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第二章 轴向拉伸和压缩
知识要点
1.轴向拉伸(压缩)的力学模型
①构件特征——构件为等截面直杆。
②受力特征——外力或外力的合力作用线与构件的轴线重合。
③变形特征——杆件轴线在受力后均匀伸长(缩短)，即杆件两横截面沿杆轴线方向产生相对的平行移动。
2．轴向拉伸(压缩)时，横截面上的内力——轴力
(1)内力的定义
由外力作用引起的构件内部相互之间的作用力。
(2)截面法
截面法是求内力的一般方法。在需求内力的截面处，用一假想平面，沿该
截面将杆件截开，取其一部分，将弃去部分对留下部分的作用，代之以内力，
然后考虑留下部分的平衡，由平衡条件求出该截面上的未知力。
(3)轴力
轴向拉、压时，杆件横截面上的内力，以表示，沿杆件轴线方向。
(4)轴力的正负号规定
以拉力为正，压力为负。
(5)轴力图
表示各横截面上的轴力沿杆件轴线方向变化规律的图线。
3．轴向拉伸(压缩)时横截面上的应力
(1)应力的定义
由外力作用所引起的内力密度。
(2)应力的特征
①应力被定义在物体的假想平面或边界上的一点处。
②应力的量纲为单位面积上的力，应力的单位为，或记做Pa
(3)轴向拉伸(压缩)时横截面上的应力
①应力分布规律：对于等截面直杆，正应力在整个截面上均匀分布
②计算公式：
4．轴向拉伸(压缩)时，斜截面上的应力
(1)斜截面上的应力
①正应力
②切应力
(2)最大、最小应力
，
，
5。轴向拉伸(压缩)时的强度
⑴低碳钢的静拉伸试验
①弹性变形与塑性变形
a．弹性变形：解除外力后，能完全消失的变形。
b．塑性变形：解除外力后，不能消失的永久变形。
②变形的四个阶段
弹性变形阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段。
③力学性能指标
a. 强度指标：
比例极限-------应力和应变成正比时的最高应力值
弹性极限-------只产生弹性变形的最高应力值。
屈服极限-------应力变化不大，应变显著增加时的最低应力值。
强度极限--------材料在断裂前所能承受的最大应力值。
b．弹性指标：弹性模量E=
c．塑性指标：延伸率
截面收缩率
d．冷作硬化：材料经过预拉至强化阶段，卸载之后，再受拉力时,呈现比
例极限提高，塑性降低的现象。
(2)轴向拉伸(压缩)时的强度条件
构件的最大应力不得超过材料的许用应力

许用应力是材料容许承受的最大工作应力

⑶ 强度计算的三类问题
① 强度较核
② 截面设计
⑧许用荷载计算 (由计算)
6．轴向拉伸(压缩)时的变形与位移
(1)变形的定义
受力物体形状改变时,两点之间线距离或两正交直线之间夹角的改变，
前者称为线变形，后者称为角变形。
(2)轴向拉(压)时的变形
①纵向变形
②纵向应变
⑧胡克定律 或
④胡克定律的适用条件
.应力不超过材料的比例极限，即材料处于弹性范围；
.在计算的长度范围内，,,均为常数。
⑤横向变形
⑥横向应变
⑦泊松比 ,恒为负值
⑶ 位移的计算
受力物体形状改变时，相对于某参考坐标系，
线距离，或一线段方向改变的角度，物体上一点位置改变的直线距离，或一线段方向改变的角度。
⑷ 位移的计算
①选取参考坐标系。
②计算杆件的变形量。
③根据变形的相容性(变形相容的条件)作位移图(或结构的变形图),由位移的几何关系计算位移值。
习题详解
1 试求下图所示各杆1—1和2—2横截面上的轴力，并作轴力图。

解 如图所示。解除约束，代之以约束反力，作受力图，如
图所示。利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标
示在图中。作杆左端面的外法线，将受力图中各力标以正负号，凡
与外法线指向一致的力标以正号，反之标以负号。轴力图是平行于杆轴线的
直线。轴力图线在有轴向力作用处，要发生突变，突变量等于该处作用力的数
值。对于正的外力，轴力图向上突变，对于负的外力，轴力图向下突变，如题
图所示。截面1和截面2上的轴力分别为和 。

解题步骤与题相同，杆的受力图和轴力图如图、所示。截面1和截面2上的轴力分别为 ，

解题步骤与相同，杆的受力图和轴力图如图和所示。截面1上的轴力为，截面2上的轴力为。
解题步骤与题相同，杆的受力图和轴力图如图和所示。截面1上的轴力为，截面2上的轴力为。

