XXXX深圳杯A题-食品安全的抽检问题.docx

摘要:改革开放以来，随着人民生活水平的不断提高，食品的卫生和安全问题也越来越受到人们的关注。本文通过建立数学模型来研究如何进行食品安全的抽检等问题。
对于问题一，我们在查阅相关资料的基础上，将食品分为初级植物产品、初级动物产品、植物类加工食品、动物类加工食品、多种成分的加工食品、其他类食品；将影响食品安全的因素分为食品固有因素、农药和化肥、激素、食品添加剂、生物因素、物理因素、生产技术水平等七大类。在此基础上，我们运用层次分析法对影响食品安全的因素及其危害性的大小做了定量分析。从结果来看，生物因素、农药和化肥、食品添加剂对食品的危害程度排在七大因素的前三位。
在问题一的基础上，我们建立了多层次划分法抽样模型来抽取样本，然后在已经求得的权重的基础上，进一步建立了基于权重的检测模型来解答问题二。该模型的优点是在确定抽检方案时，可以依据权重的大小分配检测的批数，具体的抽检方案见正文。最后，我们针对上述两个模型建立了(N，1，0)误差分析模型，给出了详细的误差分析方法。
在求解问题三时，我们首先引入了“当前因素缺乏率”这一概念来描述各待检测因素对面粉质量的影响，并沿用了问题二的两个抽检模型来对“营养强化面粉”进行检测，制定了相应的抽检方案，如下所示（N表示总检测批数）：
因素
过氧化苯甲酞
钙
维生素A
维生素B2
铁
批数
0.187N
0.057N
0.041N
0.067N
0.180N
因素
维生素B1
锌
维生素B11
维生素B5
水分
批数
0.024N
0.165N
0.208N
0.047N
0.026N
问题四要求对问题三中的面粉进行跟踪检测，我们在对面粉的第一次检测的基础上，引入了各品牌面粉的“风险度系数”来修正三中的模型，进而建立了基于高优指标的最优化模型，解决了既考虑抽样成本又保证检测可靠性的抽检批次的分配问题。
对于问题五我们主要从食品自身的安全性和政府部门的监管两个角度进行了回答，深入分析了食品安全存在的隐患和根源，并提出了有效可行的解决问题办法和建议，可供主管部门和市民参考。

