三角函数详案.doc

1、 理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示法；
2、 能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三角函数的值；
3、 掌握 Rt △中的锐角三角函数的表示：
sinA= ， cosA= ， tanA=
4 、掌握锐角三角函数的取值范围；
5 、通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法。
教学重点：
锐角三角函数相关定义的理解及根据定义计算锐角三角函数的值。
教学难点：
  锐角三角函数概念的形成。
教学过程：
一、创设情境：
鞋跟多高合适？
美国人体工程学研究人员卡特·克雷加文调查发现， 70 ％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为 6 至 7 厘米左右的高跟鞋。但专家认为穿 6 厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等处的肌肉非常容易疲劳。
据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为 11 度左右时，人脚的感觉最舒适。假设某成年人脚前掌到脚后跟长为 15 厘米，不难算出鞋跟在 3 厘米左右高度为最佳。
问：你知道专家是怎样计算的吗？
  显然，高跟鞋的鞋底、鞋跟与地面围城了一个直角三角形，回顾直角三角形的已学知识，引出课题。
二、探索新知：
1 、下面我们一起来探索一下。
实践一：作一个 30 °的∠ A ，在角的边上任意取一点 B ，作 BC ⊥ AC 于点 C 。
⑴计算，，的值，并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。∠ A=30 °时学生 1 结果       学生 2 结果       学生 3 结果       学生 4 结果       ⑵将你所取的 AB 的值和你的同伴比较。
实践二：作一个 50 °的∠ A ，在角的边上任意取一点 B ，作 BC ⊥ AC 于点 C 。
（ 1 ）量出 AB ， AC ， BC 的长度（精确到 1mm ）。
（ 2 ）计算BC / AB ，AC / AB，的值（结果保留 2 个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。∠ A=50 °时 AB AC BC 学生 1 结果             学生 2 结果             学生 3 结果             学生 4 结果             （ 3 ）将你所取的 AB 的值和你的同伴比较。
2 、经过实践一和二进行猜测
猜测一：当∠ A 不变时，三个比值与 B 在 AM 边上的位置有无关系？
猜测二：当∠ A 的大小改变时，相应的三个比值会改变吗？
3、 理论推理
如图， B 、 B 1 是一边上任意两点，作 BC ⊥ AC 于点 C ， B 1 C 1 ⊥ AC 1 于点 C 1 ，
判断比值与，与，与是否相等，并说明理由。
4 、归纳总结得到新知：
⑴三个比值与 B 点在的边 AM 上的位置无关；
⑵三个比值随的变化而变化，但（0 °﹤∠α﹤90 ° ）确定时，三个比值随之确定；
比值，，都是锐角的函数
比值叫做的正弦， sinα =
比值叫做的余弦， cos α=   
  比值叫做的正切， tanα =
（ 3 ）注意点： sin α， cos α， tan α都是一个完整的符号，单独的 “ sin ”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写。
  强化读法，写法；分清各三角函数的自变量和应变量。
三、深化新知
1 、三角函数的定义
在 Rt △ ABC 中，如果锐角 A 确定，那么∠ A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定 . 则有
sinA ＝
cosA  ＝
2 、提问：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？
（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边．
生：独立思考，尝试回答，交流结果．
明确：锐角的三角函数值的范围： 0 ＜ sin α＜ 1 ， 0 ＜ cos α＜ 1.
四、巩固新知
例 1. 如图 , 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C=90 °， AB=5,BC=3,
（ 1 ）求∠ A 的正弦、余弦和正切 .
（ 2 ）求∠ B 的正弦、余弦和正切 .
分析：由勾股定理求出 AC 的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值。
提问：观察以上计算结果 , 你发现了什么 ?
明确： sinA=cosB ， cosA=sinB ， tanA · tanB=1
五、升华新知
例 2 . 如图 : 在 Rt △ ABC, ∠ B=90 ° ,AC=200,sinA=0.6 ，求 BC 的长 .
由例 2 启发学生解决情境创设中的问题。
六、课堂小结：谈谈今天的收获
1 、内容总结
（ 1 ）在 Rt Δ ABC 中 , 设∠ C=90 ° ，∠α为 Rt Δ ABC 的一个锐角，则
∠α的正弦，∠α的余弦，
∠α的正切   
2 、方法归纳
  在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解
四、布置作业
1、从梯子的倾斜程度谈起
　　教学内容：P1 ~ P7
　　教学目标：
　　1）经历探索直角三角形中边角关系的过程
　　2）理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
　　3）能够运用tanA、sinA、cosA表示直角三角形中两边的比
　　4）能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算
　　教学重点和难点
　　重点：理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义
　　难点：根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算

