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高等数学作业答案（2012-2013-1）
第一章 函数、极限与连续
1.1函数
1、（1）×（2）×（3）√
2、(1)不同，定义域不同；
(2)不同，对应法则不同．
3、 (1)
，
；
(2) 时； 为空集．
4、（1）奇；（2）奇；（3）奇.
5、 (1) (2)
6、 (1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
7、 (1) ；
(2) ；
(3) ．
8、略
9、
10、
★11、.
1.2极限
1、(1) ；(2) ；
(3) 极限不存在； (4) 极限不存在．
2、(1) 例：，
(2) 例：，

31) 极限不存在；
(2)

时,的极限不存在；
(3)
时，的极限不存在．
4、；
当时，左、右极限不一样，极限不存在．
5、；不存在.
1.3极限的运算法则
1、2； 2、0； 3、；
4、 5、 6、
7、.
8、
1.4极限存在准则 两个重要极限
1、(1) ；(2) ；(3) ；(4) 1；(5) 0；
(6) ；(7)；(8)2 ；(9) ；(10) .
2、1 3、.
1.5无穷小与无穷大
1、（1）时是无穷小；时是无穷大.
（2）时是无穷小；时是无穷大.
（3）时是无穷小；
时是无穷大
（4）时是无穷小；以及时是无穷大.
2、（1）既不是无穷小，又不是无穷大；
（2）前者是无穷小，后者是无穷大.
3、（1）错（2）正确（3）正确（4）正确
（5）错．例：当时，与均是无穷小，但商为无穷大．
（6）错．例：当时，和均是无穷大，但其和为有界函数．
（7）正确
4、 ，理由：无穷小的倒数是无穷大.
★5、解：
（1），取，此时，. 当充分大时，. 所以无界.
（2）取，此时，. 故. 所以，时不是无穷大．
6、(1)；
(2)时等价; 时同阶；
(3) 同阶； (4) 同阶．
7、(1)； (2) ； (3) ，．
8、 （1） （2）（3）．

1.6连续函数的概念与性质
1、连续
2、(1)是可去间断点，是无穷间断点.
(2) 是可去间断点.
(3) 是第二类间断点，是无穷间断点.
(4) 是无穷间断点.
(5) 是跳跃间断点，是无穷间断点.
★（6）,
第一类跳跃．
3、(1)
（2），．
4、．
5、(1)；(2) 0；(3) 1/2；(4) 0；
(5) ；(6) (7) (8) 1
6、解：令，显然.
，由零点定理知，至
少存在一点使得，原即方程在0与1
之间至少有一实根． 证毕□
★7、
★8、证：易知设，，则.
于是有
在上使用介值定理得：在内至少存在一点使
． 证毕□综合练习题一
1、
2、证：当时， ①
②
联立①②得：
.
又，显然是奇函数. 证毕□
★3、D
4、证：

在处连续． 证毕□
5、（1）（2）（3）.（4） ★（5）1
★（6）0 6、
7、是无穷间断点；是可去间断点；
是跳跃间断点.
8、解：
是函数的跳跃间断点.
在点处连续.
★ 9、（1），（2）.
10、（1）（2）（3）
★11、证：令，则.
易知，.

①若或，则取或均可.
②否则，由零点定理知至少存在一点，使，即.
无论哪种情况点都存在. 证毕□
★12、证：由在上连续，得在上一定存在最小值和最大值，分别记为和.于是有：

由介值定理得：在上必存在点使
，再移项得证． 证毕□
★★13、证：在极坐标系下建立温度函数为，显然有：. 温度在圆环上非均匀连续分布，于是有．
设，当时，. 在上连续，在上连续.

若，则问题得证.
否则就有，由零点定理知，至少存在一点，使得. 即：
. 证毕□
第二章 一元函数的导数与微分
2.1 导数的概念
1、（1）-20 （2）1
2、（1） （2）（3）
3、 4、
5、证法一：

（因为为偶函数）

（因为）
. 证毕□
证法二：

. 证毕□
★6、证：
函数在处连续
存在
存在存在
在处可导. 证毕□
2.2 函数的求导法则
1、（1）
(2)
(3)
(4)

(5)
2、（1）-2 （2）
3、(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7)
(8)
(9)
4、证：（1）设为偶函数，且可导，下证为奇函数.
，

