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高等数学作业答案(2012-2013-1)
第一章 函数、极限与连续
1.1函数
1、(1)×(2)×(3)√
2、(1)不同,定义域不同;
(2)不同,对应法则不同.
3、 (1)
,
;
(2) 时; 为空集.
4、(1)奇;(2)奇;(3)奇.
5、 (1) (2)
6、 (1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
7、 (1) ;
(2) ;
(3) .
8、略
9、
10、
★11、.
1.2极限
1、(1) ;(2) ;
(3) 极限不存在; (4) 极限不存在.
2、(1) 例:,
(2) 例:,
3、(1) 极限不存在;
(2)
时,的极限不存在;
(3)
时,的极限不存在.
4、;
当时,左、右极限不一样,极限不存在.
5、;不存在.
1.3极限的运算法则
1、2; 2、0; 3、;
4、 5、 6、
7、.
8、
1.4极限存在准则 两个重要极限
1、(1) ;(2) ;(3) ;(4) 1;(5) 0;
(6) ;(7);(8)2 ;(9) ;(10) .
2、1 3、.
1.5无穷小与无穷大
1、(1)时是无穷小;时是无穷大.
(2)时是无穷小;时是无穷大.
(3)时是无穷小;
时是无穷大.
(4)时是无穷小;以及时是无穷大.
2、(1)既不是无穷小,又不是无穷大;
(2)前者是无穷小,后者是无穷大.
3、(1)错(2)正确(3)正确(4)正确
(5)错.例:当时,与均是无穷小,但商为无穷大.
(6)错.例:当时,和均是无穷大,但其和为有界函数.
(7)正确
4、 ,理由:无穷小的倒数是无穷大.
★5、解:
(1),取,此时,. 当充分大时,. 所以无界.
(2)取,此时,. 故. 所以,时不是无穷大.
6、(1);
(2)时等价; 时同阶;
(3) 同阶; (4) 同阶.
7、(1); (2) ; (3) ,.
8、 (1) (2)(3).
1.6连续函数的概念与性质
1、连续
2、(1)是可去间断点,是无穷间断点.
(2) 是可去间断点.
(3) 是第二类间断点,是无穷间断点.
(4) 是无穷间断点.
(5) 是跳跃间断点,是无穷间断点.
★(6),
第一类跳跃.
3、(1)
(2),.
4、.
5、(1);(2) 0;(3) 1/2;(4) 0;
(5) ;(6) (7) (8) 1
6、解:令,显然.
,由零点定理知,至
少存在一点使得,原即方程在0与1
之间至少有一实根. 证毕□
★7、
★8、证:易知设,,则.
于是有
在上使用介值定理得:在内至少存在一点使
. 证毕□综合练习题一
1、
2、证:当时, ①
②
联立①②得:
.
又,显然是奇函数. 证毕□
★3、D
4、证:
在处连续. 证毕□
5、(1)(2)(3).(4) ★(5)1
★(6)0 6、
7、是无穷间断点;是可去间断点;
是跳跃间断点.
8、解:
是函数的跳跃间断点.
在点处连续.
★ 9、(1),(2).
10、(1)(2)(3)
★11、证:令,则.
易知,.
①若或,则取或均可.
②否则,由零点定理知至少存在一点,使,即.
无论哪种情况点都存在. 证毕□
★12、证:由在上连续,得在上一定存在最小值和最大值,分别记为和.于是有:
由介值定理得:在上必存在点使
,再移项得证. 证毕□
★★13、证:在极坐标系下建立温度函数为,显然有:. 温度在圆环上非均匀连续分布,于是有.
设,当时,. 在上连续,在上连续.
若,则问题得证.
否则就有,由零点定理知,至少存在一点,使得. 即:
. 证毕□
第二章 一元函数的导数与微分
2.1 导数的概念
1、(1)-20 (2)1
2、(1) (2)(3)
3、 4、
5、证法一:
(因为为偶函数)
(因为)
. 证毕□
证法二:
. 证毕□
★6、证:
函数在处连续
存在
存在存在
在处可导. 证毕□
2.2 函数的求导法则
1、(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2、(1)-2 (2)
3、(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7)
(8)
(9)
4、证:(1)设为偶函数,且可导,下证为奇函数.
,
所以,为奇函数. 证毕□
另一个同理可证.
(2)设是以为周期的周期函数,且可导,下证也是以为周期的周期函数.
,
. 证毕□
5、
6.(1) (2)
2.3 高阶导数
1. (1) (2)
(3)
2.(1) (2)
(3) .
