复变函数与积分变换教学大纲(一).doc

《复变函数与积分变换》教学大纲（一）
一、 课程编号：05002001
二、 课程类别: 专业必修课
三、 课程名称：《复变函数与积分变换》（Function of Complex Variable and Integral Transform）
四、课程负责人： 王建平
五、 学时与学分： 54学时，3学分
六、 适用专业： 物理学、自动化、电子信息工程、信息与计算科学
七、 课程教材： 《复变函数与积分变换》（第二版），华中科技大学数学系编，高等教育出版社，2003年
八、 课程参考教材：
1．《复变函数与积分变换》，哈尔滨工业大学书学系 盖云英 、包革军 编，科学出版社，2001年;
2．《复变函数论》（第三版），钟玉泉编，高等教育出版社，2004年;
3．《复变函数论方法》（第六版）M. A. 拉夫连季耶夫、B. B. 沙巴特 著，施祥林、夏定中、吕乃刚 译，高等教育出版社，2006年;
4．《积分变换》，南京共学院数学教研组 编， 人民教育出版社，1978年;
5．《复变函数论》（第二版），李锐夫 程其襄 编，人民教育出版社，1979年.
九、 开课单位：数理信息学院
十、 课程的目的、性质和任务
通过本课程的学习，进一步加深学生对复数和复变函数及有关理论的理解，能应用复变函数的积分理论、留数理论解决一些实际问题，初步建立起平面区域之间的共形映射的概念；使学生熟练掌握Fourier 变换、Laplace 变换的性质及相关计算，并以此为工具学会分析和处理工程实际中的一些问题，为学习后续课程打下比较扎实的基础。

十一、课程内容与基本要求
1．复数与复变函数
掌握复数的概念和运算；理解复变函数及其极限、连续等概念。理解平面点集的有关概念，如邻域、去心邻域、区域、单连通区域等。了解无穷大与复球面。
2．解析函数
理解复变函数的导数与解析函数等基本概念，熟练掌握判断复变函数可导与解析的方法，熟悉复变量初等函数的定义和主要性质，掌握从已知的调和函数求共轭调和函数的方法。
3．复变函数的积分
理解复变函数积分的概念与基本性质，牢固掌握Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、高阶导数公式及其应用，熟练掌握复积分的计算。理解解析函数的平均值公式和最大模原理。
4．解析函数的级数表示
掌握幂级数与解析函数的关系，掌握将解析函数展开成幂级数的方法，理解Laurent级数的概念、性质以及与解析函数的关系，并能熟练地将函数在指定的圆环或某点的去心邻域内展开成Laurent级数。
5．留数及其应用
掌握孤立奇点的概念及其分类方法，掌握留数的概念和计算留数的方法，掌握留数在计算实积分中的应用。
6．共形映射
理解复变函数导数的模和辐角的几何意义，了解保角映射、共形映射的概念。掌握分式线性映射的定义及其性质，掌握求两个典型区域间的分式线性映射的方法，了解几个初等函数构成的变换性质。
7．Fourier 变换
理解Fourier 积分、Fourier 变换和 Fourier 逆变换分的概念、性质及其应用，掌握单位脉冲函数的性质及其应用。能熟练地应用定义求函数的Fourier积分和Fourier变换，熟练掌握函数卷积的定义、性质及其计算。
8．Laplace 变换
理解Laplace 变换的概念，掌握Laplace 变换的性质及其应用，理解卷积的概念、卷积定理并能进行相应的计算；了解 Laplace 变换存在定理；掌握反演公式及利用留数计算反演积分的方法，掌握Laplace 变换在解常微分方程（组）中的应用。

十二、课程的难点与重点
难点：复变函数的多值性；Cauchy 积分公式的灵活应用；最大模原理；孤立奇点的理解与分类；共形映射的概念；Fourier 变换的性质及应用；Laplace 变换的性质及应用；
重点：Cauchy-Riemann 条件及其应用；Cauchy 积分公式的应用；各种复积分的计算；将函数展开成幂级数或罗朗级数的方法；孤立奇点的分类；留数的计算；求两个典型区域间的分式线性映射；Fourier 变换和Laplace 变换的有关概念、性质及其应用；单位脉冲函数的性质及其应用。