所以，为奇函数. 证毕□
另一个同理可证.
（2）设是以为周期的周期函数，且可导，下证也是以为周期的周期函数.
，

. 证毕□
5、
6．(1) (2)
2.3 高阶导数
1. (1) (2)
(3)
2．(1) (2)
(3) .
(4)
3. (1) (2)
2.4 隐函数的导数与由参数方程所确定的函数
的导数
1、(1) (2)
2、
3、 (1) (2)
4、（1）
（2）
2.5 函数的微分
1、参考答案：（1）可导与可微是等价的，即存在性是一样的.
（2）导数和微分是两个完全不同的概念.
①导数是一个数；是函数在该点处的变化率；是曲线在点处的切线的斜率. ②微分是函数在点处增量（改变量）的线性主部，是的近似值，是的线性函数；是曲线在点处的切线的纵坐标在点的改变量.
2、(1)
(2) (3)
3、（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
4、 ★5、
2.6 微分中值定理
1、方程有且仅有三个实根,它们分别在区间内.
2、证：，由零点定理得，函数在内至少存在一零点. 下证函数在内不可能有两个及以上的零点.
（反证法）不妨令是函数的两个零点，即. ，由Rolle定理得：至少存在一点，使得. 而实际上，在内无实根，矛盾. 证毕□
3、证：原不等式等价于：
令，显然在上连续，内可导，由Lagrange中值定理得：至少存在一点，使得.
又，于是有：
，整理变形即可. 证毕□
★★4、证：显然是方程的两个实根.
令，则.
，；
由零点定理得，原方程在内至少存在一实根. 下证原方程不可能有四个及以上实根.
（反证法）不妨令是方程的4个实根，即.
分别在上使用Rolle定理得：在内分别存在点使得对函数分别在区间上使用Rolle定理得：在内分别存在点使得对函数在区间上使用Rolle定理得：在内存在点使得 而无实根，矛盾. 故原方程有且仅有三个实根. 证毕□
2.7 洛必达法则
1、（1） ；（2）；（3）；（4）1.
2、（1）不能 极限为1 （2）不能 极限为1
（3）不能 极限为1 （4）不能 极限为1
3、 4、36. ★5、.
6、.
2.8 泰勒公式
1、. 2、.
3、证：

. 证毕□
4、
2.9 函数的单调性与曲线的凹凸性
1、证：

当时，. 故函数在区间内单调减少. 证毕□
2、解：
令得：. 列表解析：

3、单调增, ,单调减.
4、证略
5、凸区间，凹区间, 拐点
6、
2.10 函数的极值与最值
1、单调增区间为；
单调减区间为,.
极小值；极大值.
2、
3、最大值为2,最小值为 -2.
4、最小值
5、储油罐底半径，高为
6、
2.11 函数图形的描绘
1. 水平渐近线.
2. 水平渐近线；垂直渐近线.
2.12 曲率
1. 曲率,曲率半径.
2. 处曲率最大,为1.
综合练习题二
1.
（1）
（2）
（3）
(4) (5)
(6)
(7)
(8)
2.
3.
4.
5.
6. . 7、 8、0
9、（1） （2） （3） ★(4) 1
10、证：易知在上连续，在内可导，又.
在区间上分别使用Rolle定理得：至少存在分属于使得：
.
在区间上对函数使用Rolle定理得：至少存在点，使得：. 证毕□
★11、解：
（洛必达法则）
（导数定义）
.
注：下列做法是错误的！

（洛必达法则√）
（洛必达法则×）
.
12、（1）√（2）×（3）√（4）×（5）√
★★（6）×
13、单调增,上单调减.
14、略
★15. 解：令.
的根为.
① 当时，，即单调增
加；
② 当时，，即单
调减少.这说明是的最大值，，即，从而在上无零点. 即方程无实根.
16、
★17、是极小值
★18、证：令，则，
. 在或上是上凹的，于是.
即.
即. 证毕□
19、201元.
高等数学期中自测试题
一、1、A 2、D 3、C 4、D 5、D
二、1、[1,2] 2、1/2 3、
4、 5、
三、1、 2、 3、0 4、
5、略 6、单调减，单调增
四、（1）.
（2）
五、
六、提示：用反证法
七、当半圆半径和矩形高相等且均为时通
过光线最充足.
八、连续
第三章 一元函数积分学
3.1 不定积分的概念与性质
1. 求下列不定积分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）

（6）
2．
3．
3.2 不定积分的换元积分法
1、用凑微分法求下列不定积分：
（1） ；（2）
（3）；
（4）

；
（5） ；（6）
（7）
（8）
（9）
2、用换元积分法求下列不定积分：
（1）；（2）；
（3）
（4）
（5）；
（6）解：令则.