　　教学建议
　　本节共分两课时，第一课时由梯子的倾斜程度问题引入正切，第二课时类比正切的概念引入正弦和余弦
　　由梯子的倾斜程度问题引出正切的概念
　　问题是开放性的问题，学生的回答可能多样
　　这样设计意在引导学生用边之比进行比较
　　想一想：通过对前面问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
　　在此基础上，想一想旨在说明，当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定，也就是说，这一比值只与倾斜角有关，面与直角三角形的大小无关。这是用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义正切的基础
　　由于直角三角形中的锐角A确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们这样定义tanA是合理的
　　议一议：在得出正切的定义之后，引导学生进一步思考正切的值与梯子倾斜程度。这是上述结论的直接应用
　　工程上，斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，而坡度是坡角的正切。因此要注意坡度与坡角的区别和联系。显然，坡度越大，坡面越陡
　　做一做：这是余弦、正弦定义的进一步应用，同时渗透了sin（90-A）=
§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起
教学目标
1．经历探索直角三角形中边角关系的过程
2．理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
3．能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
4．能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算
教学重点和难点
重点：理解正切函数的定义
难点：理解正切函数的定义

教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
二、师生共同研究形成概念
1．梯子的倾斜程度
在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；
2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；
3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；
通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。

2．想一想（比值不变）
☆ 想一想 书本P 3 想一想
通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。

3．正切函数
（1）明确各边的名称
（2）tanA=∠A的对边/∠A的邻边
（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A的对边与∠A的邻边的比值。
☆ 巩固练习
a、如图，在△ACB中，∠C = 90°，
1）tanA = ；tanB = ；
2）若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；
3）若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；

b、如图，在△ACB中，tanA = 。（不是直角三角形）
tanA的值越大，梯子越陡
4．讲解例题
例1：图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。

例2：如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6， ，求BC、AB的长。
分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

5．正切函数的应用
书本P 5 正切函数的应用
三、随堂练习
1．书本 P 6 随堂练习
2．《练习册》 P 1
四、小结
正切函数的定义。
五、作业
书本 P 6 习题1.1 1、2。
六、教学后记
1.从梯子的倾斜程度谈起（一）教案  
2011-12-19 11:13:54|  分类： 默认分类 |  标签： |字号大中小 订阅
第一章 直角三角形的边角关系< xmlnamespace prefix ="o" ns ="urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
1.从梯子的倾斜程度谈起（一）
秭归县茅坪中学 王海英
一、学生知识状况分析
本课是九年级下第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第一课时，由于学生在前一阶段已经学习过有关直角三角形的知识，但对于直角三角形只能停留在边与边之间的关系（勾股定理）与角与角之间的关系（直角三角形两锐角互余），那么，直角三角形中边与角之间是否也存在着一定的关系呢？本节课首先通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实也存在着一定的关系。

二、教学任务分析
本课是九年级下第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第一课时。教师采用实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实存在着一定的关系，从而，探索出直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的的比是由锐角的大小变化而变化的。在实验过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.
本节课教学目标如下：
知识与技能：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.
过程与方法：
1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
情感态度与价值观：
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.

