储油罐的变位识别与罐容表标定1.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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储油罐的变位识别
与罐容表的标定问题

摘要

随着市场经济的发展，加强企业管理考核变得愈加重要.。我国石油资源丰富，采油炼油企业众多，储油罐作为加油站常用的储存油品的重要贮存设施，对油品在不同液面高度时的贮油量进行精确的计量变得尤为重要，为企业对此种贮油装置进行油品盘点,成本考核提供可靠依据。 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
本文通过对卧式储油罐纵向倾斜和横向偏转对罐容表影响的深入分析，建立了罐内储油量与油位高度以及变位参数之间关系的数学模型，经过对给定数据的处理与分析，结合罐容表制作原理，探讨了由于外界因素对罐容表的影响，并给出了罐容表重新的标定模型，并依据实际检测数据分析和检验了模型的正确性与方法的可靠性。
对于问题一，通过对小型椭圆储油罐的实验测定，依据储油罐未倾斜时罐内油位高度与罐容表的关系，以及纵向倾斜对罐容表的影响，利用实际检测数据进行误差分析拟合，得出实际的罐内储油量、油位高度与偏转角度的数学模型。
对于问题二，由于第一问中已经对纵向倾斜角度进行了误差分析，即此时先考虑卧式储油罐倾斜时的横向偏转角度对油位高度的影响所产生的误差，并对实际情况进行一个体积的等效替代，再利用第一问的思想，再对纵向倾斜角度和横向偏转角度进行预算，建立模型，利用数值分析变位参数，以便于实际检测。
对于问题二所建立起的模型，对实际数据进行判定，从而综合评价模型的合理性。

关键字 罐内油位高度 罐容表 变位参数 误差分析拟合

问题的重述
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。典型的储油罐其主体为圆柱体，两端为球冠体。罐体纵向倾斜和横向偏转后，必定对罐容产生一定的影响。
油
油浮子
出油管
油位探测装置
注油口
检查口
地平线
2m
6m
1m
1m
3 m

图1 储油罐正面示意图
油位探针
图1为储油罐的正面示意图，图2为储油罐纵向倾斜变位后示意图，图3为储油罐截面示意图

图3 储油罐截面

示意图
（b）横向偏转倾斜后正截面图

β
地平线垂直线
油位探针
（a）无偏转倾斜的正截面图
油位探针
油位探测装置

3m

油位探针
α
地平线
图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图
油
油浮子
出油管
油位探测装置
注油口
检查口
水平线

问题（一）
为了掌握典型储油罐罐体变位后对罐容的影响，我们可以先对小型椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，利用所测数据分别建立数学模型来研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
图4为小椭圆型油罐形状及尺寸示意图(b) 小椭圆油罐截面示意图
α
油
油浮子
出油管
油位探针
注油口
水平线
2.05mcm
0.4m
1.2m
1.2m
1.78m
(a) 小椭圆油罐正面示意图
图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图

问题（二）
利用问题一的试验模型，对图1所示的实际储油罐建立罐体变位后标定罐容表的数学模型。再利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并由此给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
利用实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性，从而实现模型的实用性。
问题的分析
对于实际测量时，会出现的系统误差和偶然误差，由于在建立初模型时不便计算，所以建立初模型时，需对误差先进行忽略，然后通过理论值与实际值的差值，进行拟合，从而确定不确定因素所导致的误差。
在进行实际油罐罐容的标定前，我们需先对试验中的小型罐进行分析，即先分析问题一中纵向倾斜角α对罐容的影响，通过建立初模型来确定其罐容的理论值，再利用α=4.1时的数据与初模型α=4.1时的理论值进行比较，得出差值，再进行拟合，得出罐容、油高与倾斜角α的实际模型一。
由于在问题一中对α的偏差进行了校正，因此，在建立模型二时，我们只需对β进行分析，再利用体积的等效替代，将实际油罐简化为圆柱形，利用建立模型一时的思想，确定α、β的值，从而得出这两个变位参数与罐容量的关系。
模型的假设

符号说明
模型的建立与求解
（一）
1> 对于小椭圆型罐体无变位和纵向变位时，罐容表的标定，可测得，需要计算储油量，得出一个函数关系式，通过分析与的变化得到更精确的模型。
求此时的体积