.
3.3 不定积分的分部积分法
1、
2、
3、
4、
3.4 其它类型不定积分举例
1、
2、
3、
4、
3.5 定积分的概念与性质
1、.
2、（1）；（2）
3、（1）；
（2）
4、略
3.6 微积分基本公式
1、（1）；（2）；（3）4）.
2、（1）；（2）；
（3）
（4）
3、（1）（2） 4、
5、（1）；(2) ；
（3）解：
.
（4）.
6、1.
3.7 定积分的换元积分法与分部积分法
1、（1）； （2）.
（3）
（4）1
（5）
（6）
2、.
3、
★4、 ★5、
6、证：
. 证毕□
★★7、或.
3.8 定积分的几何应用
1、（1）；（2） （3）或

2、； 3、
4、，；
5、；
6、 7、略
3.9 定积分的物理应用举例
1、 2、
3、.
3.10 反常积分
（1）；（2）发散
（3）
（4）
综合练习题三
1、提示：用洛必达法则.
2、求下列不定积分
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11) 12）
13) .
14)
3、.
4、.
5、计算下列定积分
（1）；（2）；（3）；
（4） （5）1 （6）
6、前一种做法正确，后一种做法错误，错误之处在于：不是在上的原函数.
7、错误在于对不定积分的理解.
8、略
9、0
10. ； 11. ； 12. ；
13. .
第四章 常微分方程
4.1 微分方程的基本概念
1、（1） 一阶；（2）二阶；（3）一阶；(4)三阶
2、不是
3、（3）（4）
4、略
5、所求函数为（1） （2）
6、；7、
4.2 可分离变量的微分方程
1．（1）（2）
2．（1）特解为
（2）
3.
4.3 齐次方程
1．（1）
（2）或
（3）
2．（1）通解为，
特解为
（2）通解为 C=1
特解为：
4.4 一阶线性微分方程
1.（1） (2)
(3)
2. 3.
4、 5、
4.5 可降阶的高阶微分方程
1．（1）
（2）
（3）
2．（1） （2）

4.6 二阶常系数齐次线性微分方程
1.
2. 解：
是解.

是解.
又常数. 线性无关.
通解是：.
3、(1); (2)
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
4、（1）解：
通解
（2）解：
通解
（3）解：
通解
5、（1）
（2）
6、.
4.7 二阶常系数非齐次线性微分方程
1．BCDCD BDBBB
2、（1）
（2）
3、
4、；
通解：.
5、略
综合练习题四
一、A BDCAC
二、1．, 其中为常数)
2. 3. 4.
5．
6.
三、1、
2、
3、
4、
5、
6、
四、（1）证：
是特解.
（2）证：
是特解.
（3）解：原方程等价于.
，显然：
①是特解.
②是特解.
又显然，与线性无关.
方程通解：

方程特解：.
高等数学模拟试题（一）

一、选择题（每小题3分，共15分）
1、B 2、C 3、D 4、C 5、B
二、填空题（每小题3分，共15分）
1、 2、 3、
4、 5、
三、解答下列各题（每小题8分，共40分）
1、解：

2、解：方程两边同时对求导得 ：

整理得
所以
3、解： 函数的定义域，计算一阶和二阶导数：

令得到拐点的可疑点为与
列表判断：

凹

凸

凹

所以，该函数曲线的凹区间为：
，
凸区间为， 拐点为和
4、

5、解：

四、解答下列各题（每小题9分，共18分）
1、解：，所以切线方程为:

即
面积
2、解：令则
代入原方程得：
分离变量得：
两边积分得：
即：
两边积分得：
五、解答下列各题（每小题6分，共12分）
1、解：令，
当时，

所以，当时，单调递增即
故：当时，
即
2、解：由题意可知：表面积满足，所以可得
容积
问题即为求目标函数的最大值。
令可得，
由问题的实际意义可知，为的最大值点，
故当底边长，高为时，容器的容积最大。
高等数学模拟试题（二）
一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 2. 3 3. 4. 5、=
二．选择题（共5小题，每小题3分，共15分）
1．（A） 2．（C） 3. （B） 4. （C） 5. （D）
三. 解答下列各题（本大题共5小题，每小题8分, 共40分）
1、解： 
2. 解：

3.解：

4. 解：

5. 证明：设 ，

当时，
是增函数，，
而，
所以当时，有
四、求解下列各题（本大题共3小题，每小题6分, 共18分）
1. 解：

2. 解：，两边求导
，
，
对方程，两边再求导得

所以
3. 解：

五、(本题6分)
解：
（1）图形的面积
（2）旋转体的体积

六、（本题6分）
设圆形的周长为，则正方形的周长为，则
两图形面积和：

令，求得驻点
故当圆周长为，正方形周长为时两图形的面积和最小.

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