三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节 创设情境；第二环节：探求新知；第三环节：随堂练习；第四环节：课堂小结；第五环节：课堂体会；第六环节：布置作业。

第一环节 创设情境
（1）有一座千年古塔，小明很想知道古塔的高度，但小明没有足够长的尺子，怎么办呢？于是聪明的小明想了这样的办法：小明在A处仰望塔顶，测得∠1的大小，再往塔的方向前进< xmlnamespace prefix ="st1" ns ="urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" />50米到B处又测得∠2的大小，根据这些他就求出了塔的高度。你知道他是怎么做的吗？通过本章的学习，我们就会揭开小明这样做的谜底。从今天这节课开始，我们就来学习九年级（下）第一章的内容：直角三角形的边角关系
（2）经常会听人们说“陡”这个字，比如这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡吗？
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第二环节 探求新知
1、摆一摆
请大家拿出我们课前准备的模拟墙体和两架模拟梯子：
（1）首先，把两架梯子摆在同一面墙上，使其中一架梯子比较陡。
（2）我们在摆的过程中，要仔细观察，认真思考，探索一下，要想把一个
梯子摆得陡一些，除了与倾斜角的大小有关之外，还与那些因素有关呢？
（3）通过观察，我们可以得到：要想把一个梯子摆得陡一些，与梯子的对边与邻边有关。那么是不是单纯地与倾斜角的对边或邻边有关呢？为了探索这个一般规律，请同学们接着来摆梯子，使其中一架梯子比较陡。这一次，我们要边摆，边度量每个梯子倾斜角的对边与邻边，并计算每个倾斜角的对边与邻边的比值，之后每组填好实验报告。（展示数据及结论）
（4）实验结论：梯子越陡，倾斜角的对边与邻边的比值越大。

2、想一想：
在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？

如图1-3，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量B2C2及AC2 ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度。你同意小亮的看法吗？
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
（2） 和 有什么关系？
（3）如果改变梯子的位置呢？ 由此你得出什么结论？
活动效果：
在学习的过程中，有些活动学生很容易就能得到结论，但要重视实验的作用。鼓励每一位学生亲自试验，要注意克服想当然的习惯、缺乏主动实践探索的意识，鼓励学生验证试验结果的合理性。

3、有关的概念
在Rt △ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA.

掌握tanA注意的问题：
（1）tanA中常省去角的符号“∠”。
（2）tanA没有单位，它表示一个比值。
（3）tanA是一个完整的符号，不表示“tan”乘以“A”。
（4）在初中阶段，tanA中,∠A是一个锐角。

4、议一议：
梯子的倾斜程度与tanA的关系：

梯子AB越陡，tanA的值越大 tanA的值越大,梯子AB越陡.

5、例题分析：图中表示甲、乙两个手扶电梯，哪个手扶电梯比较陡？

13m

5m
6m

8m

甲梯 乙梯

6、坡度：
坡面与水平面夹角称为坡角。
坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(坡比). 即坡度等于坡角的正切.
注意：坡度越大，坡面越陡。

第三环节 随堂练习
1、在右图中:求tanA的值

图1

2、判断对错:
如图1: (1) tanA= （ ）
图2

如图2：(2) tanA=0.7m（ ）

(3) tanB= （ ）
A

B

C

3、如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定

4.小明从黄山百步云梯脚下的点A约走了1000m后，到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离约是600m,求山坡的坡度.

