《电力系统暂态分析》课程教学大纲(第二章).doc

第二章 同步发电机突然三相短路分析

第一节 同步发电机基本方程

一、理想电机
以理想凸极同步发电机为研究对象，它符合下述“四性”假设条件：
1）对称性。定子三相绕组对称，空间上互差120°电角度；转子对本身的直轴和交轴对称。
2）正弦性。定子电流在气隙中产生正弦分布的磁势；转子绕组和定子绕组的互感磁通在气隙中按正弦分布。
3）光滑性。定、转子的槽和沟不影响定、转子电感，即认为电机定、转子表面光滑。
4）不饱和性。铁芯的导磁系数为常数，即忽略磁路饱和的影响，分析中可用叠加原理。
二、物理结构
定子：、、三相绕组；
转子：励磁绕组（）、直轴阻尼绕组（）、交轴阻尼绕组（）。
三、正方向的规定
磁链：绕组轴线正方向作为磁链正方向，即轴线。
电流：定子绕组正向电流产生的磁链与相应绕组轴向相反（去磁作用），即；转子绕组正向电流产生的磁链与相应绕组轴向相同（助磁作用），即。
电压：定子绕组向负荷侧看，电压降正方向与电流正方向一致，即； 励磁绕组向绕组侧看，电压降正方向与电流正方向一致，即）；阻尼绕组为短接绕组，电压为零。

图2-1 同步发电机各绕组轴线正方向示意图

图2-2 同步发电机各回路电路

四、电压方程和磁链方程
1. 电压方程
矩阵形式为
（2-1）
式中，——微分算子。
分块矩阵形式为
（2-2）
2. 磁链方程
矩阵形式为
（2-3）
分块矩阵形式为
（2-4）
将磁链方程代入电压方程，则可得到一组以各绕组电流为变量的微分方程组。若该方程组为常系数微分方程组，则求解容易；若该方程组为变系数微分方程组，则求解是个难题。实际上，该方程组是常系数微分方程组还是变系数方程组，决定于电感系数矩阵是否常系数矩阵。
五、电感系数
1. 电感系数的变化规律
1）与定子绕组相关的电感系数、和均随转子的位置角（转子轴与定子轴之间的夹角）作周期性变化。这是因为转子凸极且旋转（定、转子之间存在相对运动），使以上各电感系数对应的磁链经过的气隙随转子位置按周期性变化。
2）仅与转子绕组相关的电感系数均为常数。这是因为这些绕组设置在转子上，随转子一起旋转，与转子之间没有相对运动。使以上各电感系数对应的磁链经过的气隙不因转子位置变化而变化。且由于轴和轴相互垂直，轴上的绕组和轴上的绕组之间不存在互感，即它们之间的互感系数为0。
2. 结论及启发
1）与定子绕组相关的电感系数是变化的，所以上述微分方程组是一组变系数微分方程组，不能用一般解常系数微分方程的方法求解，求解相当困难。
2）仅与转子绕组相关的电感系数均为常数的事实，给我们一个启示：如果将定子绕组上的各电气量转换到转子上来表示，则可能使变系数微分方程式变为常系数微分方程式。
如何转换？——借助于坐标变换来完成。
六、派克变换
1. 派克变换的实质
就是将定子各电气量（如：电压、电流、电势、磁链等）从原来的坐标系统（设置在定子上，固定不动）转换到新的坐标系统（设置在转子上，随转子一起旋转，轴和轴互相垂直，轴线与转子轴线重合，正方向一致，轴正方向沿转子旋转方向超前轴）。
2. 对派克变换的定性理解
由电机学知识可知，当同步电机定子三相绕组流过对称平衡三相交流电流时，将在空气隙中产生一旋转磁场，该旋转磁场的角速度与定子交流电流角速度相同，旋转方向与交流电流的相序有关。转子励磁绕组施加一直流电流时，将建立一恒定磁场随转子一起旋转，也会在空气隙中产生一旋转磁场。同步电机工作机理实际上就是该两个旋转磁场相互作用（称为电枢反应）的结果。若转子旋转磁场牵着定子旋转磁场跑，则为发电机运行模式；若定子旋转磁场牵着转子旋转磁场跑，则为电动机运行模式。
从产生旋转磁场的角度来看：定子三相绕组流过对称平衡三相交流电流与旋转的转子绕组流过直流电流效果是一样的。由此，从定性的角度不难理解派克变换的实质。
3. 变换关系式的推导
同步电机稳态运行时，电枢磁势幅值不变，转速恒定，相对转子静止。它可以用一个以同步转速旋转的矢量来表示。如果定子电流用一个同步旋转的通用相量表示，那么相量与矢量在数值上成比例，这样当通用相量在以顺转子方向旋转时，它在静止的、、坐标轴上的投影即为对称的三相正序电流的瞬时值、、，如图2-3所示。则
（2-5）
式中，。其中为电流相量的角速度；为初相角。

