泰勒公式在若干数学分支中的应用.doc

本科学生毕业论文

泰勒公式在若干数学分支中的应用

黑 龙 江 工 程 学 院

The Graduation Thesis for Bachelor's Degree

Taylor formula in several branches of mathematics

Heilongjiang Institute of Technology

黑龙江工程学院本科生毕业论文

摘 要

泰勒公式是数学分析中重要的公式，在解题中有着重要的作用。它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使问题简单化。它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学、线性代数、概率等数学学科中都有着重要的应用。
本论文概述了泰勒公式的产生及发展现状；介绍了一元函数泰勒公式的定义及其几个常见函数的展开式；归纳总结了一元函数泰勒公式五个方面的应用，即利用泰勒公式求极限、泰勒公式在证明等式及不等式中的应用、泰勒公式求不定积分、泰勒公式在近似计算中的应用及利用泰勒公式计算行列式。介绍了二元函数泰勒公式的定义，并利用泰勒公式证明极值的充分条件、判定二元函数极限的存在条件、利用泰勒公式求近似值、判定级数和广义积分的敛散性及概率当中严森不等式的证明。

关键词：泰勒公式；佩亚诺余项；拉格朗日余项

ABSTRACT

Taylor Formula is an important formula in mathematical analysis, and it plays a necessary partr in problem-solving. It simplifies the problems via making some complicated functions into simple polynomial functions approximately. It embodies the essence of approximation in calculus, and possesses important applications in Mathematics subject such as calculus, linear algebra, the probability, etc.
This paper outlines the produce and the development status of Taylor Formula. It introduces the definition of Unary Function Taylor Formula and expanded form of several common functions. It summarizes the applications of Unary Function Taylor Formula in five aspects, that is, getting the limit value, proving the equation and inequalities, evaluating the indefinite integral, applying the approximate calculation and calculating the determinant by Taylor Formula. Moreover, it introduces the definition of Binary Function Taylor Formula, and applies the sufficient basis of proving the limit value by Taylor Formula to determine the existence conditions of Binary Function’ extremum, to get the approximate value, to Judge the progression and the divergence of improper integral and to prove the Yan Sen Inequality in probability.

朗读
显示对应的拉丁字符的拼音

字典
朗读
显示对应的拉丁字符的拼音

字典

Key words: Taylor formula；Peano remainder；Lagrange Remainder

I

目 录

摘要 I
Abstract II
第1章 绪 论 1
1.1 泰勒公式背景的概述 1
1.2 课题的研究现状 2
1.3 课题的研究意义 2
1.4 本文研究的工作 2
第2章 一元函数泰勒公式及其应用 4
2.1 一元函数泰勒公式 4
2.1.1一元函数泰勒公式的定义 4
2.1.2常见函数的展开式 5
2.2 利用泰勒公式求极限 6
2.3 泰勒公式在证明等式、不等式中的应用 8
2.3.1有关定积分等式的证明 8
2.3.2有关定积分不等式的证明 9
2.3.3一般不等式的证明 11
2.4 利用泰勒公式求不定积分 12
2.5 利用泰勒公式进行近似计算 13
2.6 利用泰勒公式计算行列式 14
第3章 二元函数泰勒公式及其应用 18
3.1 二元函数泰勒公式 18
3.1.1问题的提出 18
3.1.2二元函数的泰勒公式 18
3.2 利用二元函数泰勒公式证明极值的充分条件 24
3.3 利用泰勒公式判定二元函数极限的存在性 28
3.4 利用二元函数泰勒公式求近似值 30
3.5 利用二元函数泰勒公式判定级数和广义积分敛散性 31
3.6 二元随机变量的严森不等式 31
结论 33
参考文献 34
致谢 35
附录 36

第1章 绪 论

1.1 泰勒公式背景的概述
泰勒出生于英格兰一个富有的且有点贵族血统的家庭，1701年泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习，1709年他获得法学学士学位，1714年获得法学博士学位。1712年泰勒被选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。泰勒曾几次访问法国并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级数问题和概率论问题。从1714年到1719年，是泰勒在数学牛顿产的时期。
泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。
随着近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式

称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有
即

称为泰勒公式.
众所周知，泰勒公式是数学中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面重要的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判定级数敛散性、计算不定积分、近似计算、不等式证明等方面。

