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第39课 线段的定比分点

●考试目标 主词填空
1.定比分点的概念
设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ，使，λ叫做点P分有向线段所成的比，且λ∈(-∞,0)∪(0,+∞).
2.定比分点坐标公式
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),P分所成之比为λ,那么,x=,y=.特别地，当λ=1时,x=(x1+x2),y=(y1+y2).
3.三角形的重心坐标
设△ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则其重心坐标为.
4.内分点与外分点
设λ是P分有向线段的比，P点在线段P1P2上的充要条件是λ∈(0,+∞)；P点在线段P1P2的延长线上的充要条件是λ∈(-∞,-1)，P点在线段P2P1的延长线上的充要条件是λ∈(-1,0).

●题型示例 点津归纳
【例1】　　已知点P(x,1),P1(-1.-5),P2(2,4).
(1)求点P分的比λ1及x的值;
(2)求点P2分的比λ2的值.
【解前点津】 在(2)中,注意到P2是起点，P是终点，P1是分点，此三点身份地位不同.
【规范解答】 (1)由y=得:1=解之:λ=2.
∴x=，∴λ=2,x=1.
(2)由x1=得:-1=,解之:λ2=-.
【解后归纳】 应用定比分点公式，关键是对号入座，严格确定起点、终点、分点.代入分点公式(方程组)求解.
【例2】 (1)若点P分线段AB的比为,求点B分有向线段AP的比.
(2)已知BC的长度为5,A在BC的延长线上，=10,求点A分有向线段所成的比λ.
【解前点津】　　(1)综合利用=·及=λ.
(2)作示意图.
【规范解答】　　设=λ,因为:=,
∴++λ·=0++λ·=0=0,

例2题图解
∴+1+λ=0即λ=-.
(2)由题意,知B、C、A三点的顺序如图所示.
A是BC的外分点,故λ<0,
又∵,∴λ=-.
【解后归纳】 求定比λ,可从两个方面考虑，一是确定正负号，二是确定比值.
【例3】 线段AB的端点为A(x,5)、B(-2,y),直线AB上的点C(1,1),使||=2||,求x,y的值.
【解前点津】 依据条件，考察A、B、C三点的排列顺序，然后构造λ求解.
【规范解答】 ∵||=2||,∴=2或=-2即=(-2)·或=2·.
(1)当=2·时,由定比分点坐标公式得:=1,=1x=7,y=-1.
(2)当=(-2)·时,由定比分点坐标公式得:=1,及=1解之:x=-5,y=3.
综上所述知，x,y的值分别为7,-1或-5,3.
【解后归纳】 ||=2||与=2·的含义不一样，前者是长度之间的关系，后者是向量之间的关系，设计，构造定比分点的比值λ,是基本技能所在.
【例4】 已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1),一组对边AB、CD的中点分别为M(3,0)、N(-1,-2),求平行四边形的各个顶点坐标.
【解前点津】 循序渐进求坐标，由M是AB中点，可求B点坐标，由=可确定C点会标.由N是CD中点,可确定D点坐标.
【规范解答】 设B(x1,y1),因M是AB中点,故由分点公式得:3=(-2+x1)及0=(1+y1)B(8,-1).
∵=(-1,-2)-(3,0)=(-4,-2),=(xc,yc)-(8,-1)=(xc-8,yc+1),
∴由=得(-4,-2)=(xc-8,yc+1)xc=4,yc=-3故C(4,-3).
设D(x2,y2),因N是DC中点，故由中点公式得:-1=(x2+4)及-2=(y2-3)得:D(-6,-1).
【解后归纳】 利用图形的直观性，综合利用相等向量知识及分点公式，则便于计算.