图2-3 通用电流相量在坐标轴上的 图2-4 通用电流相量在坐标轴上的
投影关系 投影关系

也可以把电流相量分解为轴分量和轴分量，如图2-4所示。则
（2-6）
式中，，称为转子位置角。其中为转子角速度；为转子初始位置角。
利用三角变换式

可得
（2-7）
由式（2-7）可见：通过这种变换，将三相电流、、变换成等效两相电流和。可以设想，这两个电流是定子的两个等效绕组（称为定子直轴等效绕组或定子等效直轴绕组）和（称为定子交轴等效绕组或定子等效交轴绕组）中的电流。这组等效绕组不像实际的、、三相绕组那样在空间上静止不动，而是随转子一起旋转的。等效绕组与转子绕组之间没有相对运动，相应的电感系数也就变为常数了。因此，在坐标系统下同步发电机有5个绕组，即
直轴（轴）方向：定子直轴等效绕组（）、励磁绕组（）、直轴阻尼绕组（）；
交轴（轴）方向：定子直轴等效绕组（）、交轴阻尼绕组（）。
需要说明的是：
1）以上推导是基于定子电流为三相对称电流引出的。这时，和为常数，即为直流。
2）如果定子三相电流不对称但是平衡，即满足 ，那么仍然可以用一个通用相量来代表三相电流，不过这时通用相量的大小和转速是变化的，因而和的大小也是变化的。
3）如果定子三相电流不平衡，即，此时三相电流是三个独立的变量，仅用两个新变量（轴分量和轴分量）不足以代表原来的三个变量。这时可以令
；；

这样、、是平衡的，仍然可用通用相量来表示。另外须补充一个分量，即
（2-8）
称为零轴电流。
联立式（2-7）、式（2-8），则得到定子三相电流为任意情况下的变换关系，写成矩阵形式
（2-9）
缩记为 （2-10）
式中
（2-11）
称为派克变换矩阵。
为非奇异矩阵，因此存在逆阵，即
（2-12）
利用逆变换可得 （2-13）
展开写成
（2-14）
可见：当定子三相电流不平衡时，每相电流中都含有相同的零轴电流。由于定子三相绕组完全对称，在空间上互差电角度，三相零轴电流在气隙中的合成磁势为零，故不产生与转子交链的磁通（不参与电枢反应），它只产生与定子绕组交链的磁通，其值与转子位置无关。
同样的变换关系也适用于其它变量，即
；
；
4. 坐标系统和坐标系统之间的电流变换关系

表2-1 坐标系统和坐标系统之间的电流变换

坐标系统
坐标系统

表2-1说明：
1）坐标系统下的直流和对称倍频交流电流，变换到坐标系统下为基频交流电流。由于变换可逆，也可以说坐标系统下的基频交流电流，变换到坐标系统下为直流和对称倍频交流电流。
2）坐标系统下的基频交流电流，变换到坐标系统下为直流。由于变换可逆，也可以说坐标系统下的直流，变换到坐标系统下为基频交流电流。

