高等数学重难点.doc

高等数学重难点
第一章 函数 极限 连续
一、基本要求
1.深刻理解函数的定义，会求简单函数的定义域，会用函数的对应法则求函数值与复合函数，了解初等函数的构成，会建立简单应用问题的函数关系式，了解隐函数和反函数的概念，了解函数的有界性单调性、奇偶性、周期性。
2.理解数列极限的“”定义和几何意义，知道收敛数列极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限运算法则，会用极限存在二法则（夹逼、单调有界）。理解函数极限、左右极限的“”定义和“” 定义，知道函数极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限存在二准则，掌握利用两个重要极限求函数极限的方法。
3.理解无穷小与无穷大的概念、关系和运算，知道无穷小的比较，掌握利用等价无穷小求极限和近似计算的方法。
4.理解函数连续和左右连续的概念，了解连续函数和差积商、复合和初等函数的连续性，会判断间断点类型，理解闭区间上连续函数的性质（有界、最值、介值、零点）并会应用这些性质。
二、难点
复合函数复合过程的分析，利用两个重要极限（、()）和等价无穷小代换求函数极限，函数间断点的求法及间断点类型的判断，闭区间上连续函数的应用。
三、重点与注记
函数的定义及函数的简单性态，复合函数的概念和复合函数定义域的求法，极限的概念和性质，两个重要极限，函数极限的求法，无穷小的概念和无穷小的比较，函数的连续的概念，初等函数的连续性，间断点的求法及间断点类型的判断，闭区间上连续函数的性质及应用。
１、函数概念的核心是函数的两要素，只有当其定义域和对应法则完全相同时，两个函数才表示同一个函数。根据实际问题建立的函数，其定义域是使自变量具有实际意义的实数集合；由解析式表示的函数，其定义域是使运算有定义的实数集合。
2、在讨论函数奇偶性时一定要注意它们对函数定义域的要求。函数的奇偶性是相对于对称区间而说的，若函数的定义域不对称，则该函数一定不是奇函数或偶函数。判断函数的奇偶性主要是根据奇、偶函数的定义，有时也利用奇偶性的相关性质。是判断为奇函数的有效方法。
3、函数和其反函数的图形关于直线是对称的，的定义域是其反函数的值域。另外需要注意，只有自变量与因变量一一对应的函数才有反函数。求反函数的步骤是：首先从方程中解出，得到，然后将和对调，即得该函数的反函数。
4、在讨论复合函数时，要注意进行复合和分解时函数的定义域。将两个或两个以上函数进行复合的方法主要有：（1）代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数表达式替代，适用于初等函数的复合；（2）分析法：根据最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式和定义域进行分析，从而得出复合函数，适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。
5、在求函数极限时，要注意有时需要分别讨论其左、右极限。对一些的极限，应该注意分别考虑和两种情况。（e的x次方）
6、在求幂指函数的极限时，可以考虑将其先取对数再求极限，当函数呈“”型不定式时，也可以将其化成或的形式，或凑指数幂使之成为上述形式，然后利用第二个重要极限求解。
7、求函数极限的一个值得推荐的方法是利用等价无穷小替换，有时可使解题过程大大简化，这时要注意进行等价无穷小替换的原则是，只有作为因子的无穷小量才能用与其等价的无穷小替换，而作为加、减项的无穷小则不能用等价无穷小随意替换。
8、在讨论函数连续性时，常见两种情况：（1）在点处的两侧表达式不同，此时函数在点连续的充分必要条件是；（2）在点处的两侧为同一表达式，此时函数在点连续的充分必要条件是。
9、讨论带绝对值符号的函数的极限或连续性时，一般先去掉绝对值符号，将函数改成分段函数，然后再讨论在分段点处函数的左、右极限或左、右连续性。
10、在求函数的间断点时，需要注意，只有在可去间断点处才可以修改或补充函数在这一点的定义，使得函数在该点连续。