关键词：食品安全抽检 层次分析法 多层次划分法抽样模型 基于权重的检测模型
基于高优指标的最优化模型

一、 问题的重述
随着人民生活水平的不断提高，以及近年来接连发生的一些食品安全事故，食品安全和卫生的检测已成为全社会，乃至政府有关部门重点关注的问题之一。
食品的质量和卫生问题涉及多个环节，例如:原材料的使用、生产加工、运输与贮存、流通与销售等环节。在任何一个环节上出现差错，都将导致食品出现安全和卫生问题，因此食品质量和卫生的检测工作在实际中显得非常重要。但是，由于食品的种类、品牌和批次繁多，从生产加工到销售食用中间环节复杂，质检部门不可能对所有食品做到全面的质量检测，一般只能做一定的抽检。当然，对食品进行抽检也需要一定人力、物力和财力（即成本费用），抽检的越多检测效果就越好，但需要的时间就越长，其成本费用也就越高。因此，应该如何抽检，才能在保证较好的检测效果的前提下，尽可能地节省时间和成本费用？根据实际情况，建立数学模型分析研究下列问题：
（1）根据主要食品的分类，分析影响各类食品安全的因素，并对其可能的危害性做出定量的比较评估分析。
（2）针对部分主要食品，结合实际建立合理的抽检模型，给出检测误差分析的方法，即指出如何分析检测的可靠性，并对模型进行模拟检验。
（3）面粉是我国中北部地区主要的主食原材料，不妨就已推广食用的“营养强化面粉”抽检问题进行讨论，“营养强化面粉”的配方标准如表1（参见附录）所示。假设某地区现有12个品牌的营养强化面粉产品，每个品牌每月将有不少于60个批次（即同一企业、同一条生产线、同一批投料、同一班次生产的产品为1个批次）的产品在市场上销售，质检部门要做一次全面的质量检查，请你帮助制订一种合理的抽检方案，并分析其检测的可靠性。所需要检验项目、标准、成本和工时如表2（参见附录）所示。
（4）针对问题（3），如果质检部门需要连续进行多次跟踪抽检，请给出相应的抽检策略和最佳的抽检数量，使其检测可靠性尽量高、成本尽量低、工时尽量少，并用计算机进行模拟检验。
（5）请根据上述研究，深入分析食品安全存在的隐患和根源，并提出有效可行的解决问题办法和建议，供主管部门和市民参考。
二、 问题的分析
我们经过讨论和分析后，认为本题在整体上属于运筹优化类问题，在求解的过程中将会使用统计学和概率论的相关知识。
对于第一问，我们参考国际上通用的对食品的划分方法，并结合我国居民的饮食结构和特点，将食品划分为以下六大类：初级植物产品、初级动物产品、植物类加工食品、动物类加工食品、多种成分的加工食品、其他类食品。接下来，我们又参考食品科学中的相关理论，将影响各类食品安全的因素具体划分为以下七种：食品本身固有因素、农药和化肥、激素、食品添加剂、生物因素、物理因素、生产技术因素。为了定量分析每一种因素对食品安全的影响程度的大小，我们认为应该使用层次分析法来求得每一种因素对食品安全的权重，从而通过比较权重来确定危害程度的大小。
问题二要求针对主要食品建立合理的抽检模型，并给出误差分析方法。我们在第一问的基础上将这一问的模型具体划分为抽样模型、检测模型这两个子模型。为保证所抽取的样本的代表性，可以建立多层次划分法抽样模型来抽取样本，即对将要抽取的对象进行适当的分类，然后按照各类所占的权重按适当的比例抽取，这样就能保证所抽取样本的代表性。在对所抽取的样本进行检测时，按照“重点抽查易出问题的环节，兼顾其他环节”的原则，我们建立了基于权重的检测模型，即依据各个环节以及其内部影响因素的权重来进行检测次数的分配，这样可以保证检测的针对性，进而可以在以较少投入的前提下尽可能多的检测出有问题的食品及其生产企业。对于误差分析，我们以一次性检测为例，应用抽样特性函数中的OC函数进行误差分析。
问题三要求以某地面粉的抽检为例来制定适当的抽检方案。由于面粉需要检测的主要有水分、过氧化苯甲酞、维生素A、维生素B1 、维生素B2、维生素B5、维生素B11、铁、锌、钙等因素，我们在分析了附表所给的数据后，决定利用层次分析法和基于权重的检测模型进行解答。在构造判断矩阵时，我们根据题目附件所给的参考数据，引入了“当前因素缺乏率”的概念，通过对当前因素缺乏率的计算来判断该因素对面粉质量的影响程度的大小，进而通过比较不同因素的当前因素缺乏率来建立判断矩阵。
对于问题四，由于是在第三问的基础上进行多次跟踪抽检，考虑到第三问已经有了相应的抽检数据，于是我们可以在基于权重的抽检模型的基础上引入风险系数，进而将问题转化为线性规划模型，风险系数可由历史数据求得。最后可以建立基于高优指标的最优化模型，来制定最佳抽检方案。
