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《第3章 直线与方程》2010年单元测试卷（1）

一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）（2005•杭州二模）如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（　　）

A．

B．
﹣3
C．

D．
3

2．（4分）若P（a，b）、Q（c，d）都在直线y=mx+k上，则|PQ|用a、c、m表示为（　　）

A．

B．
|m（a﹣c）|
C．

D．

3．（4分）直线l与两直线y=1和x﹣y﹣7=0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率为（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（4分）△ABC中，点A（4，﹣1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），则边BC的长为（　　）

A．
5
B．
4
C．
10
D．
8

5．（4分）下列说法的正确的是（　　）

A．
经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示

B．
经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示

C．
不经过原点的直线都可以用方程表示

D．
经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）表示

6．（4分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（　　）

A．
3x+y﹣6=0
B．
x﹣3y+2=0
C．
x+3y﹣2=0
D．
3x﹣y+2=0

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
7．（5分）已知直线l1：y=2x+3，l2与l1关于直线y=﹣x对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率是　_________　．
8．（5分）（2012•松江区三模）直线x﹣y+1=0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是　_________　
9．（5分）一直线过点A（﹣3，4），且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是　_________　．
10．（5分）若方程x2﹣my2+2x+2y=0表示两条直线，则m的取值是　_________　．　
11．（5分）当时，两条直线kx﹣y=k﹣1、ky﹣x=2k的交点在　_________　象限．　
三、解答题（共4小题，满分0分）
12．经过点M（3，5）的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？

13．求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，﹣5）到它的距离相等的直线方程．

14．已知点A（1，1），B（2，2），点P在直线上，求|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．

15．求函数的最小值．

《第3章 直线与方程》2010年单元测试卷（1）
参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）（2005•杭州二模）如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（　　）

A．

B．
﹣3
C．

D．
3

考点：
直线的斜率．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
设出直线的方程为y=kx+b，根据平移规律，对x左加右减，对y上加下减，得到平移后的直线方程，根据平移后的直线方程与y=kx+b重合，令y相等即可求出k的值．
解答：
解：设直线l的方程为y=kx+b，
根据题意平移得：y=k（x+3）+b+1，即y=kx+3k+b+1，
则kx+b=kx+3k+b+1，解得：k=﹣．
故选A．
点评：
此题考查学生掌握函数图象平移的规律，是一道基础题．

2．（4分）若P（a，b）、Q（c，d）都在直线y=mx+k上，则|PQ|用a、c、m表示为（　　）

A．

B．
|m（a﹣c）|
C．

D．

考点：
两点间的距离公式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先根据两点间的距离公式求出|PQ|，又因为P，Q两点在直线上，代入直线化简后整体代入到距离里即可求出值．
解答：
解：因为P，Q在直线y=mx+k上，
所以代入得：am+k=b；cm+k=d，所以（b﹣d）2=m2（a﹣c）2
所以根据两点间的距离公式得：

故选D
点评：
考查学生灵活运用两点间的距离公式解决实际问题，以及会利用整体代换的数学思想解决实际问题．

3．（4分）直线l与两直线y=1和x﹣y﹣7=0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
中点坐标公式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
设出直线l的斜率为k，又直线l过M点，写出直线l的方程，然后分别联立直线l与已知的两方程，分别表示出A和B的坐标，根据中点坐标公式表示出M的横坐标，让表示的横坐标等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值即为直线的斜率．
解答：
解：设直线l的斜率为k，又直线l过M（1，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣1），
联立直线l与y=1，得到，解得x=，所以A（，1）；
联立直线l与x﹣y﹣7=0，得到，解得x=，y=，所以B（，），
又线段AB的中点M（1，﹣1），所以+=2，解得k=﹣．
故选D．
点评：
此题考查学生根据两直线方程求两直线的交点坐标，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道中档题．

4．（4分）△ABC中，点A（4，﹣1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），则边BC的长为（　　）