1.2 课题的研究现状
泰勒公式已经在一些简单的数学计算中被广泛应用，通过对原式进行泰勒展开，计算量得到了很大部分的简单化，并在误差允许范围内，提高研究问题，解决问题的效率。
关于泰勒公式的应用，已有很多数学人对它产生了浓厚的兴趣，他们对于某些具体问题作出了具体解法，如求极限、证明不等式、求近似值、求代数方程的解、求不定积分等，对于泰勒公式在数学中的其它应用，还在研究中。
1.3 课题研究的意义
泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题。
本论文将归纳的泰勒公式及其应用方法，能够使我们对泰勒公式及其应用有一个总体上的认识，这将有助于我们对泰勒公式及其应用理论的理解和掌握，提高我们解决数学中实际问题的能力。

1.4本文研究的工作
论文概述了泰勒公式的产生及发展现状；介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式；将泰勒公式的应用方法进行归纳总结。文章针对泰勒公式的应用讨论了八个问题，即利用一元函数泰勒公式求极限、计算不定积分、证明等式及不等式、进行近似计算、计算行列式，利用二元函数泰勒公式判定极限的存在性、求近似值、判定级数的敛散性。
本论文的主要结构如下:
第一章绪论；第二章一元函数泰勒公式及其应用；第三章二元函数泰勒公式及其应用。

第2章 一元函数泰勒公式及其应用

2.1 一元函数泰勒公式
对于一些比较复杂的函数，为了方便研究，往往希望用简单的函数来近似表达。由于用多项式表示的函数，只需对自变量进行有限次加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。
在微分的应用中已经知道，当很小时，有如下的近似等式：
，
这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子。显然，在处这些一次多项式及一阶导数的值分别等于被近似表达的函数及导数的相应值。

2.1.1一元函数泰勒公式的定义

泰勒公式是用一个次多项式来逼近函数，而多项式具有形式简单，易于计算等优点，泰勒公式由的次泰勒多项式和余项组成。
泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。定性的余项如佩亚诺型余项，仅表示余项是比（当时）高阶的无穷小，如，表示当时，用近似，误差（余项）是比高阶的无穷小。定量的余项如拉格朗日型余项（也可以写成），定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究。
定义1.如果函数 在点的某邻域内具有 阶导数, 则对此邻域内的点, 有

　 （1）

这里为佩亚诺余项，称（1）为点带有佩亚诺型余项的泰勒公式。
当时，（1）式变为

称此式为带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式。

定义2. 如果函数在点 的某邻域内具有 阶导数, 则对此邻域内的点 , 有
（2）这里为拉格朗日余项，其中在与之间，称（2）式为在带拉格朗日型余项的泰勒公式。
当时, （2）式变为

称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式。
2.1.2 常见函数的展开式

2.2利用泰勒公式求极限
函数多项式或有理分式的极限计算问题是十分简单的，因此，对一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题。
对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。

满足下列情况时可考虑用泰勒公式求极限:
（1） 用洛必达法则时，次数较多，且求导及化简过程较复杂；
（2） 分子或分母中有无穷小的差，且此差不容易转化为等价无穷小替代形式；
（3） 所遇到的函数展开为泰勒公式不难。
例1 求极限
分析：此题分母为，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。
解：这个是类型的极限，如果用L`Hospital法则，需要求导4次

但若采用泰勒公式，则因为

将换成 有

又

所以

故

计算过程简洁得多了。
例2 求极限.
解：因为分母的次数为4，所以只要把，展开到的4次幂即可.

故

带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。

2.3泰勒公式在证明等式、不等式中的应用
关于不等式的证明，有多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法。下面我们举例说明，泰勒公式也是证明等式、不等式的一个重要方法。
适用类型：
（1）对于定积分等式，泰勒公式适用于被积函数有二阶或二阶以上的连续导数的命题。
（2）对于定积分不等式，泰勒公式用于已知被积函数二阶和二阶以上可导，且又知最高阶导数的符号的问题；
（3）对于一般不等式，泰勒公式适用于具有二阶和二阶以上的导数，且最高阶导数的大小或上下界可知的函数。
2.3.1 有关定积分等式的证明
针对类型：适用于被积函数有二阶或二阶以上的连续导数的命题。
证题思路：作辅助函数；将在所需点处（一般根据右边表达式确定展开点）进行展开，对余项做适当处理（一般是利用介值定理）。
例1设函数在上二阶导函数连续，求证：存在，使得。
证：设，则有
，
，
令，
则在处的二阶公式为：

