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高数上作业答案详细.doc

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高等数学作业答案(2012-2013-1) 第一章 函数、极限与连续 1.1函数 1、(1)×(2)×(3)√ 2、(1)不同,定义域不同; (2)不同,对应法则不同. 3、 (1) , ; (2) 时; 为空集. 4、(1)奇;(2)奇;(3)奇. 5、 (1) (2) 6、 (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 7、 (1) ; (2) ; (3) . 8、略 9、 10、 ★11、. 1.2极限 1、(1) ;(2) ; (3) 极限不存在; (4) 极限不存在. 2、(1) 例:, (2) 例:, 3、(1) 极限不存在; (2) 时,的极限不存在; (3) 时,的极限不存在. 4、; 当时,左、右极限不一样,极限不存在. 5、;不存在. 1.3极限的运算法则 1、2; 2、0; 3、; 4、 5、 6、 7、. 8、 1.4极限存在准则 两个重要极限 1、(1) ;(2) ;(3) ;(4) 1;(5) 0; (6) ;(7);(8)2 ;(9) ;(10) . 2、1 3、. 1.5无穷小与无穷大 1、(1)时是无穷小;时是无穷大. (2)时是无穷小;时是无穷大. (3)时是无穷小; 时是无穷大. (4)时是无穷小;以及时是无穷大. 2、(1)既不是无穷小,又不是无穷大; (2)前者是无穷小,后者是无穷大. 3、(1)错(2)正确(3)正确(4)正确 (5)错.例:当时,与均是无穷小,但商为无穷大. (6)错.例:当时,和均是无穷大,但其和为有界函数. (7)正确 4、 ,理由:无穷小的倒数是无穷大. ★5、解: (1),取,此时,. 当充分大时,. 所以无界. (2)取,此时,. 故. 所以,时不是无穷大. 6、(1); (2)时等价; 时同阶; (3) 同阶; (4) 同阶. 7、(1); (2) ; (3) ,. 8、 (1) (2)(3). 1.6连续函数的概念与性质 1、连续 2、(1)是可去间断点,是无穷间断点. (2) 是可去间断点. (3) 是第二类间断点,是无穷间断点. (4) 是无穷间断点. (5) 是跳跃间断点,是无穷间断点. ★(6), 第一类跳跃. 3、(1) (2),. 4、. 5、(1);(2) 0;(3) 1/2;(4) 0; (5) ;(6) (7) (8) 1 6、解:令,显然. ,由零点定理知,至 少存在一点使得,原即方程在0与1 之间至少有一实根. 证毕□ ★7、 ★8、证:易知设,,则. 于是有 在上使用介值定理得:在内至少存在一点使 . 证毕□综合练习题一 1、 2、证:当时, ① ② 联立①②得: . 又,显然是奇函数. 证毕□ ★3、D 4、证: 在处连续. 证毕□ 5、(1)(2)(3).(4) ★(5)1 ★(6)0 6、 7、是无穷间断点;是可去间断点; 是跳跃间断点. 8、解: 是函数的跳跃间断点. 在点处连续. ★ 9、(1),(2). 10、(1)(2)(3) ★11、证:令,则. 易知,. ①若或,则取或均可. ②否则,由零点定理知至少存在一点,使,即. 无论哪种情况点都存在. 证毕□ ★12、证:由在上连续,得在上一定存在最小值和最大值,分别记为和.于是有: 由介值定理得:在上必存在点使 ,再移项得证. 证毕□ ★★13、证:在极坐标系下建立温度函数为,显然有:. 温度在圆环上非均匀连续分布,于是有. 设,当时,. 在上连续,在上连续. 若,则问题得证. 否则就有,由零点定理知,至少存在一点,使得. 即: . 证毕□ 第二章 一元函数的导数与微分 2.1 导数的概念 1、(1)-20 (2)1 2、(1) (2)(3) 3、 4、 5、证法一: (因为为偶函数) (因为) . 证毕□ 证法二: . 证毕□ ★6、证: 函数在处连续 存在 存在存在 在处可导. 证毕□ 2.2 函数的求导法则 1、(1) (2) (3) (4) (5) 2、(1)-2 (2) 3、(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 4、证:(1)设为偶函数,且可导,下证为奇函数. , 所以,为奇函数. 证毕□ 另一个同理可证. (2)设是以为周期的周期函数,且可导,下证也是以为周期的周期函数. , . 证毕□ 5、 6.(1) (2) 2.3 高阶导数 1. (1) (2) (3) 2.