对于问题五，我们认为应该从食品自身和政府监管两个角度来阐述。
三、 模型假设
1. 假设食品能且仅能分为六大类，其他没有被分类的食品对食品安全性所造成的影响忽略不计。
2. 假设影响食品安全性的因素能且仅能分为七大类，其他没有被分类的因素对食品安全性所造成的影响忽略不计。
3. 假设调查样本在一定的范围内是均一的。
4. 假设所有食品生产厂商的信誉度均相同。
5. 假设抽检不受国家相关政策的影响。
6. 假设检测不同环节、不同因素的成本和工时相同。
四、 符号说明
O : 目标层；
C : 准则层；
P : 方案层；
aij : 准则层两个因素Ci和Cj对目标层的影响程度之比；
C.I.: 判断矩阵一致性指标;
bij : 方案层两个因素Pi和Pj对准则层的影响程度之比；
W， W1， W2…… Wn : 权重向量；
λmax : 最大特征值；
R.I.: 平均随机一致性指标；
m ：判断因子m , m=1表示因素对生产环节有影响，m=0表示无影响
Ω：当前因素缺乏率
wi：第i各因素在食品安全中所占的权重
：表示第i环节在食品安全中所占的权重
：表示第j各因素在第i各环节所占的权重
：风险系数
五、模型的建立与求解
（一）问题一模型的建立与求解
经过分析，对于第一问我们建立“层次分析法”模型进行求解。应用层次分析法分析问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次结构的模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分，这些元素又由隶属性及关系形成若干层次，上一层元素作为准则对下一层次某些元素起支配作用。这些层次课分为三类：
最高层为目标层(O)：问题决策的目标或理想结果，只有一个元素。
中间层为准则层(C)：包括为实现目标所涉及的中间环节各因素，每一因素为一准则，当淮则多于9个时可分为若干个子层。
最低层为方案层(P)：方案层是为实现目标而供选择的各种措施，即为决策方案。
一般说来，各层次之间的各因素，有的相关联，有的不一定相关联；各层次的因素个数也未必一定相同。实际中，主要是根据问题的性质和各相关因素的类别来确定。
下面构造判断矩阵。
构造判断矩阵主要是通过比较同一层次上的各因素对上一层相关因素的影响作用，而不是把所有因素放在一起比较，即将同一层的各因素进行两两对比。比较时采用相对尺度标准度量，尽可能地避免不同性质的因素之间相互比较的困难。同时，要尽量依据实际问题具体情况，减少由于决策人主观因素对结果造成的影响。
设要比较n个因素，，…，对上一层(如目标层)O的影响程度，即要确定它在O中所占的比重。对任意两个因素Ci和Cj，用aij表示Ci和Cj对O的影响程度之比，按1—9的比例标度来度量aij(i,j＝1，2，…，n)。于是，可得到两两成对比较矩阵A＝(aij)n×n，又称为判断矩阵，显然
aij>0 , aij=1/aji , aii=1 (i,j＝1，2，…，n)
因此，又称判断矩阵为正互反矩阵。
比例标度的确定：aij取1—9的9个等级，而aji取aij的倒数，如下表所示：
标度
定义与说明
1
两个元素对某个属性具有同样重要性
3
两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要
5
两个元素比较，一元素比另一元素明显重要
7
两个元素比较，一元素比另一元素重要得多
9
两个元素比较，一元素比另一元素极端重要
2,4,6,8
表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度
1/aij
两个元素的反比较
由正反矩阵的性质可知，只要确定A的上（或下）三角矩阵的[n(n-1)/2]个元素即可。在特殊情况下，如果判断矩阵A的元素具有传递性，即满足
aikakj= aij (i,j,k＝1，2，…，n)
则称A为一致性矩阵，简称为一致阵。
下面检验一致性。通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是一致的，即不一定满足传递性和一致性．实际中，也不必要求一致性绝对成立，但要求大体上是一致的，即不一致的程度应在容许的范围内．主要考查以下指标：
判断矩阵一致性指标C.I.(Consistency Index)