(4)
3. (1) (2)
2.4 隐函数的导数与由参数方程所确定的函数
的导数
1、(1) (2)
2、
3、 (1) (2)
4、(1)
(2)
2.5 函数的微分
1、参考答案:(1)可导与可微是等价的,即存在性是一样的.
(2)导数和微分是两个完全不同的概念.
①导数是一个数;是函数在该点处的变化率;是曲线在点处的切线的斜率. ②微分是函数在点处增量(改变量)的线性主部,是的近似值,是的线性函数;是曲线在点处的切线的纵坐标在点的改变量.
2、(1)
(2) (3)
3、(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
4、 ★5、
2.6 微分中值定理
1、方程有且仅有三个实根,它们分别在区间内.
2、证:,由零点定理得,函数在内至少存在一零点. 下证函数在内不可能有两个及以上的零点.
(反证法)不妨令是函数的两个零点,即. ,由Rolle定理得:至少存在一点,使得. 而实际上,在内无实根,矛盾. 证毕□
3、证:原不等式等价于:
令,显然在上连续,内可导,由Lagrange中值定理得:至少存在一点,使得.
又,于是有:
,整理变形即可. 证毕□
★★4、证:显然是方程的两个实根.
令,则.
,;
由零点定理得,原方程在内至少存在一实根. 下证原方程不可能有四个及以上实根.
(反证法)不妨令是方程的4个实根,即.
分别在上使用Rolle定理得:在内分别存在点使得对函数分别在区间上使用Rolle定理得:在内分别存在点使得对函数在区间上使用Rolle定理得:在内存在点使得 而无实根,矛盾. 故原方程有且仅有三个实根. 证毕□
2.7 洛必达法则
1、(1) ;(2);(3);(4)1.
2、(1)不能 极限为1 (2)不能 极限为1
(3)不能 极限为1 (4)不能 极限为1
3、 4、36. ★5、.
6、.
2.8 泰勒公式
1、. 2、.
3、证:
. 证毕□
4、
2.9 函数的单调性与曲线的凹凸性
1、证:
当时,. 故函数在区间内单调减少. 证毕□
2、解:
令得:. 列表解析:
3、单调增, ,单调减.
4、证略
5、凸区间,凹区间, 拐点
6、
2.10 函数的极值与最值
1、单调增区间为;
单调减区间为,.
极小值;极大值.
2、
3、最大值为2,最小值为 -2.
4、最小值
5、储油罐底半径,高为
6、
2.11 函数图形的描绘
1. 水平渐近线.
2. 水平渐近线;垂直渐近线.
2.12 曲率
1. 曲率,曲率半径.
2. 处曲率最大,为1.
综合练习题二
1.
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
(6)
(7)
(8)
2.
3.
4.
5.
6. . 7、 8、0
9、(1) (2) (3) ★(4) 1
10、证:易知在上连续,在内可导,又.
在区间上分别使用Rolle定理得:至少存在分属于使得:
.
在区间上对函数使用Rolle定理得:至少存在点,使得:. 证毕□
★11、解:
(洛必达法则)
(导数定义)
.
注:下列做法是错误的!
(洛必达法则√)
(洛必达法则×)
.
12、(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√
★★(6)×
13、单调增,上单调减.
14、略
★15. 解:令.
的根为.
① 当时,,即单调增
加;
② 当时,,即单
调减少.这说明是的最大值,,即,从而在上无零点. 即方程无实根.
16、
★17、是极小值
★18、证:令,则,
. 在或上是上凹的,于是.
即.
即. 证毕□
19、201元.
高等数学期中自测试题
一、1、A 2、D 3、C 4、D 5、D
二、1、[1,2] 2、1/2 3、
4、 5、
三、1、 2、 3、0 4、
5、略 6、单调减,单调增
四、(1).
(2)
五、
六、提示:用反证法
七、当半圆半径和矩形高相等且均为时通
过光线最充足.
八、连续
第三章 一元函数积分学
3.1 不定积分的概念与性质
1. 求下列不定积分:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2.
3.
3.2 不定积分的换元积分法
1、用凑微分法求下列不定积分:
(1) ;(2)
(3);
(4)
;
(5) ;(6)
(7)
(8)
(9)
2、用换元积分法求下列不定积分:
(1);(2);
(3)
(4)
(5);
(6)解:令则.
.
3.3 不定积分的分部积分法
1、
2、
3、
4、
3.4 其它类型不定积分举例
1、
2、
3、
4、
3.5 定积分的概念与性质
1、.
