二次曲线交点问题错解例析.doc

判别式法难判别
————二次曲线交点问题错解例析
广东省乳源高级中学 王业坤
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题目（2012年广东高考理科试题）：在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.
错解：(1) ，
，即椭圆的方程可写为。
设点是椭圆上的点，则 .
消去，得。
因为点P到点的距离的最大值为3，所以圆与该椭圆相切，于是由解得。
故所求方程为。
1、错解分析：本题涉及圆和椭圆的交点问题。事实上，如果点在椭圆上或外部，这时 圆和椭圆都是关于坐标轴对称对称的，所以可以用判别式。但是，如果如果点在椭圆内部，就不能使用判别式了。当然，本题的结论是点恰好在椭圆的外部，所以虽然上述解法答案是正确的但过程是不妥当的，应该扣分。
2、正确解法：(1)由已知椭圆的离心率为，即1-，∴a2=3b2，
故可设椭圆的方程为，即x2+3y2=3b2.。再设P(x,y)为椭圆上任意一点，
则PQ2=x2+(y-2)2==-2(y+1)2+3b2+6(-b≤y≤b)，
当-b≤-1，即b≥1时,，PQ2的最大值为3b2+6=9，得b2=1；
当-b>-1，即b<1时， PQ2的最大值为-2b2+4b+3b2+4=9，得b=1与b<1矛盾，所以舍去，
故椭圆的方程为。
(2)假设存在点M(m,n)，使得直线mx+ny=1与圆相交与两个不同的点A、B，
则 ①，∵OA=OB=1，若△AOB面积最大，则∠AOB=90°，△AOB为等腰直角三角形，所以圆心O到直线l的距离为，即②
由①、②得,即存在点M的坐标为或 ，且△OAB的面积S△OAB=×1×1=。
3、规律探究
两条曲线交点问题是解析几何中的最常见问题，判别式法是常用的方法。但是不少考生因忽视判别式的适用范围而导致错解。众所周知，由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应是两个曲线的方程组成的方程组的实数解；反之，方程组有几个实数解，那么这两条曲线就有几个交点。这就是说两条曲线有交点的充要条件是其方程组有实数解。若两曲线是一条直线和一条二次曲线，那么方程组消元后可得关于变量（或变量）的一元二次方程，解出变量（或变量）的值再代入直线方程总可得到相应的（或变量）。这样,直线和二次曲线交点的个数就由这个二次方程的判别式唯一确定。但若两曲线都是二次的,间题就复杂多了，因为两条二次曲线一般说来有四个交点,所以消元后归结为高次方程,这时二次方程的判别式就无能为力了。但在特殊情况下,比如两条二次曲线关于坐标轴对称，且消元后能归结为二次方程(或准二次方程)，则仍可借助于判别式来讨论。不过此时的判别式仅只能判定这个二次方程本身解的情况，而不涉及两曲线交点坐标的整体情形。因为在解出一个变元的值后，还需再解另一个二次方程以求得另一个变元的值，两个值合起来才能组成交点的坐标。所以在求解两个二次曲线的交点时，需要对两个方程的判别式同时进行讨论，方可得出合乎逻辑的正确结论。有鉴如此，建议考生遇到二次曲线交点问题最好回避“判别式”而改用其它方法，当然如果能够转化为关于或的二次方程，可以考虑用判别式法但要结合韦达定理等来限定根的范围。
4、 提升
变式一、已知抛物线与圆无交点，求实数的取值范围。
解题分析：当圆的圆心在抛物线内部时，判别式是适用的，但当圆心在抛物线的外部时判别式法就不能用了。故此本题用圆的参数方程把圆上的任意点代入抛物线方程转化为函数的值域问题就可以了。
解：令为圆上任意一点，则可设代入抛物线得：
，
∵，∴。故要使抛物线与圆无交点，实数的取值范围是。

变式二、已知抛物线与双曲线相交于四个点，求实数的取值范围。
解题分析：本题中抛物线与双曲线都是关于轴对称的，可以通过消去得到关于的方程来研究交点问题。但是，仅仅用判别式是不够的，还要结合韦达定理来限定根的范围，同时还要考虑抛物线的开口方向。
解：联立方程解得：。两曲线有四个交点等价于：

解得，所以实数的取值范围是。
变式三、已知抛物线与圆相交于、、、四个点。
（I）求的取值范围；
（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点的坐标。
解题分析：本题中抛物线是关于轴对称的，所以联立抛物线与圆方程消去是可以用判别式法的，但是要结合韦达定理来限定消去后所得的方程根的范围（两个正根）。
解：（I）将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）
抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根，故结合可得。
注：本题也可以利用数形结合及函数和方程的思想来处理。
（II）设四个交点的坐标分别为、、、。
则由（I）根据韦达定理有，
则

令，则 下面求的最大值。
方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。
方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。
下面来处理点的坐标。设点的坐标为：，
由三点共线，则得，
所以点的坐标为。