最大特征根的计算方式如下（和积法）：
（1） 将判断矩阵的每一列元素作归一化处理，其元素的一般项为：

（2） 将每一列经归一化处理后的判断矩阵按行相加为：

（3） 对向量W=（ W1， W2…… Wn)T归一化处理:
(i=1,2…n)
W=（ W1，W2…… Wn)T
为所求的特征向量的近似解。
(4) 计算判断矩阵最大特征根λmax：

以上方法即可求得最大特征根。
一致性指标C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大， C.I.的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。一般判断矩阵的阶数n越大，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越大；n越小，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越小。
对于多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标R.I.(Random Index),下表给出了1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标 。
n
1
2
3
4
5
6
7
8
RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
n
9
10
11
12
13
14
15

RI
1.46
1.49
1.52
1.54
1.56
1.58
1.59

当n<3时，判断矩阵永远具有完全一致性。判断矩阵一致性指标 C.I.与同阶平均随机一致性指标R.I. 之比称为随机一致性比率C.R.(Consistency Ratio)。
当C.R.<0.10时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致性。当C.R.≥0.10时，就需要调整和修正判断矩阵，使其满足C.R.<0.10 ，从而具有满意的一致性。
进而我们可以求得方案层对目标层的最大特征向量（方法同上）：

……
……

求解最大特征向量可以由MATLAB软件方便的求得，也可以使用层次分析法的专门软件：YAAHP5.0，进行求解。我们采用YAAHP5.0对模型进行求解。
下面是本问题模型的建立。
我们建立了如下的层次分析法模型。目标层为“食品安全性”；准则层为六类食品,分别为：初级植物产品、初级动物产品、植物类加工食品、动物类加工食品、多种成分的加工食品、其他类食品；方案层为七类影响食品安全的因素：食品本身固有因素、农药和化肥、激素、食品添加剂、生物因素、物理因素、生产技术因素。如下图所示：

根据上述层次分析法的原理，我们构造了准则层对目标层的判断矩阵A1(见附录)，以及方案层对准则层的判断矩阵Ai(i=2,3,…,7)(见附录)。
将各个判断矩阵输入YAAHP5.0软件中，可以求得：
（1） 矩阵A1的一致性比例为0.0983，食品种类对食品安全性的权重向量为（0.3660，0.1760，0.0811，0.2331，0.1000，0.0439）T。
（2）矩阵A2的一致性比例为0.0576，七种因素对植物类加工食品的权重向量为（0.0453，0.3649，0.2080，0.0935，0.0427，0.1610，0.0847）T。
（3）矩阵A3的一致性比例为0.0885，七种因素对动物类加工食品的权重向量为（0.0508，0.0259，0.2321，0.2036，0.0348，0.3652，0.0876）T。
（4）矩阵A4的一致性比例为0.0993，七种因素对多成分加工食品的权重向量为（0.2146，0.0350，0.3129，0.0367，0.0557，0.2469，0.0981）T。
（5）矩阵A5的一致性比例为0.0411，七种因素对初级植物产品的权重向量为（0.0934，0.3652，0.0442，0.1157，0.0307，0.2827，0.0682）T。
（6）矩阵A6的一致性比例为0.0968，七种因素对初级动物产品的权重向量为（0.1302，0.0388，0.3585，0.1917，0.0370，0.1719，0.0719）T。
（7）矩阵A7的一致性比例为0.0979，七种因素对其他种类食品的权重向量为（0.0375，0.2762，0.3152，0.0241，0.0511，0.1400，0.1559）T。
（8）七种因素对食品安全性的权重如下表所示：
七种因素
权重
食品固有因素
0.0898
农药和化肥
0.2316
食品添加剂
0.2023
激素
0.1202
物理因素
0.0394
生物因素
0.2324
生产技术因素
0.0843
注：权重向量W1中个分量为依次为：植物类加工食品，动物类加工食品，多成分加工食品，初级植物产品，初级动物产品，其他种类食品；权重向量W2至W7中个分量为依次为：食品固有因素，农药和化肥，食品添加剂，激素，物理因素，生物因素，生产技术因素。
因为求出的各个权重代表的是该因素对食品安全性的影响大小，所以使用EXCLE软件对各个权重由大到小进行排序，得出如下结果：