2、(1);(2)
3、(1);
(2)
4、略
3.6 微积分基本公式
1、(1);(2);(3);(4).
2、(1);(2);
(3)
(4)
3、(1)(2) 4、
5、(1);(2) ;
(3)解:
.
(4).
6、1.
3.7 定积分的换元积分法与分部积分法
1、(1); (2).
(3)
(4)1
(5)
(6)
2、.
3、
★4、 ★5、
6、证:
. 证毕□
★★7、或.
3.8 定积分的几何应用
1、(1);(2) (3)或
2、; 3、
4、,;
5、;
6、 7、略
3.9 定积分的物理应用举例
1、 2、
3、.
3.10 反常积分
(1);(2)发散
(3)
(4)
综合练习题三
1、提示:用洛必达法则.
2、求下列不定积分
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11) 12)
13) .
14)
3、.
4、.
5、计算下列定积分
(1);(2);(3);
(4) (5)1 (6)
6、前一种做法正确,后一种做法错误,错误之处在于:不是在上的原函数.
7、错误在于对不定积分的理解.
8、略
9、0
10. ; 11. ; 12. ;
13. .
第四章 常微分方程
4.1 微分方程的基本概念
1、(1) 一阶;(2)二阶;(3)一阶;(4)三阶
2、不是
3、(3)(4)
4、略
5、所求函数为(1) (2)
6、;7、
4.2 可分离变量的微分方程
1.(1)(2)
2.(1)特解为
(2)
3.
4.3 齐次方程
1.(1)
(2)或
(3)
2.(1)通解为,
特解为
(2)通解为 C=1
特解为:
4.4 一阶线性微分方程
1.(1) (2)
(3)
2. 3.
4、 5、
4.5 可降阶的高阶微分方程
1.(1)
(2)
(3)
2.(1) (2)
4.6 二阶常系数齐次线性微分方程
1.
2. 解:
是解.
是解.
又常数. 线性无关.
通解是:.
3、(1); (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
4、(1)解:
通解
(2)解:
通解
(3)解:
通解
5、(1)
(2)
6、.
4.7 二阶常系数非齐次线性微分方程
1.BCDCD BDBBB
2、(1)
(2)
3、
4、;
通解:.
5、略
综合练习题四
一、A BDCAC
二、1., 其中为常数)
2. 3. 4.
5.
6.
三、1、
2、
3、
4、
5、
6、
四、(1)证:
是特解.
(2)证:
是特解.
(3)解:原方程等价于.
,显然:
①是特解.
②是特解.
又显然,与线性无关.
方程通解:
方程特解:.
高等数学模拟试题(一)
一、选择题(每小题3分,共15分)
1、B 2、C 3、D 4、C 5、B
二、填空题(每小题3分,共15分)
1、 2、 3、
4、 5、
三、解答下列各题(每小题8分,共40分)
1、解:
2、解:方程两边同时对求导得 :
整理得
所以
3、解: 函数的定义域,计算一阶和二阶导数:
令得到拐点的可疑点为与
列表判断:
凹
凸
凹
所以,该函数曲线的凹区间为:
,
凸区间为, 拐点为和
4、
5、解:
四、解答下列各题(每小题9分,共18分)
1、解:,所以切线方程为:
即
面积
2、解:令则
代入原方程得:
分离变量得:
两边积分得:
即:
两边积分得:
五、解答下列各题(每小题6分,共12分)
1、解:令,
当时,
所以,当时,单调递增,即
故:当时,
即
2、解:由题意可知:表面积满足,所以可得
容积
问题即为求目标函数的最大值。
令可得,
由问题的实际意义可知,为的最大值点,
故当底边长,高为时,容器的容积最大。
高等数学模拟试题(二)
一、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
1. 2. 3 3. 4. 5、=
二.选择题(共5小题,每小题3分,共15分)
1.(A) 2.(C) 3. (B) 4. (C) 5. (D)
三. 解答下列各题(本大题共5小题,每小题8分, 共40分)
1、解:
2. 解:
3.解:
4. 解:
5. 证明:设 ,
当时,
是增函数,,
而,
所以当时,有
四、求解下列各题(本大题共3小题,每小题6分, 共18分)
1. 解:
2. 解:,两边求导
,
,
对方程,两边再求导得
所以
3. 解:
五、(本题6分)
解:
(1)图形的面积
(2)旋转体的体积
六、(本题6分)
设圆形的周长为,则正方形的周长为,则
两图形面积和:
令,求得驻点
故当圆周长为,正方形周长为时两图形的面积和最小.
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