七、派克方程
1. 电压变换
经派克变换后得
（2-15）
称为派克方程。
由式（2-15）可以看出：
1）绕组和绕组中的电势包含两项。项是由于磁链大小改变而引起的，其作用原理与变压器类似，所以称为变压器电势；项与转子转速有关，其作用原理与发电机类似，所以称为发电机电势或旋转电势。
2）式中第三个方程，即是独立的，这就是说，等效的零轴绕组从磁的意义上说，对其它绕组是隔离的。基于此，分析中一般不考虑零轴绕组。
2. 磁链变换
经派克变换后得
（2-16）
由式（2-16）可以看出：
1）方程中的各项电感系数都变为常数了。这是因为定子三相绕组已被假想的等效绕组和所代替，这两个绕组的轴线总是分别与轴和轴一致的，而轴向和轴向的导磁系数是与转子位置无关的，因此磁链与电流的关系（电感系数）自然也与转子位置角无关。
2）出现了一个新问题：电感系数矩阵不对称，即定子等效绕组与转子绕组之间的互感系数不可易。其原因为
①从数学上讲，这是由于所采用的变换矩阵不是正交矩阵的缘故。
②从物理意义上讲，定子对转子的互感中出现系数，是因为定子三相合成磁势为一相磁势的倍。
解决的方法有
①对变换矩阵进行改造，使之成为一个正交矩阵。具体是将矩阵前的系数改为， 矩阵前加上系数。
②更惯用的方法是转换为标幺制表示，通过恰当地选择同步发电机定子侧和转子侧各电气量的基准值，使标幺值表示的电感系数为可易。关于同步发电机标幺制系统在此不再赘述。采用标幺制后，不但互感系数可易，而且还存在以下关系

即所有轴互感系数的标幺值均与轴电枢反应电抗相等；所有轴互感系数的标幺值均与轴电枢反应电抗相等。
标幺值下的磁链方程为（为书写方便略去下标“*”）
（2-17）
式中，为绕组的电抗，称为直轴同步电抗；
为绕组的电抗，称为交轴同步电抗；
为绕组的电抗；
为绕组的电抗；
为绕组的电抗；
、分别为直轴、交轴电枢反应电抗；
、、、分别为定子绕组、绕组、绕组、绕组的漏抗。

第二节 同步发电机的电动势、电抗和等值电路

一、用同步电势和同步电抗表示的稳态方程和相量图
1. 稳态运行方程式
稳态可以看作是暂态的特例，同样可以应用派克方程。但稳态运行有如下已知关系：1）；2）、、、、、为常数；3）；4）。以上关系代入电压方程和磁链方程得
（2-18）
（2-19）
（2-20）
（2-21）
（2-22）
整理得
（2-23）
（2-24）
式中
（2-25）
称为发电机空载电势。
将标量表示的方程转换为相量表示的方程。选轴为实轴，超前轴的轴为虚轴，则
；；；；
将以上关系代入式（2-23）、式（2-24），可得
； （2-26）
忽略可得
； （2-27）
则

即
（2-28）
或
（2-29）
这就是同步发电机稳态运行的电压方程式。
2. 相量图和等值电路
（1） 隐极机（）
由于隐极机，故式（2-29）可改写为
（2-30）
根据式（2-30）可以画出隐极机的等值电路图和相量图如图2-5所示。
图2-5 隐极机的等值电路图和相量图

（2）凸极机（）
由于凸极机，故由式（2-29）无法直接画出凸极机的相量图，因为该式中、在、轴确定之前无法确定，须对该式进行变换。

（2-31）
式中
（2-32）
称为虚拟电势。
利用虚拟电势可确定轴方向，因为：1）与、无关；2）、都在轴方向上，则必定在轴方向上。
根据式（2-32）、式（2-31）可以画出凸极机的相量图，根据式（2-27）可以画出凸极机的等值电路图。如图2-6所示。
图2-6 凸极机的相量图和等值电路图

3.的计算方法
1）由确定轴方向，即求得与之间的夹角。
2）；；；。
3）。

二、用暂态电势和和暂态电抗表示的稳态方程和相量图
前述的同步电势和同步电抗的概念及稳态运行的等值电路，很好地解决了同步发电机稳态运行的计算问题。但在短路故障时，同步发电机的定子电流发生变化，从而转子电流和同步电势（是励磁电流的函数）亦发生变化，因此无法利用同步电势来计算短路电流。为计算短路电流，须寻找一个新的电势——暂态电势。
如何寻找暂态电势呢？方法是：利用感性电路磁链不突变的原理来构造一个在突然短路瞬间不突变的电势，其可从短路前（）的稳态运行方式求得，再利用其短路瞬间不突变的特性，就可用于短路后（）的短路电流计算。
1. 电压方程式
讨论对象为无阻尼绕组的同步发电机。对于无阻尼绕组的同步发电机稳态运行，有
（2-33）
（2-34）
（2-35）
式（2-35）两边同乘得
（2-36）
令
（2-37）
或 （2-38）
则式（2-42）可改写为
或 （2-39）
式（2-39）、式（2-40）可改写为
； （2-40）
或
； （2-41）
这是同步发电机稳态运行电压方程式的另一形式。
2. 暂态电势和暂态电抗
（1）交轴暂态电势
（2-42）
短路瞬间励磁绕组磁链不能突变，因而也不能突变，故短路后瞬间可由短路前状态求得。
（2）直轴暂态电抗