七种因素
权重
生物因素
0.2324
农药和化肥
0.2316
食品添加剂
0.2023
激素
0.1202
食品固有因素
0.0898
生产技术因素
0.0843
物理因素
0.0394
经分析可知，对于权重大的因素，其对食品安全性的影响也就更大。
从上表中可以看出生物因素的影响最大，达到了0.2324，其影响主要体现在微生物污染和寄生虫污染。微生物污染包括细菌性污染病毒和真菌及其毒素的污染。在微生物污染中，细菌性污染是涉及面最广、影响最大、问题最多的一种污染。由沙门氏杆菌、金黄色葡萄球菌等常见微生物以及其产生的毒素引起的食物中毒事件常有发生，而且现在一些诸如大肠杆菌O157等非常见微生物引起的食品安全性问题也不断发现,一旦控制不好会造成极其严重的后果,英国等发生的疯牛病便是典型的例证。美国国家食品安全机构确认每年有650万至3300 万起食物引发的微生物疾病，其中9000人死亡。 英格兰和威尔士每年有300人死于由微生物引起的胃肠道感染性疾病，35000人因此住院治疗。2000至2002年中国疾病预防控制中心营养与食品安全所对全国部分省市的生肉、熟肉等食品中的致病菌污染状况进行了连续的监测，结果表明微生物性食物中毒仍居首位。据世界卫生组织估计，全世界每年有数以亿计的食源性疾病患者中，70% 是由于食用或饮用致病性微生物污染的食品和饮水。引起可见控制由微生物污染引起的食品污染仍然是食品安全控制的主要内容。
农药和化肥的危害主要体现在对食品的污染上。化学农药的残留是影响食品安全的重要因素。我国农业生产中存在着农药用量大、品种结构不合理的现象。杀虫剂约占农药总量的7 0 % ，而有机磷杀虫剂又占杀虫剂的7 0 % 。其中甲胺磷、氧化乐果等高毒品种又占有机磷杀虫剂的7 0 %。 2 0 0 1 年辽宁省质量技术监督局提供的" 蔬菜农药残留状况的报告" 表明，在对韭菜等7 种常食蔬菜的97 个样品抽检中，有58 个农药残留超过标准规定，不合格率为57.7% 。沈阳市产品质量监督检验所检测的5个甘蓝、菜花样品，甲胺磷( 禁用药)和乙酰甲胺磷(限用药)含量分别是标准规定的31 倍和9 7 倍。该次抽检中使用氧化乐果( 禁用药) 造成蔬菜残留检测不合格的情况最多，占全部样品总数的35% ，占不合格样品总数的60.7%。 这说明在今后相当长时间内农药仍然是影响食品安全的重要因素。
化肥的使用使农产品的产量大幅提高，但同时也对食品安全及品质带来了影响，特别是硝酸铵等含硝酸根的化肥会造成原料中的硝酸盐、亚硝酸盐的含量明显偏高，对人体有潜在的致癌性。此外化肥在生产过程中难免带有一些对人体有害的重金属元素。
食品添加剂的合理应用使得食品的花色、品种、风味、外观等日益丰富，使得食品的保藏期延长。但由于其多为化学物质，由此而产生的食品安全性问题一直是不容忽视的因素。国家质量监督检验检疫总局近期对果脯、蜜饯产品质量进行了抽查，发现果脯、蜜饯产品中超限量使用食品添加剂问题比较严重。国家标准规定甜蜜素在蜜饯中的最大使用量为8g/kg，糖精钠在蜜饯中的最大使用量为0.15g/kg，但本次抽查中，有的产品被检出甜蜜素含量达到31.2g/kg，超过国家标准近4倍；有些产品糖精钠超过标准近12 倍。食品添加剂的合理使用并不会对食品安全性造成影响，但在实际生活中，一些食品生产商和销售商为了降低经营成本，过量使用食品添加剂，这种行为就会对食品的安全造成很大的威胁。
激素的超标滥用是科技的发展带来的影响食品安全的新型因素。猕猴桃、草莓等水果越来越大，上市时间越来越早；鸡、猪等禽畜也越来越大，越长越快，这大都是激素滥用的结果。长期食用这些食品对人体内激素平衡可能会造成潜在的威胁，进而影响人体健康。
食品固有因素是指有些食品本身就含有某些有毒物质，而且有相当一部分是致命性的，如苦杏仁、魔芋等本身含有可在人体内分解产生氢氰酸的甙类物质；河豚鱼含有的河豚鱼毒素、毒杯伞等野生毒蘑菇中的蕈毒素等，这些都是致命性的，必须引起高度注意。鲜黄花菜、生豆角等含有影响人体健康的秋水仙碱、凝血素等物质。为什么食品中存在着有毒物质？一种解释是动植物在长期的进化过程中，为了防止昆虫、微生物、人类的危害，这是保护自己的一种手段。可见被很多消费者所热衷的纯天然食品不一定就是安全食品，一部分纯天然食品是安全的食品，而有一部份纯天然食品就可能存在这样或那样的不安全隐患。因此要正确对待天然食品，学习有关食品知识，以正确区分哪些天然食品不安全，如何将这些不安全的天然食品转化为安全的，可以放心食用的安全食品。
生产技术因素对食品安全性的影响主要体现在从食品原料的生产到加工、贮藏、销售等环节中，由于生产技术的落后或应用不当造成的二次污染，也是影响食品安全性的因素。特别是在一些小型或个体企业的食品生产厂家，存在的问题较多。据统计，我国现有的700 多万家小型食品加工作坊、摊点中，80% 以上为10 人以下的手工作坊，其中20%至30%没有达到行业标准。
从上表中不难发现，物理因素的权重最小。食品生产加工过程中，混入食品中的杂质超过规定的含量或混入直接会造成对人体伤害的玻璃、针头等利器，以及由食品吸附、吸收外来的放射线核素所引起的食品质量安全问题，都属于物理性因素。如面粉生产过程中混入磁性金属物、食品中混入玻璃等。由于将辐照等物理因素用于食品的保藏而带来的食品的安全性问题目前尚没有确切的定论，但由于X-射线、β-射线等辐射作用对人体产生的巨大危害性，使得人们对辐照食品的安全性一直持慎重态度。
（二）问题二模型的建立与求解
对于第二问，我们分以下四步解决：
1.样本的抽取模型
食品的检测模型主要用于检测不同地理区域、不同生产条件、不同生产规模的食品生产商所生产销售的食品的质量问题，在检测前我们必须先根据经济情况等因素大致确定抽查的数目。
不同地理区域、不同生产条件、不同生产规模的生产商所生产销售的食物质量是有很大差别的。因此，在检测前对检测对象进行合理的分配至关重要。这里我们提出多层次划分法抽样模型。多层次划分法抽样模型根据不同的因素对抽查对象进行划分：第一层为目标层，即所要抽查的对象。如全国的食品生产商；第二层则在第一层的基础上考虑某一因素（比如地域差异）而对第一层次进行划分，将其分为几类不同属性的抽查对象；第三层则在第二层的基础上考虑另一个因素（比如生产规模）对第二层的几类抽查对象分别进行划分，如此进行下去，直到满足一定的条件结束划分。划分过程如下图所示：