2 试求题图所示等直杆横截面1—1、2—2和3—3上的轴力，并作
轴力图。若横截面面积，试求各横截面上的应力。

解 如图所示。首先解除杆的约束，代之以约束反力，利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，作受力图，如图所示。然后作杆左端面的外法线，将受力图中各外力标以正负号，凡与外法线指向一致的力，标以正号，反之标以负号。最后，自左向右作轴力图。轴力图是平行于杆轴的直线，在有轴向外力作用处，轴力图将发生突变，对应于正的外力，轴力图将向上跳，对应于负的外力，轴力图将下跌，上跳或下跌的量，等于对应的外力数值。轴力图如图所示。截面1上的轴力，截面2上的轴力。
各横截面上的应力分别为

3 试求图所示阶梯状直杆横截面l—1、2—2和3—3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积，并求各横截面上的应力。

解 如图所示。首先解除杆的约束，并代之以约束反力，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在受力图中。作杆左端面的外法线，将受力图中各外力标以正负号：凡指向与外法线的正向相同者，标以正号，反之标以负号，如图所示。作轴力图，轴力图是与杆轴平行的直线，在有轴向外力作用处，轴力图要发生突变，突变量等于对应处的外力数值，对应于正的外力，轴力图上跳，对应于负的外力，轴力图下跌，上跳和下跌量与对应的外力数值相等，如图所示。由轴力图可知，截面1-1上的轴力，截面2-2上的轴力，截面3-3上的轴力。
各截面上的应力分别为

4 如图所示是一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个的等边角钢。已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。试求拉杆和横截面上的应力。

解 ⑴ 作受力图
解除图所示屋架结构的约束，代之以支座反力，作受力图，如图所示
⑵ 求支座反力
利用静力学平衡原理
，
，
，
及可得
，
(3)计算拉杆的轴力
取半个屋架为研究对象，作受力图，如图所示，由静力学平衡方程
，
及，，得

⑷ 计算拉杆的轴力
取铰接点 为研究对象，作受力图，如图所示，由静力学平衡方程
，
及，得

(5)计算拉杆和横截面上的应力
查文献1中附录Ⅲ型钢表，等边角钢的截面积，所以拉杆和横截面上的应力

5 石砌桥墩的墩身高 。其横截面尺寸如图所示。如荷载，材料的密度，试求墩身底部的横截面上的压应力。

解 (1)计算桥墩自重
由桥墩高，材料密度，横截面面积

可得桥墩自重

(2)计算桥墩底部截面上的轴力
解除地面对桥墩的约束，代之以约束反力，如图所示，则桥墩的轴力等于约束反力，并有

(3)桥墩底部横截面上的压应力
（压）
6 如图所示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。

解 拉杆横截面上的正应力
应用斜截面上的正应力和剪应力公式
可得
它们的方向被分别表示在图、、、和中。
7 一根等直杆受力如图所示。已知杆的横截面面积和材料的弹性模量。试作轴力图，并求杆端点的位移。

解 首先解除约束，代之以约束反力，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件确定约束反力的大小和方向，并标示在受力图中。再以杆左端的外法线为标准，将受力图中各外力标以正负号，凡与的指向一致的外力，标以正号，反之标以负号。最后，自左向右作轴力图。轴力图是平行于杆轴线的直线，在有外力作用处，轴力图线发生突变，突变量等于对应外力的数值，对应于正号的外力，轴力图上跳，对应于负号的外力，轴力图下跌，如图所示。
根据轴力图，应用胡克定律，计算杆端的位移为

8 一木桩受力如图所示。柱的横截面为边长的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量。如不计柱的自重，试求：⑴ 作轴力图；(2)各段柱横截面上的应力；(3)各段柱的纵向线应变；(4)柱的总变形。

解 (1)作轴力图
解除处约束，代之以约束反力，应用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，作受力图，如图所示。以截面的外法线为标准，将受力图中各力标以正负号，凡是和的指向一致的外力，标以正号，反之标以负号，自下向上画轴力图。轴力图是平行于木桩轴线的直线，在有外力作用处，将发生突变，突变量等于对应的外力数值，对应正号的外力，轴力图向右突变，对应负 号的外力，轴力图向左突变，如图所示。
(2)计算各段柱横截面上的应力 。

