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应用于speckle noise改进非局部相似概率的滤波器
邵春雨 2013 7.13

前言
Speckle noise 为摄像头及宇航拍摄图片的常见的噪声之一，本文
用相似概率衡量Speckle noise的图片的相似性，并用该方法达到一种较好的去噪效果。

摘要
我们首先介绍了Deledalle相似概率度量方法，其次介绍了一般的speckle noise模型， 并推导了相似概率在speckle noise的不同情况以及其相关的性质。
关键词 ：相似概率，speckle noise

正文
1.Deledalle相似性方法
假设所有的随机变量都是在空间Ω，F，Ρ中实值的，连续的，并且有确定定义的。
pX是随机变量X的一个概率密度函数，并且对于任意的x，
pXx>0. 我们定义条件概率密 度函数
pY|X.x：=pY,X(. , x)PX(x)，并且满足-∞ypY|Xtxdt = limε→0+PY≤yX∈(x-ε,x+ε],
同时我们假设噪声像素点f i 服从像素间相互独立的随机变量Fi 并且与对应的无噪声像素为ui服从Ui为随机变量的分布，i=1， 2 ,…N。 现在我们定义一个相似度量概率密度函数
Pu1=u2 f 1 ，f2 ）=SpU1|F1uf1 pU2|F2uf2du ( 1 )，其中pFif i >0，i=1,2 并且定义 S=supppUi。根据已经定义的相似概率密度函数，我们可以得到
SpU1|F1uf1 pU2|F2uf2du=SpU1 , F1 (u , f1)pU2 , F2(u ,f2)dupF1f1pF2(f2) ( 2 )
结合概率论的知识，我们立刻又可以得到
pU1 ,U2 ,F1 ,F2x ，u ，f1 ，f2=pU1 , F1 (x+u , f1)pU2 , F2(u ,f2)
因此
pU1 -U2 ,F1 ,F20 ，f1 ，f2=-∞+∞pU1 -U2 ,U2 ,F1 ,F20 ，u ，f1 ，f2du
=SpU1|F1uf1 pU2|F2uf2du
也即 Pu1=u2 f 1 ，f2 ）=pU1 -U2 ,F1 ,F20 ，f1 ，f2 （3）
由（2），我们也可以得到
pU1 -U2 ,F1 ,F20 ，f1 ，f2=SpU1 , F1 (u , f1)pU2 , F2(u ,f2)dupF1f1pF2(f2) 。（4）
我们定义sDDTf1 , f2= SpF1|U1f1u pF2|U2f2udu 。

2斑点噪声模型
记f（x）=u（x）+urxvx。其中ux为最初的图像，fx为观察
图像，v（x）为对应位置的噪声。r为一个常数与图像本身有关，r∈R。
在3中我们讨论r的一般情况，而只以r=1，,12，-1固定r值做实验。
尤其注意当r=1时，f（x）= u（x）（1+v（x）），记v1x=1+vx。
转化成f（x）=u（x）v1x 转化成乘性噪声模型。

3.基于相似性方法应用于speckle noise
由（4）得
pU1 -U2 ,F1 ,F20 ，f1 ，f2=SpU1 , F1 (u , f1)pU2 , F2(u ,f2)dupF1f1pF2(f2)
=SpU1upU2(u)pF1f1pF2(f2 pF1|U1f1u pF2|U2f2udu
我们又有F1=U1+U1rV1,F2=U2+U2rV2,根据概率论的知识和
雅克比变换法则，我们有
SpU1upU2upF1f1pF2(f2 pF1|U1f1u pF2|U2f2udu
=SpU1upU2upF1f1pF2(f2.1u2r pV1(f1-uur) pV2(f2-uur)du
所以我们可以得sDDTf1 , f2= SpF1|U1f1u pF2|U2f2udu 。
=S1u2r pV1(f1-uur) pV2(f2-uur)du
一般的取S=(0,+∞).

4.讨论V1，V2服从N(0，σ2) sDDTf1 , f2的性质
sDDTf1 , f2=S1u2r pV1f1-uurpV2f2-uurdu
=0+∞1u2r12πσ2e-(f1-u)2+(f2-u)22u2rσ2du ，注意到
(f1-u)2+(f2-u)2≥(f1-f2）22。我们得
0 ≤sDDTf1 , f2≤0+∞1u2r12πσ2e-(f1-f2）24u2rσ2du
令(f1-f2）24u2rσ2=t，当r≥0时，则0+∞1u2r12πσ2e-(f1-f2）24u2rσ2du = 0+∞(f1-f2）24σ212r-112r.12πσ2t-12re-tdt

=(f1-f2）24σ212r-112r.12πσ2 .Γ(1-12r)
当r<0时，类似的得0+∞1u2r12πσ2e-(f1-f2）24u2rσ2du
=(f1-f2）24σ212r-11-2r.12πσ2 .Γ(1-12r)
综合上述，0 ≤sDDTf1 , f2≤(f1-f2）24σ212r-11|2r|.12πσ2 .Γ(1-12r)
由于 sDDTf1 , f2 反应f1 , f2相似的程度，且不论r取何值，当
f1=f2时， 0<r<12 , (f1-f2）24σ212r-112r.12πσ2 .Γ1-12r=0
必有f1=f2时，0<r<12，sDDTf1 , f2=0。此时我们近似的认为 sDDTf1 , f2=(f1-f2）24σ212r-11|2r|.12πσ2 .Γ(1-12r)。
取一个像素点fi为中心的patch（2r+1）*（2r+1），fj为该patch
中的任何一个点，我们用高斯核结合sDDTfi , fj构造每个点对应的权重.
w(i,j)= e-sDDTfi , fjh，其中h给调节常数，通常取h=4πσ2.
fi =(j∈Ωwi,j*fj)(j∈Ωwi,j) ,Ω为fi为中心的
（2r+1）*（2r+1）的patch。
当r<0或r >12 , f1=f2时
(f1-f2）24σ212r-11|2r|.12πσ2 .Γ1-12r趋于无穷。
我们定义此时
sDDTf1 , f2=1/((f1-f2）24σ212r-11|2r|.12πσ2 .Γ1-12r)
此时类似的定义w(i,j)= e-sDDTfi , fjh

5上机实验及与各种类型滤波器的比较SNR进行比较。
略。

参考文献
[1].Non-Local Means Denioising
[2].A New similarity measure for nonlocal filtering in the presence
Of multiplicative noise
[3].Nonlocal means based speckle filtering for ultrasound image

致谢
感谢老师半年的得悉心指导，同时祝同学们学习进步，老师事业更上一层楼