概率练习册题.doc

21、某种型号的电子管寿命X(以小时计)，具有如下概率密度：
现有一大批此种电子管(设各电子管损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？并求.
解：设使用寿命为x小时

，所求事件的概率：

再求

23、设顾客在银行的窗口等待服务的时间X(以小时计)服从指数分布，其概率密度为
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求.
解：

29、设电流是一个随机变量，它均匀分布在9安~11安之间，若此电流通过2欧姆的电阻，在其上消耗的功率为，求的概率密度.
解：由题意I的概率密度为

对于
由于，所以当时，其分布函数，
故的概率密度；

30、设 正 方 体 的 棱 长 为 随 机 变 量 x ，且 在 区 间 ( 0 ， a ) 上 均 匀 分 布 ，
求 正 方 体 体 积 的 概 率 密 度 。 ( 其 中 a > 0 )
解:
正 方 体 体 积 h = x 3
函 数 y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 数

h 的 概 率 密 度 为
31. 设 随 机 变 量 x 的 概 率 密 度 为
求 随 机 变 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。
解：函 数 y = l n x 的 反 函 数 x = h ( y ) = e y ，
当 x 在 ( 0 ， +¥ )上 变 化 时 ， y 在 (¥ ， + ¥ ) 上 变 化 ，

于 是 h 的 概 率 密 度 为

9、随机变量的分布函数为求：
（1）边缘密度；（2）验证X,Y是否独立。
解：（1），
.

,

(2) 因为，故与是相互独立的.

10、一电子器件包含两部分，分别以记这两部分的寿命(以小时记)，设的分布函
数为
(1)问和是否相互独立？ (2)并求
解：(1)

易证，故相互独立.
(2)由(1)相互独立

8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95?
解：(1)设表示正常工作的元件数，则，

由中心极限定理可知

(2)设表示正常工作的元件数，则

9．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm ，均方差为0.05 mm，规定总长度为20 ± 0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已 知 ：( 0.6 ) = 0.7257；( 0.63 ) = 0.7357。

解：设 每 个 部 分 的 长 度 为 Xi ( i = 1, 2, …, 10 )
E ( Xi ) = 2 = m, D( Xi ) = s2 = ( 0.05 ) 2 ,依题意 ，得合格品的概率为

13. 保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为100元, 每被保险人出事赔付金
额为2万元. 根据统计, 这类被保险人年出事概率为0.000 5. 这个新保险品种预计需
投入100万元的广告宣传费用. 在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参
保, 才能使保险公司在该年度获利超过100万元的概率大于95%？

解：设参保人数为N人, 则

由　　

2、设总体服从指数分布 ，是来自的样本，（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.
解：（1）由于 ，令，故的矩估计为
（2）似然函数

故的极大似然估计仍为。

3、设总体，为取自X的一组简单随机样本，求的极大似然估计；
[解] (1)似然函数
于是
，
令，得的极大似然估计：.

4、设总体服从泊松分布, 为取自X的一组简单随机样本, （1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.
解：（1）令，此为的矩估计。
（2）似然函数
故的极大似然估计仍为
2、一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现在从一批这种元件中随机抽取25
件，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差小时正态分布，
试在显著性水平0.05下确定这批产品是否合格.
解：设元件寿命，已知，
检验假设
在已知条件下，设统计量
拒绝域为，查表得
而
拒绝假设选择备择假设，所以以为这批产品不合格.