根据积分的概念，体积元素

…………（模型1）
利用模型1使用MATLAB编出程序1，做出实际与理论罐容变化的散点图1。由图容易知道，实际与理论的罐容总体变化趋势保持一致，随着油位的升高误差逐渐增大。由于实际罐容变化曲线永远在理论罐容变化曲线的上方，故肯定存在系统误差，结合实际情况，该系统误差正是假设中忽略了各种管所占的体积。

图1
2> 对于油罐有变位的情况，在模型1的基础上，我们通过对其偏角α进行研究，在罐体变位后，倾角为=4.1的纵向倾斜的情况下，储油罐如图所示：

(b) 小椭圆油罐截面示意图
α
油
油浮子
出油管
油位探针
注油口
水平线
2.05mcm
0.4m
1.2m
1.2m
1.78m
(a) 小椭圆油罐正面示意图
小椭圆型油罐形状及尺寸示意图

此时我们可根据图示推导储油罐中油品容积公式。
具体推导过程如下：
取坐标系如图三，可知垂直于x轴的平面与液体平面的截面是一个弓形。
图三

而直线AB的方程为

于是：

设，过O1点作平面平面如图四，则平面必与圆柱两底面相交，平面与油罐表面及油表面形成的两部分体积，设其中有油部分体积为，无油部分体积为，并设平面下方与油罐之间的容积为，可得
+
图四
其中身，所以只需求即可

令并记，，
则
简记将值带入于是：

由于第二项以后的数值很小，所以略去第二项后各项，即有

将代入化简得

令，
则倾斜时的体积

—Vf……………………………………………………（模型2）
其中Vf代表修正值函数

1> 倾斜进油中的数据

通过编程，利用采集的油位高度数据，得到所要求的，该情况下的准确体积公式。（具体见程序3）

得到的未倾斜进油下的误差函数拟合图像如图（f）

图（f）

所得的拟合误差函数为:
Vf3=–1.0413
则得到倾斜进油时的标准模型：
V=V(无变位进油的标准体积)+-Vf3
2> 倾斜出油中的数据
通过编程，利用采集的油位高度数据，得到所要求的，该情况下的准确体积公式。（具体见程序4）
得到的未倾斜进油下的误差函数拟合图像如图（h）

图（h）
所得的拟合误差函数为:
则得到倾斜出油时的标准模型：
V=V(无变位出油标准体积)+
利用上述建立的模型，使用MATLAB编出程序得出新模型理论与实际的