十三、学时分配
1．、复数与复变函数： 4学时
2．解析函数： 6学时
3．复变函数的积分： 8学时
4．解析函数的级数表示： 8学时
5．留数及其应用： 6学时
6．保形映射： 6学时
7．傅立叶变换： 8学时
8．拉普拉斯变换： 8学时

（完）

大纲制定者：王建平 教授
大纲审定者：盛宝怀 教授
2006年9月

《复变函数与积分变换》教学大纲（二）
一、 程编号：05002001
二、 课程类别: 专业必修课
三、 课程名称：《复变函数与积分变换》（Function of Complex Variable and Integral Transform）
四、课程负责人： 王建平
五、 学时与学分： 36学时，2学分
六、 适用专业： 物理学、自动化、电子信息工程、信息与计算科学
七、 课程教材： 《复变函数与积分变换》（第二版），华中科技大学数学系编，高等教育出版社，2003年
八、 课程参考教材：
1．《复变函数与积分变换》，哈尔滨工业大学书学系 盖云英 、包革军 编，科学出版社，2001年;
2．《复变函数论》（第三版），钟玉泉编，高等教育出版社，2004年;
3．《复变函数论方法》（第六版）M. A. 拉夫连季耶夫、B. B. 沙巴特 著，施祥林、夏定中、吕乃刚 译，高等教育出版社，2006年;
4．《积分变换》，南京共学院数学教研组 编， 人民教育出版社，1978年;
九、 开课单位：数理信息学院
十、 课程的目的、性质和任务
通过本课程的学习，进一步加深学生对复数和复变函数及有关理论的理解，能应用复变函数的积分理论、留数理论解决一些实际问题；使学生掌握Fourier 变换、Laplace 变换的性质及相关计算，并以此为工具学会分析和处理工程实际中的一些问题，为学习后续课程打好基础。

十一、课程内容与基本要求
1．复数与复变函数
掌握复数的概念和运算；理解复变函数及其极限、连续等概念。理解平面点集的有关概念，如邻域、区域、单连通区域等。
2．解析函数
理解复变函数的导数与解析函数等基本概念，掌握判断复变函数可导与解析的方法，了解复变量初等函数的定义和主要性质，掌握从已知的调和函数求共轭调和函数的方法。
3．复变函数的积分
理解复变函数积分的概念与基本性质，掌握Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、高阶导数公式及其应用，并能利用它们计算复积分。了解解析函数的平均值公式和最大模原理。
4．解析函数的级数表示
掌握幂级数与解析函数的关系，能将解析函数展开成幂级数，理解Laurent级数的概念、并能将函数在指定的圆环或去心邻域内展开成Laurent级数。
5．留数及其应用
掌握孤立奇点的概念及其分类方法，理解留数的概念，掌握计算留数的方法及在计算实积分中的应用。
6．Fourier 变换
理解Fourier 积分、Fourier 变换和 Fourier 逆变换分的概念、性质及其应用，掌握单位脉冲函数的性质及其应用。能熟练地应用定义求函数的Fourier积分和Fourier变换，熟练掌握函数卷积的定义、性质及其计算。
7．Laplace 变换
理解Laplace 变换的概念，掌握Laplace 变换的性质及其应用；理解卷积的概念、卷积定理并能进行相应的计算；了解 Laplace 变换存在定理；掌握反演公式及利用留数计算反演积分的方法，掌握Laplace 变换在解常微分方程（组）中的应用。

十二、课程的难点与重点
难点：复变函数的多值性；Cauchy 积分公式的灵活应用；最大模原理；孤立奇点的理解与分类；共形映射的概念；Fourier 变换的性质及应用；Laplace 变换的性质及应用；
重点：Cauchy-Riemann 条件及其应用；Cauchy 积分公式的应用；各种复积分的计算；将函数展开成幂级数或罗朗级数的方法；孤立奇点的分类；留数的计算；求两个典型区域间的分式线性映射；Fourier 变换和Laplace 变换的有关概念、性质及其应用；单位脉冲函数的性质及其应用。

十三、学时分配
一、复数与复变函数： 3学时
二、解析函数： 5学时
三、复变函数的积分： 6学时
四、解析函数的级数表示： 6学时
五、留数及其应用： 4学时
六、傅立叶变换： 6学时
八、拉普拉斯变换： 6学时
（完）

大纲制定者：王建平 教授
大纲审定者：盛宝怀 教授
2006年9月

6