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习题2
2.1 选择题
(1) 一质点作匀速率圆周运动时， （ ）
(A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。
(B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。
(C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。
(D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。
答案：(C)。
(2) 质点系的内力可以改变 （ ）
(A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。
(C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。
答案：(C)。
(3) 对功的概念有以下几种说法：
①保守力作正功时，系统内相应的势能增加。
②质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。
③作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。
在上述说法中： （ ）
(A)①、②是正确的。
(B)②、③是正确的。
(C)只有②是正确的。
(D)只有③是正确的。
答案：(C)。
(4) 一质量为M的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 （ ）
(A) 保持静止． (B) 向右加速运动．
(C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动．
题2.1(4)图
答案：(A)。
(5) 质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为m，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为 （ ）
(A) aA=0 , aB=0. (B) aA>0 , aB<0.
(C) aA<0 , aB>0. (D) aA<0 , aB=0.
题2.1(5)图
答案：(D)。
2.2填空题
(1) 质量为m的小球，用轻绳AB、BC连接，如图所示，其中AB水平．剪断绳AB前后的瞬间，绳BC中的张力比 T : T′＝____________．
题2.2(1)图
答案：l/cos2θ
(2) 一物体质量为10 kg，受到方向不变的力F＝30＋40t (SI)作用，在开始的两秒内，此力冲量的大小等于________________；若物体的初速度大小为10 m/s，方向与力的方向相同，则在2s末物体速度的大小等于___________________．
答案：140 N·s； 24 m/s，
(3) 某质点在力（SI）的作用下沿x轴作直线运动。在从x=0移动到x=10m的过程中，力所做功为 。
答案：290J
(4) 质量为m的物体在水平面上作直线运动，当速度为v时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离s后速度减为零。则物体加速度的大小为 ，物体与水平面间的摩擦系数为 。
答案：.
(5) 在光滑的水平面内有两个物体A和B，已知mA=2mB。（a）物体A以一定的动能Ek与静止的物体B发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 ；（b）物体A以一定的动能Ek与静止的物体B发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 。
答案：
2.3质量为m的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：
(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；
(2) 子弹进入沙土的最大深度．
解：(1) 子弹进入沙土后受力为－Ｋv，由牛顿定律
∴
∴
(2) 求最大深度
解法一：
∴
解法二：
∴
∴
2.4一个质量为的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平线平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
解: 物体置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐标：取方向为轴，平行斜面与轴垂直方向为轴.如题2.4图.
题2.4图
方向： ①
方向： ②
时
由①、②式消去，得
2.5质量为16 kg 的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为＝6 N，＝-7 N，当＝0时，0，＝-2 m·s-1，＝0．求当＝2 s时质点的(1)速度；(2)位矢．
解：
(1)
于是质点在时的速度
(2)
2.6 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为的物体，另一边穿在质量为的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度下滑，求，相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．
解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为，其对于则为牵连加速度，又知对绳子的相对加速度为，故对地加速度，
题2.6图
由图(b)可知，为 ①
又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力在数值上等于绳的张力，由牛顿定律，有
②
③
联立①、②、③式，得
讨论 (1)若，则表示柱体与绳之间无相对滑动．
(2)若，则，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时, 均作自由落体运动．
2.7 一质量为的质点以与地的仰角=30°的初速从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．
解: 依题意作出示意图如题2.7图
题2.7图
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,
而抛物线具有对轴对称性，故末速度与轴夹角亦为，则动量的增量为
由矢量图知，动量增量大小为，方向竖直向下．
2.8 作用在质量为10 kg的物体上的力为N，式中的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久．
解: (1) ,沿轴正向，
(2)
亦即
解得，(舍去)
2.9 一质量为的质点在平面上运动，其位置矢量为