具体的抽取数量可按层次分析法求得权重后，根据权重按比例分配抽取数量。得到抽查对象后按下述模型进行检测。
2.基于权重的检测模型的建立与求解
此问要求在同时考虑经费、时间和效果的前期下建立合理的抽检模型，对于此问我们的总体思路是：重点抽查容易出问题的环节，兼顾其他环节。经分析，针对主要食品，我们依据第一问的计算结果建立了基于权重的抽检模型，具体模型如下。
为了方便计算权重，我们引入判断因子m , m=1表示该因素对该环节有影响，m=0表示无影响。于是我们可以得出：

环节
影响因素
原材料使用
生产加工
运输与存储
流通与销售
食品固有因素
1
1
0
0
农药与化肥
1
0
0
0
各种添加剂
0
1
0
0
生物激素
1
0
1
1
物理因素
0
1
0
0
生物因素
1
1
0
0
生产技术因素
0
1
1
1
如果以Ri表示各个环节中所包含的所有的影响因素的权重之和，即
,
因此可以得出各个环节中的因素总权重。为了便于抽检次数的分配，需要对这些权重之和做归一化处理，使得各个环节权重的总和为1，即

式中表示第i环节在食品安全中所占的权重。其值如下表所示：
生产环节
原材料使用
生产加工
运输与存储
流通与销售
权重
0.3384
0.3436
0.1590
0.1590
以此为依据，我们就可以得到在检测食品安全时，对各个环节的检查力度了，即设某次质量检查中一共要做N次检测，那么对第i个环节所抽查的次数就是次。具体分配情况如下（N代表总检查次数）：
各个环节
原材料使用
生产加工
运输与存储
流通与销售
分配次数
0.3384N
0.3436N
0.1590N
0.1590N
由于产品的检测要具体到每一件产品上，所以我们还需要继续将每一个环节中的检查次数按照属于该环节的各因素的权重进行分配。对此我们仍采用上述的权重分配法。对于第i各环节，我们可以求出其中的第j各因素在这个环节中的权重：
,
同样，对这些数据做归一化处理：
，
表示第j个因素在第i个环节所占的权重，因此第i个环节中的第j个因素所需的检测次数就为。至此就可以得到每个环节中每项因素的检测次数了，具体数据如下表所示（N代表检测次数，表述数据取整数值）：
环节
因素
原材料使用
生产加工
运输与存储
流通与销售
食品固有因素
0.0446N
0.0476N
0
0
农药与化肥
0.1163N
0
0
0
食品添加剂
0
0.1072N
0
0
生物激素
0.0603N
0
0.1167N
0.1167N
物理因素
0
0.0209N
0
0
生物因素
0.1167N
0.1232N
0
0
生产技术因素
0
0.0447N
0.0423N
0.0423N
3.模型误差的分析方法
在实际的抽检中，当确定某一环节的抽查次数时，一般以一次性抽检方案进行。一次抽检方案就是从批量为N的某食品中，抽取一个容量为n的品，经检验后，由这个样品中的不合格数d来决定这批食品是否合格。对此种抽样问题，关键是确定抽样量n和合格判定数c，故一次抽检方察又称(N，n，c)方案。其抽检过程由下面的图5—2给出。我们以(N，1，0)方案为例来分析检验误差，即从中任取一个样品检验，当此样品合格，则认为整批食品合格;反之则不合格。