（其中在与之间）
将分别代入上式，然后相减得

即

因为连续，由介值性可知存在，使得

所以
。
2.3.2 有关定积分不等式的证明
针对类型：已知被积函数二阶和二阶以上可导，且又知最高阶导数的符号的问题。
证题思路：直接写出的展开式，然后根据题意对展开式进行缩
例1设函数在上单调递增，且，证明

分析：题设条件告知函数二阶可导且二阶导数大于零，高阶导数的存在提示我们尝试使用泰勒公式。因为被积函数右边有、，我们不妨对，将在点处展开为泰勒公式，再令进而找出与、的关系。
证（1）先证
由题意，对，当时。
故

（2）再证右不等式
，在点处的泰勒展开式为
（在与之间）
因为，
所以
将分别代入上式并相加，得

对上式两边在上积分，则

故
所以
2.3.3 一般不等式的证明
针对类型：适用于具有二阶和二阶以上的导数，且最高阶导数的大小或上下界可知的函数。
证题思路：(1)写出比最高阶导数低一阶的展开式；
（2）恰当选择等式两边与，不要认为展开点一定以为最合适，有时以为最佳；
（3）根据所给的最高阶导数的大小或界对展开式进行缩放。
例1函数在满足且，证明对任意的，，都有。
证不妨假定，将在处按泰勒公式张开，得， ，
则

。
这里，由于，有及在上严格单调减少，从而有，
故 或
例2用泰勒公式证明
证 设，则
，，
，即

取，得，
，得，
，得。
将不等式两边相加，得
。
取，则在，，之间，故
，
即。
2.4利用泰勒公式计算不定积分
泰勒公式对（其中是关于的次多项式）类型的有理函数不定积分的计算很简便，此时将展成在点泰勒级数共有项。
因为

则有

这时等式右边的每一项积分都很容易求得。
例1 计算
解 设，将其在点展开，有

故

=
2.5利用泰勒公式进行近似计算
利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式。利用泰勒公式求极限时，宜将函数用带佩亚诺型余项的泰勒公式表示，但在求近似值时应将函数用带有拉格朗日型余项的泰勒公式表示，以便于误差的估计。
例1 用的10次泰勒多项式求的近似值，并估计误差.
解 在的泰勒公式中取,则有

由于的精确度值，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计
.
必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，不能远离，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果.
如在的泰勒多项式中令=1，取它的前10项计算的近似值，得到

=0.645 634 92…
而=0.693 147 28…，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如

，
令只取前两项便有
0.69135…,
取前四项则可达到
=0.693 124 75…,
效果比前面好得多.

例2 当很小时，推出的简单的近似公式.
解 当很小时，

2.6利用泰勒公式计算行列式
在代数学中，有关利用代数知识计算行列式的方法有很多，但利用微积分学的方法计算行列式的极为少见。以下内容从泰勒公式入手，介绍利用泰勒公式计算行列式的方法，以丰富行列式的计算方法，也使得微积分学与代数学两大分支紧密的联系起来。
解题思路：根据所求行列式特点，构造相应的行列式函数，再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开，只要求出行列式函数的各阶导数值即可。
若一个行列式可看做的函数（一般是的次多项式），记作，按泰勒公式在某处展开，则可用泰勒公式求得该行列式的值。
例1求n阶行列式的值

解 把行列式看作的函数，
记 则
将在按泰勒公式展开

这里
第列乘以第列得

下面求行列式函数的各阶导数

各行列式分别按只有一个1元素所在行展开得类似可以推出
还可以推出
……….

（因为）
则

…………….

代入在的泰勒展开式

若则

若则

令得
当时
当时
结论：只要行列式函数的各阶导数较易计算，则应用泰勒公式计算行列式就简便。

第3章 二元函数泰勒公式及其应用

3.1 二元函数泰勒公式
3.1.1 问题的提出
一元函数的泰勒公式

。
意义：可用次多项式来近似表达，且误差是当时比高阶无穷小。
问题：能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小，即 设在点的某一邻域内连续且有直到阶的连续偏导数，为此邻域内任意一点，能否把函数近似地表达为的次多项式，且误差是时比高阶的无穷小。
3.1.2 二元函数的泰勒公式
定理 若函数在点某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对内任一点，存在相应，使得