●对应训练 分阶提升
一、基础夯实
1.已知两点P1(-1,-6),P2(3,0)点P分有向线段所成的比为λ,则λ、y的值分别为 ( )
A.-,8 B.,-8 C.-,-8 D.,8
2.如果连接点(-2,5)和点M的线段中点是(1,0),那么点M的坐标是 ( )
A.(-4,5) B.(4,-5) C.(4,5) D.(-4,-5)
3.已知点A(m,n),B(-m,n),点C分所成之比为-2,那么C的坐标为 ( )
A.(3m,3n) B.(-3m,-3n) C.(3m,-3n) D.(-3m,3n)
4.已知P1(2,-1),P2(0,5),P在的延长线上,且||=2||,则P点坐标为 ( )
A.(-2,11) B.(2,-11) C.(2,11) D.(-2,-11)
5.已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P在直线OA上,且=,又P是OB中点，则点B的坐标为 ( )
A.(2,3) B.(1,3) C.(1,) D.(3,)
6.已知点A分有向线段的比为2,则在下列结论中错误的是 ( )
A.点C分的比是-
B.点C分的比是-3
C.点B分的比是-
D.点A分的比是2
7.已知P1(4,-3),P2(-2,6)且||=2||,点P在线段P1P2上,则P点坐标为 ( )
A.(0,3) B.(3,0) C.(3,3) D.(1,3)
8.点A(m,n)关于点B(a,b)对称点的坐标为 ( )
A.(-m,-n) B.(a-m,b-i) C.(a-2m,b-2n) D.(2a-m,2b-n)
9.设A,B,C三点共线，且它们的纵坐标为2,5,10,则点A分所成之比为 ( )
A. B. C.- D.-
10.若点P分有向线段的比为,则B点分有向线段的比为 ( )
A. B. C.- D.-
二、思维激活
11.直线l上有三点A、B、P,若=3,则P分有向线段所成之比为 .
12.△ABC的顶点A(2,3),B(-4,-2)和重心G(2,-1),则C点坐标为 .
13.已知M为△ABC边AB上的一点，且S△AMC=S△ABC,则M分所成的比为 .
14.设A(1,5),B(4,-2).若P在x轴上且使|PA|-|PB|最大，则P点坐标为 .
三、能力提高
15.已知两点A(-2,4),B(6,0),在直线AB上求一点C,使| |=||.

16.已知A(2,3),B(0,1),C(3,0),点D、E分别在AB,AC上，DE∥BC,且DE平分△ABC的面积，求点D坐标.

17.设始点为同一点O的向量a,b,c的终点A、B、C在同一条直线上,根据下列条件，把c用a、b表示出来.
(1)c为线段AB的中点;
(2)c为以3∶2内分有向线段的分点;
(3)c为以3∶1外分有向线段的分点.

18.设=r1=(i=1,2,3,4),试证P1、P2、P3、P4四点共面的充要条件是存在不全为0的实数λi
(i=1,2,3,4),使λ1r1+λ2r2+λ3r3+λ4r4=0,且=0.

第3课 线段的定比分点习题解答

1.C 由及解之即得.
2.B 设M(x,y)，则1=且0=.
3.D 设C(x,y),.
4.A 与反向，＝（－2）·＝2·，
设P(x,y)由于=(x,y)-(2,-1)=(x-2,y+1)=(x,y)-(0,5)=(x,y-5)
(x-2,y+1)=2·(x,y-5)，故由得：.
5.C 由条件知：,,故P点坐标为（2,3）B(1,)
6.D 逐一检验.
7.A 由条件知P是P1P2的内分点，故与同向，＝2·,=2,
故,.
8.D 设A的对称点为(x,y)，则由得出D.
9.C 设比为，由得.
10.C 由==+=+==-.
11.-4 =3,+=3,=-4.
12.(8,-4) 设C(x,y).由2=(2-4+x)及-1=(3-2+y)得x=8，y=-4，C(8,-4).
13.设AB边上的高为CH，则由S=S

第13题图解
得·AM·CH=AB=8AM
又与同向，
=8·+=8
=，故M分所成的比为.

14.作B点关于x轴的对称点B′(4,2)，连AB′并延长交x轴于点P，则|PA|-|PB|≤|AB′|，即最大值为|AB′|,设P(x,0)，P分所成之比为，则
故P(6,0).
15.当C为内分点时，，此时，即C是AB中点C(2,2).
当C在BA的延长线上时，=－＝（），
＝－故C分所成的比为. 设C(x,y)，则

第16题图解
16.由得=·=·，
设D(x,y)，
＝（－2，2），＝(x-2,y-3),
故.
17.(1)C是AB中点，
又a+=c,c+=ba+(b-c)=cc=(a+b).

第17题图解(2)

第17题图解(1)

(2)=,a+=c,c+=b,
a+(b-c)=cc=a+b.
(3)=-3,a+=b,b+=ca++=b a=b+2(b-c),
故c=b-a.
18.必要性：P1、P2、P3、P4四点共面，由平面向量基本定理，存在实数,，
使=+·,即有：r2-r1=(r3-r1)+(r4-r1)(+-1)r1+r2+(-)r3+(-)r4=0,
令1=+-1,2=1,3=-,4=-,
则=0,1=-(2+3+4)，代入1r1+2r2+3r3+4r4=0得
2(r2-r1)+3(r3-r1)+4(r4-r1)=0，即2+3+4=0,
若2,3,4全为0,则1=0与题设矛盾，故2,3,4中至少有一个不为0,不妨设20,
则=、R
故，，共面，即P1、P2、P3、P4四点共面.