（2-43）
可得的等值电路

图2-7 的等值电路和等值磁路

根据的等值磁路可得

解释：电抗与磁路的磁导率成正比，与磁阻成反比。的磁阻由两部分串联而成，即组成和，其和为的总磁阻，其倒数为磁导，也即电抗。
3. 等值电路和相量图
图2-8 用暂态参数表示的相量图和等值电路图

4. 的计算方法
1）由确定轴方向，即求得与之间的夹角。
2）；；；。
3）。

三、用次暂态电势和和次暂态电抗表示的稳态方程和相量图
简单地说，有阻尼绕组的同步发电机相应的“暂态电势”和“暂态电抗”称为次暂态电势和次暂态电抗，并记为、和、。与无阻尼绕组的同步发电机的类似，有阻尼绕组的同步发电机的、在短路瞬间不突变，因而可以从短路前的正常运行方式求得其数值，再根据其不突变的特性用于短路后短路电流的计算。
1. 次暂态电势、
（1）交轴次暂态电势
（2-44）
短路瞬间和不能突变，因而也不能突变。
（2）直轴次暂态电势
（2-45）
短路瞬间不能突变，因而也不能突变。
2. 次暂态电抗、
（1）直轴次暂态电抗

（2-46）
的等值电路和等值磁路

图2-9 的等值电路和等值磁路

（2）交轴次暂态电抗
（2-47）
的等值电路和等值磁路

图2-10 的等值电路和等值磁路

3. 电压方程式、等值电路图及相量图
； （2-48）
； （2-49）
这是同步发电机稳态运行电压方程式的又一形式。

图2-11 用次暂态参数表示的相量图和等值电路图

4. 、的计算方法
1）由确定轴方向，即求得与之间的夹角。
2）；；；。
3）；。

四、本节小结
1. 同步发电机的电抗
（2-50）
2. 同步发电机的电势
（1）总相量图。如图2-12所示。
（2）大小关系
（2-51）
（3）计算方法
1）由确定轴方向，即求得与之间的夹角。
2）；；；。
3）；；；。
小贴士：关于公式的记忆方法
从记忆公式来看，、、三个表达式可以归纳表示为下图，根据该图可以很容易得出

；；
而表达式则可以为基础，将式中的下标d改成下标q、下标q改成下标d、+号改成—号即得

那么问题归结为如何记住上图？关键是要掌握上图有以下特点：1）与电压、电势有关的量下标均为q，除此之外的均为下标d；2）电抗与电势上标的对应关系为“″”对应“″”、“′”对应“′”、无上标对应无上标。

图2-12 总相量图

【例2-1】已知一台同步发电机参数如下：，，，，。运行在额定容量、额定电压、（滞后）的情况下，求短路前、、、、，并作相量图，计算发电机机端突然三相短路、、。
解：取基准功率等于额定容量，基准电压等于额定电压。
，则
令，则
（1）

（2）

（3）

（4）

（5）相量图：如图2-12所示。
【例2-2】某台发电机额定功率为，额定电压为，，，，，。发电机正常运行时输送功率为，机端电压为10.2kV。求发电机的、、、的有名值。
解：取，。则
；
令，则

所以
；

有名值（相）kV
有名值（相）kV
有名值（相）kV
有名值（相）kV
小贴士：关于基准值的合理选择
本例与上例共同点是只有发电机一个元件，不同点在于本例为非额定运行状态，而上例为额定运行状态。对于发电机电势的计算，若为额定运行状态，大家一般都会选择元件的额定参数作为基准值，这样，元件参数标幺值不必换算可以直接使用；但对于非额定运行状态，大家一般会在元件额定参数、或实际运行参数之间选择基准值。若选择元件额定参数作为基准值，则元件的参数标幺值同样不必换算可以直接使用；但若选择实际运行参数为基准值，则元件的参数标幺值就必须进行换算不可直接使用了（切记！！！），这样计算过程势必复杂了。