A．
5
B．
4
C．
10
D．
8

考点：
三角形五心；两点间的距离公式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先根据中点坐标公式求出点B的坐标，然后根据重心坐标公式求出点C的坐标，最后利用两点的距离公式求出BC的长．
解答：
解：设点B（x，y）
根据中点坐标公式可知3=，2=
解得：x=2，y=5∴B（2，5）
设点C（m，n），根据重心坐标公式可知4=，2=
解得：m=6，n=2∴C（6，2），
∴根据两点的距离公式可知|BC|=5
故选A
点评：
本题主要考查了中点坐标公式、重心坐标公式以及两点间的距离公式，同时考查了计算能力，属于基础题．

5．（4分）下列说法的正确的是（　　）

A．
经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示

B．
经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示

C．
不经过原点的直线都可以用方程表示

D．
经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）表示

考点：
直线的两点式方程；直线的点斜式方程；直线的斜截式方程．菁优网版权所有
分析：
逐一分析研究各个选项，通过举反例等手段，排除不正确的选项，特别注意直线斜率不存在或者截距等于0的情况．
解答：
解：选项A不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点P0（x0，y0）的直线不可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示．
选项B不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点A（0，b）的直线不可以用方程y=kx+b表示．
选项C不正确，当直线和x 轴垂直或者与 y轴垂直时，不经过原点的直线不可以用方程表示．
选项D正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为0，但都能用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）表示．
故选D．
点评：
本题考查直线方程的适用范围，特别注意直线斜率不存在或者截距等于0的情况．

6．（4分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（　　）

A．
3x+y﹣6=0
B．
x﹣3y+2=0
C．
x+3y﹣2=0
D．
3x﹣y+2=0

考点：
与直线有关的动点轨迹方程；两点间距离公式的应用；点到直线的距离公式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
因为点F（1，1）在直线3x+y﹣4=0，所以点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，由点斜法写出即可．
解答：
解：点F（1，1）在直线3x+y﹣4=0上，则点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，
因为直线3x+y﹣4=0的斜率为﹣3，所以所求直线的斜率为，由点斜式知点P的轨迹方程为y﹣1=（x﹣1）
即x﹣3y+2=0
故选B
点评：
本题考查轨迹方程的求法、两条直线垂直的应用、直线的点斜式方程等，注意点P的轨迹不是抛物线．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
7．（5分）已知直线l1：y=2x+3，l2与l1关于直线y=﹣x对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率是　﹣2　．

考点：
两条直线垂直的判定．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先根据对称性求出l2的方程，进而求出 l2的斜率，由直线l3⊥l2 可得直线l3的斜率．
解答：
解：∵直线l1：y=2x+3，l2与l1关于直线y=﹣x对称，∴l2的方程为﹣x=2（﹣y）+3，
即 x﹣2y+3=0，
∴l2的斜率为 ，
由直线l3⊥l2得：l3的斜率是﹣2，
故答案为﹣2．
点评：
本题考查根据对称性求直线方程，以及利用两直线垂直的条件，求其中一条直线的斜率．

8．（5分）（2012•松江区三模）直线x﹣y+1=0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是　x+y﹣7=0　．

考点：
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由题意得 直线l过点（3，4），且与直线x﹣y+1=0垂直，利用点斜式求得直线l的方程．
解答：
解：由题意得 直线l过点（3，4），且与直线x﹣y+1=0垂直，故直线l的斜率为﹣1，
利用点斜式求得直线l的方程是y﹣4=﹣1（x﹣3），即x+y﹣7=0，
故答案为 x+y﹣7=0．
点评：
本题考查两直线垂直的性质，用点斜式直线方程．

9．（5分）一直线过点A（﹣3，4），且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是　x+3y﹣9=0或y=4x+16，　．

考点：
直线的斜截式方程．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
设横截距为a，则纵截距为12﹣a，直线方程为，把A（﹣3，4）代入，得，从而得到直线的方程．
解答：
解：设横截距为a，则纵截距为12﹣a，
直线方程为，
把A（﹣3，4）代入，得，
解得a=﹣4，a=9．
a=9时，直线方程为，整理可得x+3y﹣9=0．
a=﹣4时，直线方程为=1，整理可得y=4x+16，
综上所述，此直线方程是x+3y﹣9=0或y=4x+16，．
故答案：x+3y﹣9=0或y=4x+16，．
点评：
本题考查直线方程的求法，解题时根据实际情况，恰当地选取公式，能够准确解题．