图5—2,误差分析图
从下表可以看出，在食品抽样检测时存在两类误判，即当判断食品为不合格批次时，可能犯第一类错误，即I型误差，一般用a表示；而当判断食品为合格批时可能会犯第二类错，即Ⅱ型错误，一般用β表示。
实际情况
数据
鉴定
评价
合格批
d≥c
合格批
正确
合格批
d>c
不合格批
错误
不合格批
d≥c
合格批
错误
不合格批
d>c
不合格批
正确
为计算误差，我们引入抽检方案的接受概率P, 它指出现事件“”的概率，易知接受概率是P的减函数，称为OC函数，记作：

如果规定当批次的不合格率p不超过p0时，这批食品是合格的，那么当某批次食品的时，应判为合格，判为不合格的概率即I型误差为；当p>p0时，应判为不合格，判为合格的概率为。
抽检方案（N,1,0）的OC函数为：

其对应取值如下表所示：
p(%)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
L(p)
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
因而在时合格的整批食品被误判为不合格的概率为;而在p>0.05时，不合格的整批食品误判为合格的概率为，β的最大值为0.95，可见此方案虽然对食品生产企业有利，但对消费者却极不负责，因为存在很大的可能性将不合格的食品当成合格的食品投放市场。
4.模型的模拟检验
为了进行模型的模拟检验，我们设置以下情形进行检测模拟。
情形模拟：某市现要进行一次食品质量安全检测，要求制定一份合理的抽检方案。已知食品的生产过程可以分为原材料使用、生产加工、运输与存储、流通与销售四个环节，具体表现为食品固有因素、农药与化肥、食品添加剂、生物激素、物理因素、生物因素、生产技术因素，其中一个环节中可能包含上述七种因素中的一个或几个，其影响程度也有区别，要求每个环节至少抽查5次以上，而由于检测成本费用和检测时间投入的限制，要合理的分配抽查，以达到最佳的抽查效果。
模拟抽检：
（1）确定抽检方案
现已N表示需抽检的总次数（待定），由已求得的各因素对各生产环节的权重确定对各生产环节所分配的抽检次数：
生产环节
原材料使用
生产加工
运输与存储
流通与销售
权重
0.3384N
0.3436N
0.1590N
0.1590N
然后将各环节的次数具体分配到每一个因素上去，参见下表：
环节
因素
原材料使用
生产加工
运输与存储
流通与销售
食品固有因素
0.0446N
0.0476N
0
0
农药与化肥
0.1163N
0
0
0
食品添加剂
0
0.1072N
0
0
生物激素
0.0603N
0
0.1167N
0.1167N
物理因素
0
0.0209N
0
0
生物因素
0.1167N
0.1232N
0
0
生产技术因素
0
0.0447N
0.0423N
0.0423N
由表中的数据得知检查次数最少的为生产加工阶段的物理因素环节，于是

