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第二章 平稳随机过程的谱分析
第二章 平稳随机过程的谱分析
本章要解决的问题：
● 随机信号是否也可以应用频域分析方法?
● 傅里叶变换能否应用于随机信号？
● 相关函数与功率谱的关系
● 功率谱的应用
● 采样定理
● 白噪声的定义

2.1 随机过程的谱分析
2.1.1 预备知识
1、付氏变换:
对于一个确定性时间信号x(t)，设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。即：
满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：
其反变换为：

2、帕赛瓦等式
由上面式子可以得到：

——称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。
物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则上式左边代表x(t)在时间(-,)区间的总能量（单位阻抗）。因此，等式右边的被积函数 表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称为能量谱密度。

2.1.2、随机过程的功率谱密度
一个信号的付氏变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？
随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。
但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。
为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。
截取函数(t):

图2.1 (t)及其截取函数
当x(t)为有限值时，裁取函数(t)满足绝对可积条件。因此，(t)的傅里叶变换存在，有

很明显，(t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达式的变化）

用2T除上式等号的两端，可以得到

等号两边取集合平均，可以得到:

令，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。
交换求数学期望和积分的次序，可以得到：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用)

上式等号的左边表示的正是随机过程消耗在单位电阻上的平均功率（包含时间平均和统计平均），以后我们将简称它为随机过程的功率并记为Q。再看等式的右边，它当然也存在，并且等于Q。
又因为非负，所以极限必定存在，记为：

注意：（1）Q为确定性值，不是随机变量
（2）为确定性实函数。（见式）

● 两个结论：
1．
式中， 表示时间平均。它说明，随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均来得到，即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机过程）求平均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。显然， Q不是随机变量。
若随机过程为平稳的，则

这是因为均方值与时间t 无关，其时间平均为它自身。

由于已经对 求了数学期望，所以不再具有随机性，它是的确定性函数。
● 功率谱密度：描述了随机过程X(t)的功率在各个不同频率上的分布——称为随机过程X(t)的功率谱密度。
● 对在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。
● 对于平稳随机过程，则有：

2.1.3、功率谱密度的性质

证明：

证明：

因为进行了取模运算，这是的实函数，所以也是的实函数，且为确定性实函数。

证明：

因此：

即：

得：

证明：对于平稳随机过程，有：

2.2 联合平稳随机过程的互功率谱密度
2.2.1、互谱密度
可由单个随机过程的功率谱密度的概念，以及相应的分析方法推广而来。
考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)， 它们的样本函数分别为和，定义两个截取函数、为：

因为、都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。
在时间范围(-T，T)内，两个随机过程的互功率为:（注意、为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）

由于、的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:

注意到上式中，和是任一样本函数，因此，具有随机性，取数学期望，并令，得：

＝
＝
定义互功率谱密度为：

得：

同理，有：

又知

以上定义了互功率和互功率谱密度，并且导出了它们之间的关系。

2.2.2、互谱密度和互相关函数的关系
平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶变换，互相关函数与互谱密度之间也存在着类似关系。
定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度与互相关函数之间的关系为

若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有

即：

式中，表示时间平均。
显然：

证明：略，参见自相关函数和功率谱密度关系的证明。
结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。

2.3.3、互谱密度的性质
互功率谱密度和功率谱密度不同，它不再是频率的正的、实的和偶函数。
性质1：
证明：
＝ 令
＝＝
＝＝
性质2：；
证明：式中Re[·]表示实部。亦即互谱密度的实部为的偶函数。

＝
所以： 令
＝＝
其它同理可证。
性质3：

证明：类似性质2证明。
性质4：若X(t)与Y(t)正交，则有

证明：若X(t)与Y(t)正交，则
所以，
性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值和,则

证明：因为X(t)与Y(t)不相关，所以
＝
＝ （注意）
性质6：

式中，A<>表示时间平均。
这给出了一般的随机过程（包含平稳）的互谱密度与互相关函数的关系式。
[例2.2] 设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为:

求互谱密度,
解：先求：

再求

2.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号：x(t) 。
随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。
1．定义：
若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：