(1) (2) (3) . (4) 3. (1) (2) 2.4 隐函数的导数与由参数方程所确定的函数 的导数 1、(1) (2) 2、 3、 (1) (2) 4、(1) (2) 2.5 函数的微分 1、参考答案:(1)可导与可微是等价的,即存在性是一样的. (2)导数和微分是两个完全不同的概念. ①导数是一个数;是函数在该点处的变化率;是曲线在点处的切线的斜率. ②微分是函数在点处增量(改变量)的线性主部,是的近似值,是的线性函数;是曲线在点处的切线的纵坐标在点的改变量. 2、(1) (2) (3) 3、(1)(2) (3)(4) (5)(6) 4、 ★5、 2.6 微分中值定理 1、方程有且仅有三个实根,它们分别在区间内. 2、证:,由零点定理得,函数在内至少存在一零点. 下证函数在内不可能有两个及以上的零点. (反证法)不妨令是函数的两个零点,即. ,由Rolle定理得:至少存在一点,使得. 而实际上,在内无实根,矛盾. 证毕□ 3、证:原不等式等价于: 令,显然在上连续,内可导,由Lagrange中值定理得:至少存在一点,使得. 又,于是有: ,整理变形即可. 证毕□ ★★4、证:显然是方程的两个实根. 令,则. ,; 由零点定理得,原方程在内至少存在一实根. 下证原方程不可能有四个及以上实根. (反证法)不妨令是方程的4个实根,即. 分别在上使用Rolle定理得:在内分别存在点使得对函数分别在区间上使用Rolle定理得:在内分别存在点使得对函数在区间上使用Rolle定理得:在内存在点使得 而无实根,矛盾. 故原方程有且仅有三个实根. 证毕□ 2.7 洛必达法则 1、(1) ;(2);(3);(4)1. 2、(1)不能 极限为1 (2)不能 极限为1 (3)不能 极限为1 (4)不能 极限为1 3、 4、36. ★5、. 6、. 2.8 泰勒公式 1、. 2、. 3、证: . 证毕□ 4、 2.9 函数的单调性与曲线的凹凸性 1、证: 当时,. 故函数在区间内单调减少. 证毕□ 2、解: 令得:. 列表解析: 3、单调增, ,单调减. 4、证略 5、凸区间,凹区间, 拐点 6、 2.10 函数的极值与最值 1、单调增区间为; 单调减区间为,. 极小值;极大值. 2、 3、最大值为2,最小值为 -2. 4、最小值 5、储油罐底半径,高为 6、 2.11 函数图形的描绘 1. 水平渐近线. 2. 水平渐近线;垂直渐近线. 2.12 曲率 1. 曲率,曲率半径. 2. 处曲率最大,为1. 综合练习题二 1. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2. 3. 4. 5. 6. . 7、 8、0 9、(1) (2) (3) ★(4) 1 10、证:易知在上连续,在内可导,又. 在区间上分别使用Rolle定理得:至少存在分属于使得: . 在区间上对函数使用Rolle定理得:至少存在点,使得:. 证毕□ ★11、解: (洛必达法则) (导数定义) . 注:下列做法是错误的! (洛必达法则√) (洛必达法则×) . 12、(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√ ★★(6)× 13、单调增,上单调减. 14、略 ★15. 解:令. 的根为. ① 当时,,即单调增 加; ② 当时,,即单 调减少.这说明是的最大值,,即,从而在上无零点. 即方程无实根. 16、 ★17、是极小值 ★18、证:令,则, . 在或上是上凹的,于是. 即. 即. 证毕□ 19、201元. 高等数学期中自测试题 一、1、A 2、D 3、C 4、D 5、D 二、1、[1,2] 2、1/2 3、 4、 5、 三、1、 2、 3、0 4、 5、略 6、单调减,单调增 四、(1). (2) 五、 六、提示:用反证法 七、当半圆半径和矩形高相等且均为时通 过光线最充足. 八、连续 第三章 一元函数积分学 3.1 不定积分的概念与性质 1. 求下列不定积分: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. 3. 3.2 不定积分的换元积分法 1、用凑微分法求下列不定积分: (1) ;(2) (3); (4) ; (5) ;(6) (7) (8) (9) 2、用换元积分法求下列不定积分: (1);(2); (3) (4) (5); (6)解:令则. . 3.3 不定积分的分部积分法 1、 2、 3、 4、 3.4 其它类型不定积分举例 1、 2、 3、 4、 3.5 定积分的概念与性质 1、. 2、(1);(2) 3、(1); (2) 4、略 3.6 微积分基本公式 1、(1);(2);(3);(4). 