求＝0 到时间内质点所受的合力的冲量．
解: 质点的动量为
将和分别代入上式，得
, ,
则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为
2.10 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =()N(为常数)，其中以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量；(3)求子弹的质量．
解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
,得
(2)子弹所受的冲量
将代入，得
(3)由动量定理可求得子弹的质量
2.11 质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为l＝1.25 m的细绳悬挂在天花板上，如图所示．今有一质量为m＝10 g的子弹以u0＝500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小u＝30 m/s，设穿透时间极短．求：
(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小；
(2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．
题2.11图
解：(1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平速度为
有 mv0 = mv+M v¢
v¢ = m(v0 - v)/M =3.13 m/s
T =Mg+Mv2/l =26.5 N
(2) (设方向为正方向)
负号表示冲量方向与方向相反．
2.12 质量为m的一只狗，站在质量为M的一条静止在湖面的船上，船头垂直指向岸边，狗与岸边的距离为S0．这只狗向着湖岸在船上走过l的距离停下来，求这时狗离湖岸的距离S（忽略船与水的摩擦阻力）．
解：设V为船对岸的速度，u为狗对船的速度，由于忽略船所受水的阻力，狗与船组成的系统水平方向动量守恒：
即
船走过的路程为
但船与狗的位移方向相反
故狗离岸的距离为
2.13 设．(1) 当一质点从原点运动到时，求(1)所作的功；(2)如果质点到处时需0.6s，试求平均功率;(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．
解: (1)由题知，为恒力，
∴
(2)
(3)由动能定理，
2.14 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．
题2.14图
解: 以木板上界面为坐标原点，向内为坐标正向，如题2-14图，则铁钉所受阻力为
第一锤外力的功为
①
式中是铁锤作用于钉上的力，是木板作用于钉上的力，在时，．
设第二锤外力的功为，则同理，有
②
由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故有
③
即
所以，
于是钉子第二次能进入的深度为
2.15 一根倔强系数为的轻弹簧的下端，挂一根倔强系数为的轻弹簧，的下端又挂一重物，的质量为，如题2.15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比．
题2.15图
解: 弹簧及重物受力如题2-15图所示平衡时，有
又
所以静止时两弹簧伸长量之比为
弹性势能之比为
2.16 (1)试计算月球和地球对物体的引力相抵消的一点，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×1024kg，地球中心到月球中心的距离3.84×108m，月球质量7.35×1022kg，月球半径1.74×106m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在点的势能为多少?
解: (1)设在距月球中心为处，由万有引力定律，有
经整理，得
=
则点处至月球表面的距离为
(2)质量为的物体在点的引力势能为
2.17如图所示，一质量为m的物体A放在一与水平面成q 角的固定光滑斜面上，并系于一劲度系数为k的轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定．设物体沿斜面的运动中, 在平衡位置处的初动能为EK0，以弹簧原长处为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，试求：
(1) 物体A处于平衡位置时的坐标x0．
(2) 物体A在弹簧伸长x时动能的表达式．
题2.17图
解：(1)
(2) 取弹簧原长处为弹性势能和重力势能的零点，则平衡位置处系统的机械能
伸长x处系统的机械能
由机械能守恒定律，
解出
2.18 质量为的大木块具有半径为的四分之一弧形槽，如题2.18图所示．质量为的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．
题2.18图
解: 从上下滑的过程中，机械能守恒，以，，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有
又下滑过程，动量守恒，以、为系统，则在脱离瞬间，水平方向有
联立以上两式，得
2.19 一质量为的质点位于()处，速度为, 质点受到一个沿负方向的力的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩．
解: 由题知，质点的位矢为
作用在质点上的力为
所以，质点对原点的角动量为
作用在质点上的力的力矩为
2.20 物体质量为3kg，=0时位于, ，如一恒力作用在物体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)角动量的变化．
解: (1)
(2)解(一)
即 ,
即 ,
∴
∴
解(二) ∵
∴
2.21 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为＝8.75×1010m 时的速率是＝5.46×104m·s-1，它离太阳最远时的速率是＝9.08×102m·s-1这时它离太阳的距离是多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有
∴
2.22 平板中央开一小孔，质量为的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为时重物达到平衡．今在的下方再挂一质量为的物体，如题2.22图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径为多少?
题2.22图
解: 在只挂重物时，小球作圆周运动的向心力为，即
①
挂上后，则有
②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．
即
③
联立①、②、③得
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