(3)计算各段柱的线应变
应用胡克定律，各段柱的线应变为

(4)计算柱的总变形

9 一根直径、长的圆截面杆，承受轴向拉力，其伸长。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量。
解 解法一 应用胡克定律确定材料的弹性

根据轴向拉伸杆的应力公式，杆横截面上的应力为

解法二 先计算杆的应力和应变

再应用胡克定律确定材料的弹性模量
E=
10 (1)试证明受轴向拉伸(压缩)的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变等于直径方向的线应变
(2)一根直径为的圆截面杆，在轴向拉力作用下，直径减小，如材料的弹性横量，泊松比，试求轴向拉力
(3)空心圆截面钢杆，外直径，内直径，材料的松比。当其受轴向拉伸时，已知纵向线应变，试求其壁厚。
解 (1)设圆截面的直径为，则其周长，在轴向力作用下，其径向线应变为

周向线应变为
所以，证明了径向线应变等于周向线应变，即

⑵ 由波松比的定义及，可得

应用胡克定律可确定圆截面上的应力

所以，轴向拉力

(3)由纵向线应变和泊松比可计算出径向线应变

受拉伸后，空心圆截面的内、外直径分别变为

所以，变形后的壁厚

11受轴向拉力作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数，试求与两点的距离改变量。

解 解法一 变形前，两点间的距离为

横截面上的应力
杆的纵向应变
杆的横向应变
变形后变为，变为，与两点间的距离

变形后之间距离改变量

解法二 变形前两点间的距离为

横截面上的正应力
杆的纵向应变
杆的横向应变

变形后两点间距离的改变量可

12如图所示的结构中，为水平放置的刚性杆，杆的 材料相同，其弹性模量，已知，，，。试求点水平位移和垂直位移。

解 解法1 将杆截开，三杆内的轴力分别为，如图所示，利用静力学原理可得
，

可得 ，
因杆不受力，所以在外力作用下，杆不变形，只是随杆的变形而绕铰接点作刚体转动，如图所示。杆和的伸长相同，由胡克定律有

变形后，刚性杆平行移动至位置。因此，只要确定了点的位置，刚性杆的新位置也就确定，从而力的作用的新位置，也可确定。严格地说点应是以点为圆心，以杆即为半径划圆弧，与以点为圆心，以杆变形后的长度即为半径划圆弧的交点。但由于是小变形，应用威里奥特图解法，点可由过点的垂线，与过点，的垂线，二垂线的交点便确定了点，如图所示。由图中几何关系可知，点的垂直位移等于其水平位移，等于杆的伸长量。由于刚性杆因杆和的变形只作刚体平移，所以力的作用点的垂直位移和水平位移
与点的位移相同，即

垂直位移朝下，水平位移向右。
解法二 应用卡氏定理
因外力作用点处，无水平力作用，所以计算点的水平位移时，须在点加一水平虚荷载，其数值等于零，如图所示。利用静力学平衡条件
，
，

可得各杆的轴力
，
结构的总应变能

应用卡氏定理，点的水平位移

将代入上式，得

计算点的垂直位移时，对图利用静力学平衡条件
，
，

可得各杆的轴力
，
结构的总应变能

应用卡氏定理，点的垂直位移

13 如图所示的实心圆钢杆在点以铰相连接，在点出作用有垂直向下的力。已知干的直径分别为，钢的弹性模量。试求点在铅垂方向上的位移。

解 解法一 应用卡氏定理
取铰接点作为研究得对象，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件
，

可求得各杆和的轴力分别为
，
杆系的应变能

应用卡氏定理，力的作用点的垂直方向位移

解法二 单位荷载法
(1)计算荷载产生的轴力。步骤同解法一，
(2)计算单位荷载产生的轴力。取铰接点为研究对象，在点作用以
单位荷载，如图所示。则由静力学平衡条件可得杆的轴力点的铅垂位移

解法三 应用功能转换原理
计算杆的轴力，步骤与解法一相同，。设在外力作用下，点的铅垂方向的位移为，则外力作功为

二杆的应变能之和为

由功能转换原理，有

显然，这一结果与解法一和解法二相同。
解法四 威里奥特图解法
(1)利用静力学平衡条件可得二杆内的轴力

(2)计算杆和的伸长。利用胡克定律，有

(3)应用威里奥特图解法，分别过杆和伸长后的点和，作二
杆的垂线，相交于点，再过点作水平线，与过点的铅垂线相交于点，
则，便是点的铅垂位移，如图所示。由图中的几何关系
，
可得 ， ，
所以点的铅垂位移

