液体相对平衡.doc

安徽理工大学机械工程系机设教研室 流体力学讲稿
2.4 液体的相对平衡
一 等加速直线运动的液体的相对平衡
1 平面上的等加速运动
如图有
可列方程
由于可知，压强与无关，即，故有

边界条件：当，得。故压强分布规律为

由式（2.4-4）可计算任一点（x，z）处的绝对或相对压力（注意点（x，y）应在液面下方）。在自由液面上，在坐标原点（0，0），由式（2.4-4）可得

即有
2 斜面等加速运动
质量力的分量
全微分方程为
积分
根据边界条件：，得。则液面方程为

等压面，即

二 等角速度旋转容器中液体的平衡
ｘ，ｙ，ｚ向的单位质量的力
故液体的平衡微分
积分可求：
边界条件为：，故，则有

当时
三 相对平衡的应用
1 离心铸造机 2 离心泵（边缘开口） 3 清除杂质（容器敞开）

mg（浮力）
m1g（自重）
m1ω2r（惯性离心力）
mω2r（向心力）

中心开孔
ω
z
o
ω
ω

例 题
例1 中心敞口容器如图2-22所示，半径为R，高度为H，初始时装液体高度为。当容器以角速度转动时，形成抛物面如图示，试研究液面与上盖及底部接触半径及，并确定抛物面顶点在底面之下的距离h及顶盖上的作用力（不计大气压强影响）。
解：本题（或该类问题）的特点是：容器转动时所形成的抛物面是不完整的，但容器匀速转动时的理论仍然适用。取坐标系如图示，对容器底部虚抛物面。
（1）
对于底部虚抛物面和容器内实抛物面构成的抛物面
（2）
容器内实抛物面的几何空间为

容器内液体无溢出，其体积，则有
（3）
由式（3）得
（4）
将式（1）和式（2）中的和代入式（4）右部可求
（5）
进一步可求和为
（6）
（7）
容器内液体压力分布方程仍然为
（8）
边界条件为，时，，可定，则当时的压力分布为
（≤≤）
则容器顶盖内部的作用力F为

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第四次课