初二假期辅导专题一：勾股定理.docx

知识解读
专题一：勾股定理---2月15日
1、 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：在RT 中，，则a2+b2=c2。
2、 几种表达式：c2=a2+b2，a2= c2-b2，b2= c2- a2。，，。（知二求一）
3、 勾股定理的证明：

4、 勾股定理逆定理：若a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形（其中c为斜边）。
课外延伸：若a2+b2<c2, 那么这个三角形是 三角形;若a2+b2>c2, 那么这个三角形是 三角形。
5、 互逆命题：题设和结论恰好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
6、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
例题精讲
7、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.

类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

类型三：利用勾股定理作长为的线段
3、作长为、、的线段。

类型四：逆命题与勾股定理逆定理
4、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
（1）原命题：猫有四只脚．
（2）原命题：对顶角相等
（3）原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．
（4）原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．
5、（1）如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

（2）如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2 c2-b2c2= a4-b4，判断ΔABC的形状。

类型五：勾股定理的应用
6、用勾股定理求最短问题
如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

7、梯子滑动问题：
一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动 米

8、折叠问题：
如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

9、实际问题：如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

10、综合应用：四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

跟踪训练

一、选择题：（4*4=16分）
1．如图，已知图中的小方格都是边长为1的正方形，那么四边形ABCD的面积是( )
A．25 B．12.5 C．9 D．8.5
2．如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD＝17，BE＝5，那么AC的长为( )
A．12 B．7 C．5 D．13
D
C
B
A
(第1题图)
A
C
B
E
D
(第3题图)
E
A
B
C
D
(第2题图)

A
B
C
(第4题图)
P

3．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
4．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是( )
A．1 B．3 C．4 D．5
二、填空题：（6*4=24分）
5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是__________．
6．直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为　　 ．
7．三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为　　　　 ．
8．角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边为＿ ＿，三角形的面积为＿＿ ，斜边上的高为 ＿＿＿．
9．角形的三边长为连续偶数，则其周长为__________．
10．△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，那么△ABC的周长为_________．
三、解答题：
11．已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求四边形ABCD的面积。(20分)

12．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+b=4，ab=1，c=√14。试判断△ABC的形状。(20分)

13．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在点D′处，BC交AD′于点E，AB=6cm，BC=8cm，
求阴影部分的面积。(20分)
4