则上式称为二元函数在点的阶泰勒公式。
证 作函数，由定理条件之一元函数在上
满足一元函数的泰勒定理条件
由的定义知

由数学归纳法可得

所以

取，有

由于

因此

其中

称为泰勒公式的拉格朗日型余项。
如果用公式中关于及的次多项式作为的近似值，由此产生的误差会怎样呢？
若在内所有阶偏导数的绝对值不超过某一确定的正数，
则有
，

这表明当时是一个比高阶的无穷小，即有。
特别地，当时，则称为二元函数的麦克劳林公式，就可以写为

设 ，全增量
则二元函数泰勒公式可用点函数表示出来，即
全增量可表示为
。
在二元函数的泰勒公式中，当时，有

或

这就是二元函数拉格朗日中值公式，我们有下面的推论
推论 设在区域上具有连续的一阶偏导，
（1） 若则在上仅是的函数；
（2） 若则在上仅是的函数；
（3） 若则在上是常值函数。
证 （1）我们只要证明任意，有，
设

对在区间（不妨设）上利用拉格朗日定理，有

得证，同理可证得（2）成立。
（3）任意，利用二元函数中值定理，有

因此，在上是常值函数。

例 1 写出函数在点的邻域内的展开式，到二次项为止。
解

由于，于是，按二元函数泰勒公式有

其中

在这里我们看到余项的形式是很复杂的，因此，如果不需要被指出，我们就写成或。
例2 求函数的三阶麦克劳林公式。
解

所以

又 ，
故
其中

3.2利用二元函数泰勒公式证明极值的充分条件
定理 设函数在点的某邻域内连续，具有一阶及二阶连续偏导数，又，令则：在处是否取得极值的条件如下：
（1）时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；
（2）时没有极值；
（3）时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
证明：根据二元函数泰勒公式，对任意，由定理条件，有：

由假定，在点的邻域内，的所有二阶偏导数连续，所以有：

所以

当的符号对一切是恒正或恒负时，由于在时都是无穷小量，所以存在点的一个邻域，当时，的符号与的符号相同。因此，只要判断的符号就可以了。

令其中（假定。若，则，当时，；当时，），函数的图像是一条抛物线。下面分三种情况讨论：
（1） 当即时，其图像见图a和图b。若，则，其图像为直线，见图c。

0 0

图a 图b

0

图c

从上图可得，取任何值，的值可能为正也可能为负，即的符号是不确定的，所以的符号不确定，即可正可负。所以不是极值。
（2）当即时，函数的图像大致如图d和图e所示。

0

0

图d 图e

从上图可知，恒正（当）时，或恒负（当）时，也就是恒正或恒负。所以当时，，是极小值；当时，，是极大值。
（3）当，即时，函数的图像大致为图f和图g所示。当且时，如图h所示，这时，当时，，为极小值；当时，，为极大值。

0 0

图f 图g

0

图h

当或时，若则，即的符号不能由来确定，还需作进一步讨论。此时可能是极值也可能不是极值。为说明这种情况，只要考察函数和即可。易证这两个函数都以为驻点，在点处都满足，但在处有极小值，而在处无极值。
3.3 利用泰勒公式判定二元函数极限的存在性
在二元函数极限理论中，要判断一个二元函数的极限存在，其方法为：，当时，恒有。
要判断二元函数极限的不存在性，往往采用以下两种方法：
（1）构造趋于的点列，使得，或构造趋于的两个点列及，使得。
（2）构造通过点的连续曲线，使得，或者构造通过点的两条连续曲线与使得。
在实际应用中最棘手的问题是: 怎样寻找这样的点列或两条不同路径的曲线与使其符合上面的条件。 对于较简易的函数在处的极限不存在性问题, 常常用下法来解决。
a.取，求出时的极限；
b.取，求出时的极限；
c.令，求出时的极限等，再从求出的极限值与或有关来得出这个二元函数的极限不存在，但以上各法均不能作为解决这类问题的通用方法。
解决办法：
利用泰勒公式研究函数无穷小量的阶，可以顺利地解决二元函数极限存在性判定的问题，下面举例说明具体做法。
先给出点的展开式

特殊地，在点处的展开式为：

这里。
例 1 求函数极限
解

又

显然，当时
故所求极限不存在。
例2 求在点处的极限
解 因为

故函数在点处极限不存在。
3.4利用二元函数泰勒公式求近似值
求近似值时应将函数用带有拉格朗日型余项的泰勒公式表示，以便于误差的估计。
例1利用函数的三阶泰勒公式，计算的近似值。
解 在点(1,1)处展开三阶泰勒公式

因此
例2 计算的近似值，式中为。
解 容易看出

于是

3.5利用二元函数泰勒公式判定级数和广义积分敛散性
例1.判断级数的敛散性。
解 利用佩亚诺型余项泰勒公式，有

式中
因级数 收敛，故原级数绝对收敛。

例2 判定广义积分的敛散性，其中
解 被积函数带佩亚诺余项的泰勒公式为

而收敛，故原积分收敛.