第三节 应用同步发电机基本方程的拉式运算形式
分析突然三相短路电流

机端三相短路，即；经派克变换后，可得。
一、无阻尼绕组同步发电机
1. 基本方程和已知条件
电压方程
（2-52）
（2-53）
（2-54）
磁链方程
（2-55）
（2-56）
（2-57）
已知条件
，即不调节励磁 （2-58）
2. 应用叠加原理求故障分量方程
令
，，；
，，；
，，。
式中，下标|0|表示短路的正常值。
小贴士：
这样做的目的，是因为各变量的故障分量的初值均为0，这样根据拉氏变换的（时域）导数性质，拉式运算形式的方程不存在常数项而变得简单。
代入基本方程，可得故障分量方程
（2-59）
（2-60）
（2-61）
（2-62）
（2-63）
（2-64）
由得
（2-65）
由得
； （2-66）
3. 进行拉氏变换求运算形式的故障分量方程
小贴士：
拉氏变换，即拉普拉斯（Laplace）变换。是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量做拉氏变换，并在复数域中做各种运算，再将运算结果做拉式反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果容易得多。拉式变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而简化计算。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉式变换的基础上的。
通过拉氏变换，将微分方程变为代数方程求解，变量为，进行一定运算后再经拉氏反变换，求得变量的时间函数，即时域解，变量为。
拉氏函数定义为

式中，为复变数，电工学科中常用代替；为函数，也称原函数；为－拉氏函数，也称象函数。
表2-1 常用的时间函数及其象函数

上述故障分量方程中各变量都是的函数，且初值均为，换算以为变量的象函数得
（2-67）
（2-68）
（2-69）
（2-70）
（2-71）
（2-72）
下面求、和。
式（2-72）代入式（2-69），并整理得
（2-73）
式（2-73）代入式（2-70），并整理得
（2-74）
式中
，称为运算电导。
，称为运算电抗。

不调节励磁（已知条件），即，代入式（2-74）得
（2-75）
式（2-71）、式（2-75）代入式（2-67）、式（2-68），并整理得
（2-76）
（2-77）
式（2-76）、式（2-77）为二元一次方程，变量为和，解得
（2-78）
（2-79）
4. 求解
由上两式可见，、很难变换为可进行拉氏逆变换的式子，要用“数学方法＋物理概念”方法求解近似解。
按微分方程的解有通解和特解：
1）特解：即短路后的稳态值，即、。
2）通解：当特征根为实数时，其解为，当特征根为复数时，其解为。
（1）求特解
稳态时，；忽略电阻，令。则式（2-59）、式（2-60）可改写为
（2-80）
由于，则式（2-62）、式（2-63）可改写为
（2-81）
则

得
（2-82）
（2）求通解
分两步进行：1）求初值，即参数A，相当于处于超导状态，即电阻为零。2）求时间常数。
1）求初值。令，，则
（直轴暂态电抗）
（2-83）
（2-84）
进行拉氏逆变换，求时、的初值
（2-85）
（2-86）
求励磁电流故障分量初值。代入式（2-73），得
（2-87）
（2-88）
2）求时间常数。即求特征根，它由特征方程决定。特征方程为
（2-89）
该方程不好进行因式分解，因此分成定子、转子的时间常数分别考虑，以简化分解。即分两步走：1）求转子绕组对应的时间常数，假设；2）求定子绕组对应的时间常数，假设。
A．求转子绕组对应的时间常数。令，则
（2-90）
或 （2-91）
由得
（对应定子绕组） （2-92）
由得

（2-93）
其中
，为励磁绕组的时间常数。
，称为直轴暂态分量衰减时间常数。相当于dd短接时，ff回路的时间常数。

图2-13 的等值电路图
从等效电路图来看，也有

时间常数是由转子励磁绕组回路的时间常数决定的，所以相应的电流自由分量是为了保持励磁绕组磁链不变而出现的。
B．求定子绕组对应的时间常数。令，则
（直轴暂态电抗）
（2-95）