得到最少检测次数为239次。于是有以下分配：

原材料使用
生产加工
运输与存储
流通与销售
食品固有因素
11
11
0
0
农药与化肥
28
0
0
0
食品添加剂
0
26
0
0
生物激素
14
0
28
28
物理因素
0
5
0
0
生物因素
28
29
0
0
生产技术因素
0
11
10
10
总次数
81
82
38
38
（2）样本的抽取
由于在同一市区，我们可以忽略地域对生产的影响。首先按照生产规模将本市的食品生产商分为超大规模生产商，大规模生产商，中等规模生产商，小规模生产商。然后根据其数量的多少按照比例随机抽取一定的生产商按照上述的检测方案进行检测。
（三）问题三模型的建立与求解
对于第三问，由于面粉需检测的因素主要有水分、过氧化苯甲酞、维生素A、维生素B1 、维生素B2、维生素B5、维生素B11、铁、锌、钙等，而且各因素的重要性也不相同，因此为了进行全面、重点、高效的检测，我们需要利用层次分析法计算各因素对面粉质量的权重，这里我们的主要的任务是构造判断矩阵。经过对题目附件所给的相关数据的分析后，我们引入了“当前因素缺乏率”的概念，即某因素的当前人均摄入量和建议摄入量差额的绝对值与建议摄入量的百分比，以Ω表示，则

Ω值越大表示此种因素越需要引起注意。于是我们可以得到各因素的Ω值，如下表所示：

实际量
建议量
差额
Ω
维生素A (μg)
152.9
750
597.10
79.1%
维生素B1 (mg)
1.0
50
49.0
98.0%
维生素B2 (mg)
0.8
1.4
0.6
42.8%
维生B11
(mg)
89.8
12
-77.80
642%
钙
(mg)
390.6
900
509.4
65.6%
铁
(mg)
23.3
20
-3.3
16%
锌
(mg)
11.4
15
3.6
15%
然后根据当前因素缺乏率来构造各个因素的判断矩阵，进而根据层次分析法软件YAAHP求解个因素的权重，层次分析决策图和求得的结果如下所示：

以下是求得的权重：
影响面粉质量的各因素的权重值
备选方案
权重
过氧化苯甲酞
0.1868
钙
0.0561
维生素Ａ
0.0414
维生素Ｂ２
0.0666
铁
0.1798
维生素Ｂ１
0.0240
锌
0.1650
维生素Ｂ１１
0.2083
维生素Ｂ５
0.0466
水分
0.0256
在所求权重的基础上，我们建立了基于权重的检测模型，进而得到了面粉的抽检方案，即假设要进行N次检测，我们需要将这N次检测根据权重分配到每一个因素中去，如下表：
抽检面粉的各个因素的次数分配
备选方案
检测次数
过氧化苯甲酞
0.1868N
钙
0.0561N
维生素A
0.0414N
维生素B2
0.0666N
铁
0.1798N
维生素B1
0.0240N
锌
0.1650N
维生素B11
0.2083N
维生素B5
0.0466N
水分
0.0256N
表中的检测次数由相关部门根据检测的规模和投入的成本来确定。当确定了对每一个因素的检测次数后，我们需要确定检测的对象。由于共有12个品牌，每个品牌有不少于60个批次的产品在市场上销售，我们需要对这些批次进行抽检。抽样时我们可以借用第二问建立的多层次划分法抽样模型划分层次抽样。
（四）问题四模型的建立与求解
对于第四问我们首先建立了基于高优指标的最优化模型，具体的模型如下：
1.基于高优指标的最优化模型
由于已经有了第一次检测的相应数据，我们在进行跟踪检测前需要对第一次抽检的数据进行整理分析。有了第一次抽检的数据后，跟踪检测可以转化为利用线性规划求最大风险度的问题。我们建立基于高优指标的最优化模型来求解，过程如下所示：
为建立模型，我们引入风险系数，其定义为

其中i表示第i个因素，j表示第j个品牌，我们规定品牌为1，2，3…12，因素按照过氧化苯甲酞、钙、维生素A、维生素B2、铁、维生素B1、锌、维生素B11、维生素B5、水分的次序依次为1，2，3…10。为第i项因素的权重，在第三问中我们已经求出其值： 由于其值越大，它所对应的因素就越重要，我们称之为高优指标。表示第j个品牌第i个因素在第一次检测时出现问题的次数，它可以由第一次抽检的数据中得到。由以上定义式我们可以计算出各个品牌、各项因素的风险系数。另外，我们需要计算利用基于权重的抽检模型所分配给各项因素的抽检次数，因此假设一共要进行N次批检测，于是我们可以得到分配次数表，如下表所示：
抽检面粉的各个因素的次数分配
备选方案
检测次数
过氧化苯甲酞
0.1868N
钙
0.0561N
维生素A
0.0414N
维生素B2
0.0666N
铁
0.1798N
维生素B1