第二章 导数与微分

一、基本要求
1.理解导数和左右导数的定义，知道可导与连续、左右导数的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线与法线方程，会用导数描述一些物理量。
2.熟练应用导数的基本公式和求导法则（复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数求导法则、由参数方程所确定函数的求导法则）求一般函数的导数。
3.了解高阶导数的概念及求导法则，会求简单函数的 n阶导数，会求分段函数的一、二阶导数。
4.理解微分的概念、微分和导数的关系，掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。
二、难点
导数和微分的概念，复合函数的求导、隐函数求导

三、重点和注记
１、导数的定义有两种表示形式，即和，在利用定义求函数的导数时，可根据不同情况选择利用以上两式，例如在求分段函数在分段点的导数时，通常用第二个表达形式。
2、一般，以下几种情况下，需要利用定义来求导数：（1）在函数表达式中有抽象函数记号，已知其在某点连续，但不知它是否可导，欲求其导数时；（2）求分段函数在分段点的导数时；（3）求带绝对值符号的函数在分段点的导数时，此时应先去掉绝对值符号，将函数改成分段函数。
3、求复合函数的导数是本章的重点，也是一个难点。复合函数求导关键在于搞清楚函数的复合关系，从外到内一层一层的求导，既不能重复，也不能遗漏。对于某些比较复杂的复合函数，在求导前，可先进行换元，引入中间变量，将函数变成比较简单的形式后再求导，然后乘以中间变量的导数。
4、对于由方程所确定的函数，求导数的方法有两个：（1）将方程两边同时对求导，此时需要注意是的函数，因此的函数是的复合函数，因此应该用复合函数的求导法则来求。（2）可以利用微分形式的不变性，在方程两边求微分，然后解出。
5、在求幂指函数的导数时，可以采取两种办法：（1）用对数求导法，将两边取对数，然后按隐函数求导的思路求导；（2）将幂指函数改写成，再利用复合函数求导法则求。
6、除了求幂指函数的导数时可以应用对数求导法之外，当函数为一系列因子的连乘、连除、乘方时，采用对数求导法也可以使运算简便。

第三章 　导数的应用
一、基本要求
⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理．泰勒定理及其应用．
⒉ 掌握洛必达法则求不定式极限的方法．
⒊ 掌握用导数判断函数的单调性、证明不等式、恒等式的方法、确定根数．
⒋ 掌握用导数研究函数的状态（极值<一阶导>、最值、凹凸向、拐点<二阶导>、函数的图形）．
⒌ 会求解最大值、最小值的实际应用问题．
⒍ 理解曲线弧函数的微分，会求 曲率及曲率半径（互为倒数）．
二、难点
构造辅助函数证明中值定理结论，洛必达法则占用情形与简化，最值问题目标函数的建立．
三、重点与注记
⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论，会求；对简单中值结论，会构造辅助函数、用罗尔定理或拉格朗日中值定理证明．
⒉ 熟练掌握洛必达法则：注意适用条件，将各种不定式转化为或型，正确求导，注意化简（如用等价无穷小替换其因式，先求出部分因式的极限）．
⒊ 掌握用导数判断函数的单调性，利用单调性证明不等式、恒等式、确定极值、根数．
⒋ 证明不等式可用单调性、拉格朗日定理、化成最值，或用凹凸性．但最常用单调性，注意不能由直接说．
⒌ 连续函数的极值点必是的驻点或不可导点，但这种点却不一定是极值点．
⒍ 函数极值概念是局部性的，用以描述函数在一点邻域内的性态．与在闭区间上的最大值、最小值问题不同．
⒎ 极值的必要条件和充分条件：⑴ 函数取得极值的必要条件：若在可导点取得极值，则必有，并称为函数的驻点．⑵ 函数取得极值的充分条件：极值的两个判定法则（该点导数为零且两侧导数值异号）．
⒏ 曲线凹凸性和拐点：拐点是曲线凹凸性发生变化的点，且拐点的x坐标必为的驻点或不可导点，但这种点却不一定是拐点（的x坐标）．
⒐ 函数作图：将讨论所得的函数的性态汇入总表，即可看出其图形的走势（变化态势），再加上经过的特殊点（即控制点，如与坐标轴交点、端点、拐点、极值点、补充点等），渐近线，就不难画图了．