这一关系就是著名的维纳—辛钦定理、或称为维纳—辛钦公式。
2. 证明：
下面就来推导这一关系式。证明方法类似式的证明。
因为：由(3.1.14)式

＝ 交换积分和数学期望顺序
＝
＝
设，，则，
所以：

图2.2
则

＝
＝
＝ （1）
＝－
(注意T, ；且时， 。因此，通常情况下，第二项为0
＝
证毕。

推论：对于一般的随机过程X(t)，有：

则平均功率为：（）——时间平均加统计平均。

利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：

3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。

（常见的几种付氏变换关系需要记住）
[例3.3] 平稳随机过程的自相关函数为，A>0, ，求过程的功率谱密度。
解：应将积分按＋和－分成两部分进行。

解：注意此时不是有限值，即不可积，因此的付氏变换不存在，需要引入函数。

＝
（注意：）
＝
＝
（注意： ）

显然，它与时间t有关，所以Y(t)为非平稳随机过程，

（一定要注意一般随机过程与平稳随机过程的平均功率和谱密度的求法区别）
2.4 离散时间随机过程的功率谱密度
2.4.1、离散时间随机过程的功率谱密度
1．平稳离散时间随机过程的相关函数
设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为:

简写为：

2．平稳离散时间随机过程的功率谱密度

式中，T是随机序列相邻各值的时间间隔。是频率为的周期性连续函数，其周期为。的傅里叶级数的系数恰为，这里

就是奈奎斯特频率（不是采样频率）。这说明离散序列的功率谱为周期函数。
因为为周期函数，周期为，

3. 谱分解
① z变换定义
在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为的z变换，并记为，即

式中z=，且

上式中，D为在的收敛域内环绕z平面原点反时针旋转的一条闭合围线。
② 性质

因为自相关函数=，带入式即可。

③ 谱分解
谱分解定理：设X(n)是广义平稳实离散随机过程，具有有理功率谱密度函数。则可分解为：

单位圆之内的全部零点和极点；B()中包含了单位圆之外的全部零点和极点。
证明：总可以将表示成两个多项式之比：

上式中：

由于是实函数，因此多项式N(z)、D(z)的系数也都是实数、且有M＜N。
对式(3.4.9)因式分解，形式如下：

设是N(z)的一个根，是的一个零点，那么，应满足

而根据性质[见式(3.4.8)]可知，若上式成立，则下式必成立：

这就是说，也一定是N(z)的一个根；或者说是的一个零点。于是，两个零点和总是同时出现。
同理，若是的一个极点，则也必定是的一个极点。或者说，两个极点必定同时出现。
根据上面的讨论，便可将式(3.4.11)分解成两项相乘，即

单位圆之内的全部零点和极点；B()中包含了单位圆之外的全部零点和极点。--------即证。

解：应用式(3.4.5)，可以得到

整理得:

将z=代人上式，即可求得

2.4.2、平稳随机过程采样定理
1．预备知识
在分析确定性的离散时间信号时，香农采样定理占有重要地位。它建立了连续信号与其采样离散信号之间的变换关系。
设s(t)是一个确定性连续限谱实信号，它的频带范围限于(-，+)之间。香农采样定理告诉我们，当采样周期小于或等于1/2(=时)，可将s(t)展开成:

因此，采样频率为：

原信号的恢复：满足采样定理的采样值通过一个低通滤波器（冲激响应为函数），就可以无失真的恢复原信号。
2．平稳随机过程的采样定理
现在将香农采样定理推广到随机信号。
定义：若X(t)为平稳随机过程，具有零均值，它的功率语密度限于(-,+)之间：（即假设连续过程的功率谱有界）

则可证明，当满足条件T小于或等于1/2时，便可将X(t) 按它的振幅样本展开为：

这就是平稳随机过程的采样定理。
式中，T为采样周期X(nT)表示在时间t=nT时，对随机过程X(t)的任一样本函数的振幅采样， l.i.m则表示均方意义下的极限。例如

证明：因为 X(t)的自相关函数及是的确定性因数，
由维纳—辛钦定理，，
又因为带宽有限，
由预备知识的香农采样定理，的振幅可以展开成：

由付氏变换时移性质，可得：

这里a为任一常数。显然。带宽也是有限的。
再由香农采样定理，将展开:

令，再令，则上式可变为：

现在令：

若

采样定理就得到了证明。
下面分别证明上式的两项均为0。
①
＝
（4）
令, a=t，得：
(5)
比较（4）（5）式得：
＝0 （6）
②令, a=mT，得：
（7） 又：
（8）

（7）（8）式比较，上式等号右端为零。于是可得：

由① ②可见：

证毕。

为了书写方便，也常把采样定理写成：

但应注意，上式的近似是表示均方意义下的极限，它与一般意义下的近似是不同的。
2.4.3、功率谱密度的采样定理
由平稳随机过程的采样定理，可以通过对平稳随机过程X(t)的采样而得到与之相对应的离散时间随机过程X(n)。
现在讨论X(n)的自相关函数(或称自相关序列)与X(t)的自相关函数、X(n)功率谱密度和X(t)功率谱密度之间的关系。
定义：设X(t)为广义平稳随机过程，用和分别表示它的自相关函数和功率谱密度，且的带宽有限（这里下标C表示连续）。现在，应用采样定理对X(t)采样，构成采样离散时间随机过程X(n)＝X(nT)，其中T为采样周期。和分别表示X(n)的自相关函数和功率谱密度，则

式中―即功率谱密度的采样定理。（随机序列功率谱为周期函数）
结论：
（1） 离散时间随机过程的自相关函数R(m)正是对连续过程自相关函数的采样。
（2） 等于及的所有各位移之和，即以为周期延拓，所以为周期函数。
与关系如下图示意：

图2.3 、与、的对应关系
证明：
预备知识：
若确定性函数f(t)为周期函数，周期为T，即f(t)=f(t+mT)，m为任意整数，则它总可以展开为傅立叶级数：（《信号与线性系统分析》吴大正主编，P129）
指数形式表示：
,
注意是确定性函数。
因为是周期为的连续函数，则傅里叶级数展开式为：
(这里与通常的傅立叶级数不同)
其中：
==
带入上式得：

＝ （离散时间功率谱密度的定义）
定理证毕。
2.5 白噪声
随机过程通常可按它的概率密度和功率谱密度的函数形式来分类。就概率密度而言，正态分布(或称为高斯分布)的随机过程占有重要地位；就功率谱密度来说，则具有均匀功率谱密度的白噪声非常重要。
2.5.1、理想白噪声
定义：若N(t)为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在(-，+)的整个频率区间，即

其中N0为一正实常数，则称N(t)为白噪声过程或简称为白噪声。
自相关函数为

理解：白噪声的自相关函数是一个函数，其面积等于功率谱密度。

理解：白噪声在任何两个相邻时刻(不管这两个时刻多么邻近)的取值都是不相关的。这就意味着白噪声过程随时间的起伏极快，过程的功率谱极宽。
总结：
（1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。
（2）白噪声的均方值为无限大，，而物理上存在的随机过程，其均方值总是有限的。
（3）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。

2.5.2、限带白噪声
限带白噪声又可分为低通型的和带通型的。
1．低通型
定义：若过程的功率谱密度满足

则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪声通过一个理想低通滤波器，便可产生出低通型限带白噪声。
低通型限带白噪声的自相关函数为

图2.4示出了低通型限带白噪声的和的图形，注意，时间间隔为整数倍的那些随机变量，彼此是不相关的（均值为0，相关函数值为0）。

图2.4 低通限带白噪声 （a） ; （b）
2. 带通型
带通型限带白噪声的功率谱密度为

由维纳—辛钦定理，得到相应的自相关函数为

图2.5中示出了带通型限带白噪声的和的图形。不难看出，将白噪声通过一个理想带通滤波器便可产生这种带通型限带白噪声。

图2.4 带通型限带白噪声 （a） ; （b）

2.5.3、色噪声
按功率谱度函数形式来区别随机过程，我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声或简称色噪声。

小 结
1． 随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随机过程的付氏变换不存在，但其功率存在。所以，不能对随机过程直接求付氏变换，即：

但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即

若随机过程X(t)平稳，则

2． 平均功率的四种求法：查表；留数；对功率谱密度求积分（有个系数）；求相关函数后令
3． 随机过程的平均功率：
一般过程：，即集合平均＋统计平均。
4． 特定函数的付氏变换需记忆