（2-96）

（近似为基频）
（2-97）
时间常数是由定子绕组回路的时间常数决定的，所以相应电流自由分量是为了保持定子绕组磁链不变而出现的。对定子三相绕组而言，该电流分量为非周期分量，经派克变换后可到的、为基频交流分量。
3）求、
中有：
① 直流分量由初值衰减到稳态分量，其衰减的时间常数是为。它是为保持励磁绕组磁链不变而出现的。

② 交流分量由初值衰减到0，其衰减的时间常数为。它是为保持定子绕组磁链不变而出现的。

③ 稳态电流为

所以
　　　　　 （2-98）
中有：
① 交流分量由初值衰减到0，其衰减的时间常数为。它是为保持定子绕组磁链不变而出现的。

② 稳态电流为

所以
　　　　　 （2-99）
、的正常分量为
（2-100）
（2-101）
所以

（2-102）
（2-103）
4）由、进行派克逆变换求、、

（2-104）

由此可见，定子电流有四个分量：
① 交流稳态分量：，强制分量，是短路后的稳态电流。
② 交流基频衰减分量：，自由分量，是为了保持励磁绕组磁链不变而出现的。
③ 非周期分量（或称直流衰减分量）：，自由分量，是为了保持定子绕组磁链不变而出现的。
④ 倍频分量：，自由分量，是为了保持是为了保持定子绕组磁链不变而出现的。
将中的用代替即得，将中的用代替即得。
5）求励磁绕组电流
中有：
① 直流分量由初值衰减到0()，其衰减的时间常数为。

② 交流分量由初值衰减到0，其衰减的时间常数为。

的正常分量为

所以
（2-105）

二、有阻尼绕组同步发电机
1. 拉氏运算形式的故障分量方程和已知条件
故障分量方程
（2-106）
（2-107）
（2-108）
（2-109）
（2-110）
（2-111）
（2-112）
（2-113）
（2-114）
（2-115）
已知条件
，即不调节励磁 (2-116)
由式（2-106）~（2-115）可得
(2-117)
(2-118)
(2-119)
(2-120)
(2-121)
其中
(2-122)
(2-123)
，称为运算电导 (2-125)
，称为直轴运算电抗 (2-126)
称为交轴运算电抗 (2-127)

2. 求解（数学方法＋物理概念）
（1）求特解。短路后故障分量的稳态电流值，即、。
(2-128)
也可直接求解和当时的对应原函数获得。
（2）求通解。分两步进行：1）求初值；2）求时间常数。
1）求初值。（）超导状态，即令，则

(2-129)
(2-130)
(2-131)
(2-132)
(2-133)
进行拉氏逆变换，求时初值
(2-134)
(2-135)
(2-136)
(2-137)
(2-138)
2）求时间常数。即求特征根，它由特征方程决定。特征方程为
(2-139)
A．求转子绕组对应的时间常数。令，则
(2-140)
或或 (2-141)
由得
（对应定子绕组） (2-142)
由得

可改写为

式中
，ff绕组本身的时间常数。相当于dd开路、DD开路时，ff绕组回路的时间常数。
，DD绕组本身的时间常数。相当于dd开路、ff开路时，DD绕组回路的时间常数。
，相当于DD开路、dd短接时，ff绕组回路的时间常数。其中，，为DD开路、dd短接时，ff绕组的电抗。

图2-14 的等值电路图
，相当于ff开路、dd短接时，DD绕组回路的时间常数。其中，，为ff开路、dd短接时，DD绕组的电抗。

图2-15 的等值电路图

，相当于dd开路、ff短接时，DD绕组回路时间常数。其中，，为dd开路时，ff与DD之间的漏磁系数。

图2-16 的等值电路图

小贴士：
两个线圈ff、DD的磁耦合系数，漏磁系数。
，相当于dd短接、ff短接时，DD绕组回路的时间常数。其中，；，为dd短接时，ff与DD之间的漏磁系数；。

图2-17 的等值电路图

特征根为
(2-143)
其中
(2-144)
直轴暂态分量衰减时间常数
(2-145)
(2-146)

直轴次暂态分量衰减时间常数