14如图所示和两点之间原有水平方向的一根直径为的钢丝，在钢丝的中点加一竖直荷载。已知钢丝产生的线应变为，其材料的弹性模量，钢丝的自重不计。试求：(1)钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律)；(2)钢丝在点下降的距离；(3)荷载的值。

解 设钢丝未加荷载前长，加荷载后，点下降，钢丝内轴力为，则段和段的伸长量都是

二段伸长后的长度均为

由图所示的几何关系有

式中，为钢丝的伸长应变，其数值甚小，所以项为高阶微量，与项相比，可以略去不计，故上式可近似写为 ①
对图应用静力学平衡条件 ，可得 ②
由于角很小，可近似地用代替，即
③
将③式代入式 ②，得 ④
将④式代入式①，得点的下降距离
由上式可得 ⑤
已知钢丝的应变 ⑥
所以有
钢丝横截面的应力

将式⑥代入式①，得点的下降距离

由式⑤ ，可得荷载

15 如图所示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

解 设距左端处的截面面积为，直径为，其上的轴力为，如图所示。显然，，根据图所示的几何关系，有

所以
应用胡克定律，杆的伸长量

16 有一等截面的钢杆承受轴向拉力 ，已知杆的横截面积，材料的弹性模量，试求杆中所积蓄的应变能。
解 杆中的应变能为

17 如图所示，两根杆和的材料相同，其长度和横截面面积也相同。杆承受作用在端点的集中荷载；杆承受沿杆长均匀分布的荷载，其集度为。试比较这两根杆内积蓄的应变能。

解 (1)计算杆的应变能
因杆的轴力是常数，，所以，应变能

(2)计算杆内的应变能
杆任意横截面上的轴力不再是常数，如图所示，它是截面位置坐标的函数

所以应变能

杆和内积蓄的应变能之比为

18如图所示的是一钢筋混凝土平面闸门，其最大启门力为力为。如提升闸门的钢质丝杠内径为，钢的许用应力，试校核丝杠的强度。

解 丝杠内的轴力，所以丝杠 内的应力

丝杠的工作应力，所以安全。
19 简易起重设备的计算简图如图所示。已知斜杆用两根不等边角钢组成，钢的许用应力。试问在提起重量为的重物时，斜杆是否满足强度条件?

解 取滑轮中心为研究对象，假设缓慢、均匀地拉链条，则拉力等于
被起重物的重量，受力图如图所示。利用静力学平衡条件

得
查文1献中附录Ⅲ型钢表，的不等边角钢的截面积，所以，斜杆横截面上的应力

工作应力，所以安全。
20 如图所示，一块厚、宽的旧钢板，其截面被直径的圆孔所削弱，圆孔的排列对称于杆的轴线。钢板承受轴向拉力。材料的许用应力，试校核钢板的强度。

解 假想用一平面将钢板从圆孔处截开，在被削弱的截面上的应力合力必等于外力，如图所示。钢板内的轴力，危险截面即被削弱的截面面积

钢板内的 最大的应力为

因最大应力，所以安全。
21 一结构受力如图所示，杆件均有两根等边的角钢组成。已知材料的许用应力，试选择角钢的型号。

解 ⑴ 计算杆件的内力，并选择角钢的型号
将结构拆成三部分，如图所示。对图列静力学平衡方程
，
解上式，得
杆的轴力为，根据强度条件

杆的截面应为

查文献1中附录Ⅲ型钢表，的等边角钢截面积为，两
根的截面积，所以，杆可选两根的等边角钢。
(2)计算杆内的应力，并选择角钢型号
对图，利用静力学平衡条件

可得
根据强度条件
可得杆的截面应为

查文献1中附录Ⅲ型钢表，的等边角钢截面积为，两根的截面积，所以，杆选用两根的等边角钢。
22 一桁架受力如题图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力，试选择杆和的角钢型号。

解 (1)计算杆和的轴力
首先取桁架整体为研究对象，解除支座约束，代之以约束反力、作受力图，如图所示。因结构和荷载均对称，所以利用静力学平衡条件，可很容易地确定支座反力
再取结点为研究对象，作受力图，如图所示，利用静力学平衡条
件

可的杆轴力

最后取结点为研究对象，作受力图，如图所示。由静力学平衡条
件
可得杆的轴力
(2)计算杆所需的截面积
根据强度条件
杆和需要的截面积分别为

(3)选择杆和的角钢型号
查文献1中附录Ⅲ型钢表，的等边角钢截面积为，的等边角钢的截面积为，所以杆选用两根的等边角钢，杆选用两根的等边角钢。
23 一结构受力如题图所示，杆件、、、都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力，材料的弹性模量，杆及可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点，，处的位移。