3.6二元随机变量的严森不等式
利用二元函数泰勒公式，可给出二元随机变量的严森不等式。
定理 设为二元独立随机变量，二元函数在点的某个邻域内有连续的一阶、二阶偏导数，且在该邻域内，的所有二阶偏导数非负，则在该邻域内有不等式成立。
证明：将函数在点附近泰勒展开，得

其中
由于在点的某个邻域内所有二阶导数非负，故有

于是有

所以

证毕。
(函数的均值大于等于均值的函数)

结 论

文章主要对一元函数泰勒公式的应用进行了归纳总结，包括似计算，求极限，证明等式、不等式，求不定积分，计算行列式问题；本人工作主要在二元函数泰勒公式的应用，包括：近似计算，求极限，判断级数、广义积分敛散性，证明严森不等式。

参考文献

[1]常庚哲、史济怀编.数学分析.高等教育出版社.第一版
[2]同济大学数学系编.高等数学.高等教育出版社.第六版
[3]同济大学数学系编.高等数学.高等教育出版社.第六版
[4]张禾端、郝鈵新编.高等代数.高等教育出版社.第四版
[5]刘玉莲、傅沛仁.数学分析讲义.高等教育出版社.第四版
[6]孙清华、孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）.华中科技大学出版社
[7]齐成辉.泰勒公式的应用.陕西师范大学学报.2003年04月
[8]李福兴.泰勒公式的若干应用.梧州师专学报.1997年03月
[9]刘瑜、陈美艳.泰勒公式在n阶行列式中的应用.内江师范学院学报.2008年2月
[10]梅丽.谈泰勒公式的两点应用.金融教学与应用.1998年02月
[11]王贵保.泰勒公式的行列式表示与应用.张家口师专学报.2003年06月
[12]朱永生、刘莉.基于泰勒公式应用的几个问题.长春师范学院学报. 2006年08月
[13]王素芳、陶荣、张永胜.泰勒公式在计算及证明中的应用. 2003年06月
[14]费德林.泰勒公式的应用及技巧.皖西学院院报.2001年11月
[15]陈明.泰勒公式在判断二元函数极限存在性中的应用.数学理论与应用.2004年12月
[16]唐清干.泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用.桂林电子工业学院学报.2002年6月
[17]潘劲松.泰勒公式的证明及应用.廊坊师范学院学报.2010年4月

致 谢

本课题是在选题及研究过程中得到导师樊玉环老师的悉心指导，樊老师多次询问研究过程，并为我指点迷津，介绍参考书及相关的国内外论文，搜集相关类型题，让我去做，在这些题中我方知此课题的真正意义，樊老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实地精神，不仅授我于文章，更教会我做人。
几年来系里的各位老师在我的学习和生活上给予了无微不至的关怀，鼓励和精心指导。老师们渊博的知识、高尚的品格、严谨的治学态度以及兢兢业业的敬业精神，始终激励、鼓舞我不断前进。值此论文完成之际，特向我们数学系的老师们致以最崇高的敬意和衷心的感谢！
衷心感谢黑龙江工程学院数学系系主任田老师、数学系副书记夏老师他们用爱心和无私奉献给予我知识，教会我做人；他们的关心，鼓励与支持是本课题研究得以顺利完成的保障。
最后向所有曾经关心帮助过我的亲人、朋友、老师们致以衷心的感谢！

附 录

Taylor's Formula

G. B. Folland

There's a lot more to be said about Taylor's formula than the brief discussion .Let me begin with a few definitions.
Definitions. A function defined on an interval is called times differentiable
on if the derivatives exist and are finite on , and is said to be of class on if these derivatives are all continuous on . (Note that if is times differentiable, the derivatives are necessarily continuous, by Theorem 5.3; the only question is the continuity of.) If is (at least) times differentiable on an open interval and , its th order Taylor polynomial about is the polynomial

(where, of course, the “zeroth derivative”