N维矢量，而接收到的信号通常是随机信号，这样可以应用信号的统计检测理论来处理信号波形的检测问题。
观测信号的数学模型：为了不失一般性，假设接收信号的时间起点为0，时间间隔为（0，T），则

其中：信号s(t)=si(t), i=0,1是确知信号，噪声n(t)一般为白噪声。
特殊情况：当s0(t)=0时，观测信号的数学模型为

4.2 匹配滤波器
概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。
应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。
4.2.1. 线性滤波器输出端信噪比的定义
数字信号传输的系统模型如图所示。
线性滤波器H(ω)
z(t)=s(t)+n(t)
y(t)=s0(t)+n0(t)

图 4.2 匹配滤波器及其输出波形
分析条件：
噪声是零均值的平稳白噪声，功率谱密度为常量，即

噪声的相关函数为

输入和输出关系：当线性传输系统的传输函数为H(ω)时，则有

假设t=t0时，输出信号有一个峰值，其为

白噪声经过线性系统后，输出功率谱密度为：。
输出噪声的平均功率为 ：
输出峰值信噪比为

4.2.2. 匹配滤波器的传输函数和冲激响应
利用复函数的施瓦茨（Schwartz）不等式求解

当时，上式等号成立。

根据巴塞瓦尔定理，有

下面求匹配滤波器的冲击响应
实际存在的信号是实信号，有

结论：匹配滤波器的冲激响应是信号s(t)的镜像信号s(-t)在时间上平移t0后得到的信号。
为了使h(t)物理上可实现，要求：

所以，上述条件等效于：
（3.2.1）
意义：物理可实现的匹配滤波器，其输入端的信号s(t)必须在它的输出最大信噪比的时刻t0之前消失。也就是说如果信号在t1时刻以后为零，当t0≥t1即满足公式（3.2.1）,此时的滤波器才是物理可以实现的。通常总是希望t0尽量小一些，这样，通常选择t0=t1。
4.2.3.匹配滤波器的性质
性质1：匹配滤波器的最大峰值信噪比

说明：匹配滤波器的最大峰值信噪比仅仅与信号的能量、白噪声的功率谱密度有关，与信号的形状、噪声的分布无关。
性质2：匹配滤波器的幅频特性和相频特性

说明：匹配滤波器的幅频特性与 输入信号的幅频特性相同，仅相差常数倍c；相频特性与输入信号的相位谱反相，有附加相移量。
性质3：匹配滤波器的物理可实现性

说明：匹配滤波器的输入信号必须在时刻t0之前结束，即滤波器输出端获得最大峰值信噪比dmax的时刻t0只能是在输入信号全部结束之后。
性质4：匹配滤波器的输出信号和噪声

说明：c 和c’均为常系数，有相同的量纲。当t=t0时，输出信号有峰值