第四章 不定积分
一、基本要求
⒈ 熟悉不定积分基本公式．
⒉ 熟练掌握不定积分换元法、分部积分法．
⒊ 掌握较简单的有理函数、无理函数的积分．
二、难点
⒈ 不定积分的换元法，特别是凑微分法．
⒉ 不定积分的分部积分法，被积函数中如何选取及．
⒊ 一些不定积分做题的技巧．
三、重点与注记
⒈ 理解原函数与不定积分的联系：是在区间上原函数的一般表达式．
⒉ 两类换元积分法的区别与联系
⑴ 第一类换元积分法（即凑微分法）中的代换是从不定积分的被积函数中分离出来的，在凑微分的过程中逐步明确的；而第二类换元积分法中的代换是根据被积函数的特点一开始就选定的；
⑵ 第二类换元积分法（即变量代换法）中的代换必须具有单值反函数，而第一类换元积分法中的代换却无此限制；
⑶ 原积分变量x在第一类换元积分法中的代换中是自变量，而在第二类换元积分法中的代换中却处于因变量的地位．
⑷ 第二类换元积分法常用的代换（或替换）
① 三角代换：，， ．
② 无理代换： ．
③ 倒代换：．
④ 万能代换：，， ，．
⒊ 不定积分分部积分法的关键是：正确选择如和，使得转换后的不定积分（或）比原先的不定积分（或）容易计算时，可使用分部积分法．
⒋ 特殊类型函数的积分
⑴ 任何有理函数的积分总可积出：任何有理函数总可用多项式除法（长除法）化为多项式与真分式之和，其中多项极易积分．由代数学定理真分式又可以化为四类简单分式之和，它们总可积出．
⑵ 三角函数有理式的积分：根据具体题目，可作万能代换或三角代换解之．
⑶ 简单无理函数的积分：根据具体题目，可作根式代换或三角代换解之．
第五章 定积分及其应用
一、基本要求
（1）理解定积分的概念与性质．
（2）会求变上限积分的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．
（3）掌握定积分的换元积分法、分部积分法，知道常用的定积分公式（奇偶函数在对称区间上的积分，周期函数的积分，正弦、余弦函数在的积分，周期函数在n个区间上的积分，Wallis公式，Euler公式）．“奇函数在对称区间上积分为零，偶函数在对称区间上积分为在二分之一区间上积分的两倍”
（4）掌握用定积分表示和计算的一些几何量与物理量（平面图形面积，平面曲线弧长，旋转体体积，平行截面面积已知的立体的体积，功、水压力、引力）．
（5）了解广义积分的概念，会计算广义积分（反常积分）．
二、难点
定积分的概念，定积分的计算，变上限积分所定义的函数及其有关结论.
三、重点与注记
1．正确理解定积分定义．
定义中有两个任意，将区间任意分割成个小区间，在每个小区间上任意取一点．如果已知可积，可以通过选择特殊的分割和选择特殊的来计算定积分（例如计算某些极限）黎曼可积，黎曼和．
2．注意正确使用定积分的换元积分法．
定积分换元积分法是通过变量代换把一个定积分化为另外一个定积分，因此不必运用不定积分的换元积分法单独求出原函数．作变量代换时，也要同时改变积分限，下限对应下限，上限对应上限．
3．注意常见的结论和换元方法．
常见的结论：
（1）若在上连续，则 ．
若在上连续且为偶函数，则 ；
若在上连续且为奇函数，则 ；
（2）若是以为周期的连续函数，则 ．
（3）．
（4）．
（5）Wallis公式．
（6）Euler公式，为正整数．
根据积分区间的特点，计算定积分时常采用如下的换元方法：
（1），这时，，积分区间由变为；
（2），这时，，积分区间由变为；
（3），这时，，积分区间由变为．

7