2、(1);(2); (3) (4) 3、(1)(2) 4、 5、(1);(2) ; (3)解: . (4). 6、1. 3.7 定积分的换元积分法与分部积分法 1、(1); (2). (3) (4)1 (5) (6) 2、. 3、 ★4、 ★5、 6、证: . 证毕□ ★★7、或. 3.8 定积分的几何应用 1、(1);(2) (3)或 2、; 3、 4、,; 5、; 6、 7、略 3.9 定积分的物理应用举例 1、 2、 3、. 3.10 反常积分 (1);(2)发散 (3) (4) 综合练习题三 1、提示:用洛必达法则. 2、求下列不定积分 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) . 14) 3、. 4、. 5、计算下列定积分 (1);(2);(3); (4) (5)1 (6) 6、前一种做法正确,后一种做法错误,错误之处在于:不是在上的原函数. 7、错误在于对不定积分的理解. 8、略 9、0 10. ; 11. ; 12. ; 13. . 第四章 常微分方程 4.1 微分方程的基本概念 1、(1) 一阶;(2)二阶;(3)一阶;(4)三阶 2、不是 3、(3)(4) 4、略 5、所求函数为(1) (2) 6、;7、 4.2 可分离变量的微分方程 1.(1)(2) 2.(1)特解为 (2) 3. 4.3 齐次方程 1.(1) (2)或 (3) 2.(1)通解为, 特解为 (2)通解为 C=1 特解为: 4.4 一阶线性微分方程 1.(1) (2) (3) 2. 3. 4、 5、 4.5 可降阶的高阶微分方程 1.(1) (2) (3) 2.(1) (2) 4.6 二阶常系数齐次线性微分方程 1. 2. 解: 是解. 是解. 又常数. 线性无关. 通解是:. 3、(1); (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 4、(1)解: 通解 (2)解: 通解 (3)解: 通解 5、(1) (2) 6、. 4.7 二阶常系数非齐次线性微分方程 1.BCDCD BDBBB 2、(1) (2) 3、 4、; 通解:. 5、略 综合练习题四 一、A BDCAC 二、1., 其中为常数) 2. 3. 4. 5. 6. 三、1、 2、 3、 4、 5、 6、 四、(1)证: 是特解. (2)证: 是特解. (3)解:原方程等价于. ,显然: ①是特解. ②是特解. 又显然,与线性无关. 方程通解: 方程特解:. 高等数学模拟试题(一) 一、选择题(每小题3分,共15分) 1、B 2、C 3、D 4、C 5、B 二、填空题(每小题3分,共15分) 1、 2、 3、 4、 5、 三、解答下列各题(每小题8分,共40分) 1、解: 2、解:方程两边同时对求导得 : 整理得 所以 3、解: 函数的定义域,计算一阶和二阶导数: 令得到拐点的可疑点为与 列表判断: 凹 凸 凹 所以,该函数曲线的凹区间为: , 凸区间为, 拐点为和 4、 5、解: 四、解答下列各题(每小题9分,共18分) 1、解:,所以切线方程为: 即 面积 2、解:令则 代入原方程得: 分离变量得: 两边积分得: 即: 两边积分得: 五、解答下列各题(每小题6分,共12分) 1、解:令, 当时, 所以,当时,单调递增,即 故:当时, 即 2、解:由题意可知:表面积满足,所以可得 容积 问题即为求目标函数的最大值。 令可得, 由问题的实际意义可知,为的最大值点, 故当底边长,高为时,容器的容积最大。 高等数学模拟试题(二) 一、填空题(共5小题,每小题3分,共15分) 1. 2. 3 3. 4. 5、= 二.选择题(共5小题,每小题3分,共15分) 1.(A) 2.(C) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 三. 解答下列各题(本大题共5小题,每小题8分, 共40分) 1、解:  2. 解:   3.解: 4. 解: 5. 证明:设 , 当时, 是增函数,, 而, 所以当时,有 四、求解下列各题(本大题共3小题,每小题6分, 共18分) 1. 解: 2. 解:,两边求导 , , 对方程,两边再求导得 所以 3. 解: 五、(本题6分) 解: (1)图形的面积 (2)旋转体的体积 六、(本题6分) 设圆形的周长为,则正方形的周长为,则 两图形面积和: 令,求得驻点 故当圆周长为,正方形周长为时两图形的面积和最小. 第19页/共19页
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