6、某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰。现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来。请你根据图中数据说明这一楼顶铺设的瓦片是否会滑落下来？
24m

13m

A

C

B

H

A

D

C

B
7、 如图，Rt△ABC是一防洪堤坝背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤坝的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)

第四环节 小结
1、本节学习了哪内容？
（1）正切——直角三角形中，一个锐角的对边与它的 邻边的比值，叫做这个锐角的正切。
（2）山坡的坡度——坡面的铅垂高度与水平距离的比 称为坡度。
2、在直角三角形中，当锐角A固定时，则∠A的对边与邻 的比值只与A的大小有关，与边长无关。

第五环节 体会
很多时候，数学是先通过直觉得到一个结论，然后才有后来的逻辑证明的。希望你们的直觉能够使你有所发现。

第六环节 作业
P6习题1.1第1、2题。

四、教学反思
结合初中学生身心发展的特点，这节课运用了实验教学、直观教学，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，并培养和发展学生的观察、思维能力，这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用好这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程。

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“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教学应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”基于以上理念，在教学中必须充分相信学生，把学习的主动权交给学生，为此，我在数学教学中设计了“活动探究——新知学习——拓展应用——总结提高”的教学流程。
二、教材分析：
(一)教材的地位和作用
本节为九年级(下)第一章《直角三角形的边角关系》的第一节《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时。直角三角形的边角关系是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的应用。如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，通过研究图形之中各个元素之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，通过本节的学习，学生将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。
在学习中，同学们将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等，通过本节的学习，将为学习正弦、余弦等三角函数知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。
本节主要从梯子的倾斜程度谈起，引出第一个三角函数——正切，正切是生活中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等都使用正切。本节的学习，为正弦和余弦的学习做好铺垫。
(二)教学的目标和要求
1、知识目标：
① 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.
② 能够用tanA表示直角三角形中两边的比，理解其与物体的倾斜程度、坡度的关系，并能够用正切进行简单的计算
2、能力目标：
① 经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点
② 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力
③ 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神
3、情感目标：
积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
(三)教学的重点和难点
重点：1.利用模拟实验，探究直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
三、说教法、学法：
1、教法：本节课主要采用“活动探究法”实施教学，通过三个模拟实物的数学活动，让学生总结正切函数的概念，并能较好的运用所学知识解决问题。在活动设计中，注意每个活动的目的要求，若学生在活动中未获得预期的结论，如学生在利用木棍进行梯子倾斜程度的模拟演示时，可能较难将所得直角三角形的两边的比与梯子的倾斜程度联系起来，这时可让学生多测几组数据，分析数据之间关系共性从而得到结论。
2、学法：学生都渴望与他人交流，合作探究可使学生感受到合作的重要和团队的精神力量，增强集体意识，所以本课采用小组合作的学习方式，让学生遵循“活动——观察——猜想——验证——归纳——反馈——实践”的主线进行学习。
四、教学过程的分析
本节课要学习的是正切函数，准备分四个步骤进行。
1、经历正切函数关系的探究过程
主要通过二个活动让学生了解正切函数的意义。第一个活动主要让学生感受梯子的倾斜程度与倾斜角、梯子的长度、梯子与墙角距离、梯子顶端与墙角距离有关;第二个活动主要是当梯子固定(梯子长度不变、倾斜角一定)时，其对边与邻边的比也随之确定，从而得出正切函数概念。
2、正切函数概念的学习
渗透数形结合思想，将文字语言与数学语言、图形有机结合，把∠A的对边/∠A的邻边表示为：在Rt△ABC中，∠C=900，若∠A、∠B、∠C的对边分别用a、b、c表示，则tanA=a/b。
注意强调概念理解不到位的方面：① tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”，若用三个字母表示角则“∠”不能省略，如“∠ABC的正切表示为tan∠ABC”;② tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比;③ tanA不表示“tan”乘以“A”。
通过给出直角三角形的任两边的长，让学生求∠A，∠B的正切及时强化学生对概念的
3、正切函数的应用理解
通过实际问题的解答进一步了解梯子的倾斜程度、坡度与正切函数的关系;对学生进行正切的变式训练,让学生理解不管角的位置如何改变，只要角的大小不变则其正切值是不变的。练习的安插注意梯度，让不同的学生有不同的发展。
4、最后小结本节课的知识要点及注意点
五、达标测试
具体思路：把几个问题分为四个等级，方便对学生的了解;通过评价让学生对自己的学习也做到心中有数。
六、板书设计