二次函数根与系数的关系.doc

二次函数和根与系数的关系
1、如图，已知抛物线y=-x²+3x+6交y轴于A点，点C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移n个单位长度后与直线AC交于M、N两点，且M、N关于C点成中心对称，求n的值。

解：∵点A、C在抛物线y=-x²+3x+6上
∴令x=0则y=6,令x=4则y=2
∴A(0,6) C(4,2)
∴AC:y=-x+6
令抛物线y=-x²+3x+6的顶点为G
则G(1.5,8.25)
抛物线向右平移n个单位后，G点对应点G’坐
标为(1.5+n,8.25)
设新抛物线解析式为y=-[x-(1.5+n)]²+8.25
联立：
∴x²-(4+2n)x+n²+3n=0
∴=4+2n
∵点M、N关于C点中心对称
∴==2
∴n=2
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2、如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与坐标轴交于A、B、C三点，点D、C关于原点对称，点M、N是抛物线上两点，且四边形CMDN为平行四边形，求点M、N的坐标。

解：∵点A、B、C在抛物线y=-x²+2x+3上
∴令x=0则y=3 令y=0则=-1,=3
∴C(0,3) Ａ(-1,0) B(3,0)
∵点D、C关于原点对称
∴D(０,３)
∵四边形CMDA是平行四边形
∴ CN∥且=MD
设N(m,n)
∵MN关于原点对称
∴ M(-m,-n)
∵M、N在抛物线y=-x²+2x+3上
∴
∴= =-(舍)
∴n=2
∴N(，2)
M(-，-2)
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3、如图，已知抛物线y=x²-4x+3，过点D(0，-)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，且点M、N与X轴交于E点，且M、N关于点E对称，求直线MN的解析式。
解：∵D(0,-)
∴设直线MN的解析式为y=kx-
∴
∴kx-= x²-4x+3
∴x²-(4+k)x+=0
+=-=4+k
∵+=0=k(4+k)
∴k=1或-5(舍)
∴直线MN的解析式为y=x-
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4、如图，已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)。
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;
（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。
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解：⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为
根据题意，得，解得
∴抛物线的解析式为
⑵由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，
得，即y＝4－x。
又P点(x,y)在抛物线上，∴，即
解得，，应舍去。∴。
E
F

∴，即点P坐标为。
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，
由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，
此时点P坐标为（2，3）。
∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾
股定理,得CB＝,CD＝,BD＝
∴
∴∠BCD＝90°
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF＝DF＝1,
∴∠CDF＝45°,
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），
∴DM∥BC,
∴四边形BCDM为直角梯形
由∠BCD＝90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
不存在以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形
∴综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。
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x
y
F

-2

-4
-6
A
C
E
P
D
B

5
2
1
2

4
6
G
5、已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值.
（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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解：（1）由题意得： 解得：
∴抛物线解析式为：
（2）在抛物线上，
点坐标为（2，6），、C在直线上
解得：
直线BC的解析式为
设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）

（3）设P，
故
x
y

-4
-6
C
E
P
D
B

5
1
2

4
6
F
A
G
2
-2
∵∽
∴或
即或

解得或
又在抛物线上，或
解得或
∴P点坐标为和。

The END

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