根据图示可以看出，我们新得到的模型较以前模型有了很大的改观，说明了我们求解模型方法的可行性。
(3)
所以我们就可以通过该较精确的模型来给出罐体变位后油高间隔为1cm的罐容标定值
参考附表1，我们可以得到油高的大致范围是[0.4,1.0]m,标定所用油高数值就是[0.4,1.0]m，步长为0.01m。
将这组数值分别代人倾斜进油的标准模型和倾斜出油标准模型即可得到这两种情况下的罐容标定值。
油罐号
流水号
累加进油量/L
流水号
累加出油量/L
油位高度/mm
1
371
929.2
451
1064.7
400
1
372
964.7
452
1100.4
410
1
373
1000.7
453
1136.7
420
1
374
1037.2
454
1173.4
430
1
375
1074.3
455
1210.6
440
1
376
1111.8
456
1248.3
450
1
377
1149.7
457
1286.3
460
1
378
1188.1
458
1324.8
470
1
379
1227.0
459
1363.7
480
1
380
1266.2
460
1402.9
490
1
381
1305.7
461
1442.6
500
1
382
1345.7
462
1482.5
510
1
383
1385.9
463
1522.8
520
1
384
1426.5
464
1563.5
530
1
385
1467.4
465
1604.4
540
1
386
1508.5
466
1645.6
550
1
387
1550.0
467
1687.0
560
1
388
1591.6
468
1728.7
570
1
389
1633.5
469
1770.7
580
1
390
1675.6
470
1812.9
590
1
391
1717.9
471
1855.3
600
1
392
1760.3
472
1897.8
610
1
393
1803.0
473
1940.6
620
1
394
1845.7
474
1983.5
630
1
395
1888.6
475
2026.5
640
1
396
1931.6
476
2069.7
650
1
397
1974.7
477
2113.0
660
1
398
2017.9
478
2156.3
670
1
399
2061.1
479
2199.8
680
1
400
2104.4
480
2243.3
690
1
401
2147.8
481
2286.9
700
1
402
2191.1
482
2330.5
710
1
403
2234.5
483
2374.1
720
1
404
2277.9
484
2417.7
730
1
405
2321.2
485
2461.3
740
1
406
2364.5
486
2504.9
750
1
407
2407.8
487
2548.4
760
1
408
2451.0
488
2591.9
770
1
409
2494.1
489
2635.3
780
1
410
2537.1
490
2678.5
790
1
411
2580.1
491
2721.7
800
1
412
2622.9
492
2764.7
810
1
413
2665.6
493
2807.6
820
1
414
2708.1
494
2850.2
830
1
415
2750.5
495
2892.7
840
1
416
2792.7
496
2935.0
850
1
417
2834.8
497
2977.1
860
1
418
2876.6
498
3018.9
870
1
419
2918.2
499
3060.4
880
1
420
2959.6
500
3101.7
890
1
421
3000.8
501
3142.6
900
1
422
3041.7
502
3183.2
910
1
423
3082.3
503
3223.4
920
1
424
3122.6
504
3263.3
930
1
425
3162.6
505
3302.7
940
1
426
3202.3
506
3341.8
950
1
427
3241.7
507
3380.3
960
1
428
3280.6
508
3418.4
970
1
429
3319.2
509
3456.0
980
1
430
3357.4
510
3493.1
990
1
431
3395.2
511
3529.5
1000

（二）
0.5742m
0.5742m
问题二是在实际状态进行研究分析的。在实际中，油罐的模型如图所示，其主体是圆柱体，两端为球冠体。为了计算的方便，我们将实际模型进行简化，将储油罐两端的球冠体转化其体积相同的圆柱体，进而将实际的储油罐模型转换为实验室用的两端平头的柱体，如下图所示

h
2m
6m

其中，6+2+0.5742=9.1484m m
此时的油罐体的油品的体积公式为：
实际状况中会有纵向偏移和横向偏移，首先只考虑纵向偏移时，即角
的影响时，正是我们第一问处理的情况，已经解决，我们以得出校正角后的标准体积公式，
即………………………………（1）
接下来只考虑自此基础上的横向偏转情况，即的影响。

油面高度
水平面
横向倾斜后的示意图
O
β

由图可以得到变位的测量油高h1和以前的油高h的关系：

………………（2）

将（2）式代入（1）式中，即得到了罐体变位后的油品的容积和油位高度，变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。
（由于式子复杂，详见程序4）
由此得出
通过数据的拟合得：
由MATLAB程序做出实际与理论的罐容变化散点图3可以看出，在该方法下求的的误差拟合的函数非常好，通过比较可以基本确定该模型的实用性。

图3
利用该模型给出罐体变位在后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值
流水号
油罐号
进油量/L
显示油高/mm
显示油量容积/L
901
02
0
50
1399.1
902
02
0
150
3543.6
903
02
0
250
5902.0
904
02
0
350
8428.6
905
02
0
450
11091.7
906
02
0
550
13865.7
907
02
0
650
16728.9
908
02
0
750
19661.6
909
02
0
850
22645.6
910
02
0
950
25663.8
911
02
0
1050
28699.7
912
02
0
1150
31737.1
913
02
0
1250
34760.1
914
02
0
1350
37752.7
915
02
0
1450
40698.8
916
02
0
1550
43581.8
917
02
0
1650
46384.3
918
02
0
1750
49088.3
919
02
0
1850
51674.0
920
02
0
1950
54119.9
921
02
0
2050
56401.8
922
02
0
2150
58491.1
参考文献：
1、《倾斜油罐容量的计算》 付永林黑龙江八一农垦大学第二期 43-52 ，1989
2、樊映川，等编。高等数学讲义下册，北京：高等教育出版社，1993:62。