10．（5分）若方程x2﹣my2+2x+2y=0表示两条直线，则m的取值是　1　．

考点：
与直线有关的动点轨迹方程．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
方程表示两条直线，即可化为因式乘积等于0的形式，然后求出m的值．
解答：
解：方程x2﹣my2+2x+2y=0表示两条直线，则（x+1）2﹣m（y﹣）2+﹣1=0，所以M=1，可得（x﹣y+2）（x+y）=0，表示两条直线，
故答案为：1
点评：
本题是基础题，考查二次曲线表示两条直线的判断方法，考查计算能力．

11．（5分）当时，两条直线kx﹣y=k﹣1、ky﹣x=2k的交点在　二　象限．

考点：
两条直线的交点坐标．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
将两直线的方程联立得到方程组，解方程组求出交点坐标，判断出交点的横、纵坐标的符号，判断出交点所在的象限．
解答：
解：由
所以交点在第二象限
故答案为：二
点评：
本题考查两直线交点的坐标的求法、考查各象限的坐标的特点．

三、解答题（共4小题，满分0分）
12．经过点M（3，5）的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？

考点：
点到直线的距离公式．菁优网版权所有
专题：
综合题．
分析：
根据题意可知过M点且垂直于OM的直线离原点最远，先求出OM的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1得到所求直线的斜率，根据M点的坐标和直线的斜率写出直线的方程即可．
解答：
解：过点M（3，5）且垂直于OM的直线为所求的直线，由直线OM的斜率k′==，
则所求直线的斜率k=﹣，
所求直线的方程为：y﹣5=﹣（x﹣3）
化简得：3x+5y﹣34=0
点评：
考查学生掌握两直线垂直时的条件，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程．此题的关键是找出最远的直线方程．

13．求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，﹣5）到它的距离相等的直线方程．

考点：
点到直线的距离公式．菁优网版权所有
专题：
计算题；分类讨论．
分析：
当A与B在所求的直线两侧时，显然所求直线为x=1；当A与B在直线同侧时，根据两点到所求直线的距离相等得到直线AB与所求的直线平行即斜率相等，利用A和B的坐标求出直线AB的斜率即为所求直线的斜率，写出所求直线方程即可．
解答：
解：（1）x=1显然符合条件；
（2）当A（2，3），B（0，﹣5）在所求直线同侧时，得到直线AB与所求的直线平行，kAB=4，所以所求的直线斜率为4，
∴y﹣2=4（x﹣1），化简得：4x﹣y﹣2=0，
所以满足条件的直线为4x﹣y﹣2=0，或x=1
点评：
考查学生掌握两条直线平行时斜率的关系，会分情况讨论分别得到满足条件的直线，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程．

14．已知点A（1，1），B（2，2），点P在直线上，求|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标．

考点：
两点间距离公式的应用．菁优网版权所有
专题：
应用题；转化思想；综合法．
分析：
先设出点P的坐标，设P（2t，t），由两点间距离公式表示出|PA|2+|PB|2的关于参数t的表达式，再利用函数的相关知识求解出函数的最小值，即得出|PA|2+|PB|2取得最小值与坐标．
解答：
解：设P（2t，t），
则|PA|2+|PB|2=（2t﹣1）2+（t﹣1）2+（2t﹣2）2+（t﹣2）2=10t2﹣18t+10
当时，|PA|2+|PB|2取得最小值，此时有
|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标为
点评：
本题考点是两点间距离公式，考查用两点间距离公式建立起相关量的函数关系，转化为求函数的最值，转化思想是数学中的重要思想，由未知向已知转化是解决问题的一个实用的技巧．

15．求函数的最小值．

考点：
两点间距离公式的应用．菁优网版权所有
专题：
综合题．
分析：
把两个根号里进行变形，那么f（x）可看作为点C到点A和点B距离之和，利用对称得到最小值即可．
解答：
解：，可看作点C（x，0）到点A（1，1）和点B（2，2）的距离之和，作点A（1，1）关于x轴对称的点A′（1，﹣1）
∴

点评：
考查学生会利用两点间的距离公式求值，会利用对称得到距离之和最小．学生做题时注意数形结合解决问题．

参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；caoqz；qiss；minqi5；wdlxh；wdnah；zlzhan；xintrl（排名不分先后）
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2014年7月25日
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