复变函数作业.doc

复变函数作业 班级 姓名 学号
第一次作业（第一章习题）
1．设，求及Arg z.

2．设，试用指数形式表 z1 z2及.

3．解二项方程

4．证明，并说明其几何意义。

9．试证：复平面上的三点共直线。

14．命函数试证：在原点不连续。

15．试证：函数在z平面上处处连续。

第二次作业（第二章习题）
2．洛必达(L’Hospital)法则 若及在点解析，且
.
则（试证） .

3．设
试证f (z) 在原点满足C. –R. 方程，但却不可微.

4．试证下列函数在z平面上任何点都不解析：
（1）； （2）；

5．试判断下列函数的可微性和解析性：
（1）； （2）；

8．试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导函数。
（1）；

（2）；

20．试解方程：
（1）； （2）；

（3）；

22．设确定在从原点起沿正实轴割破了的z平面上，并且，试求之值。

23．设确定在从原点起沿负实轴割破了的z平面上，并且（这是边界上岸点对应的函数值），试求之值。

第三次作业（第三章习题）
1．计算积分，积分路径C是连接由0到1+ i 的直线段。

2．计算积分，积分路径是（1）直线段；（2）上半单位圆周；（3）下半单位圆周。

3．利用积分估值，证明
（1），其中C是连接-i到i的直线段；

（2），其中C是连接-i到i的右半圆周。

5．计算：（1）； （2）。

9．计算（）
（1）； （2）.

10．计算积分： ，（j＝1，2，3）
（1）； （2）；

（3）.

11．求积分 ，从而证明 .

15．设函数在z平面上解析，且恒大于一个正的常数，试证必为常数.

16．分别由下列条件求解析函数.
（1）， ；

（2） ；

17．设函数在区域D内解析，试证：.

第四次作业（第四章习题）
2．试确定下列幂级数的收敛半径：
（1）； （2）； （3）.

5．将下列函数展成z的幂级数，并指出展式成立的范围：
（1）（a, b为复数，且）；

（2）；

（3）；

6．写出的幂级数展式至含项为止，其中.

7．将下列函数按的幂展开，并指明其收敛范围：
（1）；

（2）；

11．在原点解析，而在处取下列各组值的函数是否存在：
（1）0，1，0，1，0，1，… （2）0，，0，，0，，…

（3），，，，，，… （4），，，，，…

12．设（1）在区域D内解析；（2）在某一点有
试证在D内必为常数.

第五次作业（第五章习题）
1．将下列各函数在指定圆环内展为洛朗级数。
（1）.

（2），.

2．将下列各函数在指定点的去心邻域内展成洛朗级数，并指出其收敛范围。
（2）及 .

（3）及.

3．试证 ，，其中t为z无关的实参数。
，（n=1，2，…）

4．求出下列函数的奇点，并确定它们的类别（对于极点，要指出它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论。
（1）. （2）.

（3）. （4）.

5．下列函数在指定点的去心邻域内能否展为洛朗级数。
（1）； （2）；

（3）； （4）.

8．判定下列函数的奇点及其类别（包括无穷远点）.
（1）. （3）.

（4）.

第六次作业（第六章习题）
1．求下列函数 在指定点的留数。
（1） 在 . （2）在

（3）在. （4）在.

（5）在. （6）在.

2．求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数（m是正整数）。
（1）.

（3）

（4）.

3．计算下列各积分：
（1）； （2）；

（3）；

4．求下列各积分之值：
（1）；

5．求下列各积分：
（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

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