解 (1)计算杆、、、的轴力
将结构拆成两部分，解除约束，代之以约束反力，分别作受力图，如
图、所示。对题图利用静力学平衡条件
，
，
可得杆和的轴力分别为

再对图应用静力学平衡条件
，
，
可得杆和的轴力分别为

(2)依据强度条件计算4根杆需要的截面积

(3)选择各杆应选用的不等边角钢的型号
查文献1中附录Ⅲ型钢表，的不等边角钢的面积，不等边角钢截面积，的不等边角钢截面积为，所以，杆可选用两根的不等边角钢，杆可选用两根的不等边角钢，杆和均可选用两根的不等边角钢。
24 已知混凝土的密度，许用压应力。试按强度条件确定如图所示的混凝土柱所需的横截面面积和。若混凝土的弹性模量，试求柱顶的位移。

解 (1) 确定柱的横截面面积
在确定柱的段截面积时，可距柱顶截取任意长度为的一段作为研究对象，作受力图，如图所示，柱段任一横截面上的轴力为。柱段的危险截面为截面，该截面上的轴力为，根据强度条件

可确定截面的面积

解上式得
在 确定柱的段的横截面积时，可自截面以下处，将柱截开，作受力图，如图所示，柱段任一横截面上的轴力为，柱段的危险截面在处，根据强度条件，可确定截面的面积

解上式，可得

⑵ 计算柱顶的位移
因柱的轴力是横截面位置坐标的函数。所以柱的变形应利用胡克定律的积分形式计算，即

所以，柱顶的位移为

25 ⑴ 刚性梁用两根钢杆悬挂着，受力如图所示。已知钢杆的直径分别为和，钢的许用应力，弹性模量。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形，及两点的竖直位移。
⑵ 若荷载作用于点处，试求点的竖向位移。（计算表明，，事实上这实线弹性体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。）

解 ⑴校核钢杆的强度
解除点的约束，代之以约束反力，作受力图，如图所示。应用静力学平衡条件
，
，
可得

杆件和内的应力分别为

杆和内的应力均小于许用应力，故安全。
(2)计算钢杆和的变形及点的竖直位移
应用胡克定律，钢杆和的变形分别为

点和的竖直位移分别为
，
(3)如图所示，若将荷载作用于处，则荷载全部由杆承担，所以，，点的位移便是点的位移，并有

计算在此情况下点的位移。由可得

显然，与第一种情况下点的位移相等。
26 如图所示的三铰拱屋架的拉杆用锰钢杆制成。已知此材料的许用应力，弹性模量。试按强度条件选择钢杆的直径，并计算钢杆的伸长。

解 首先将三铰拱屋架简化为图所示的力学模型，并解除处的约束，代之以约束反力，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件
，
，
，
可得支座反力
，
为了计算拉杆的轴力，取半个屋架为研究对象 ，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件
，
可得拉杆的轴力

根据强度条件

可确定拉杆的直径

应用胡克定律，钢拉杆的伸长

27 简单桁架及其受力如图所示，水平杆的长度保持不变，斜杆的长度可随夹角的变化而改变。两杆由同一材料制造，且材
料的许用拉应力与许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，
且结构的总重量为最小时，试求：(1)两杆的夹角值；(2)两杆横截面面积
比值。

解 取点为研究对象，作受力图，如图所示。由静力学平衡条件
，
，
可得
，
当两杆的内力同时达到许用应力时，有

将和的表达式代入以上两式，得
，
构成桁架的两杆的总体积

体积是角的函数，使体积最小的条件是

所以有
故结构的总体积最小时，角，体积最小时，结构的重量也最小。两杆的横截面面积之比为

28 如图所示，一内半径为，厚度为，宽度为的薄壁圆环。在圆环的内表面承受均匀分布的压力，试求：(1)由内压力引起的圆环径向截面上的应力；(2)由内压力引起的圆环半径的伸长。

解 用一假想的平面，将圆环沿直径截开，作受力图，如图所示。利用静力学平衡条件
，
得
圆环径向截面上的应力

圆环圆周方向的应变
若在内压力作用下，圆环的直径伸长为，则圆环的周长增长了
①
或用圆环圆周方向的应变表示为
②
由式①、②得 ，
将代入上式，得
，
所以内压引起的圆环半径的伸长为

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