历年(1989-2012)全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析.pdf

2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.2X-I-x(1)曲线产渐近线的条数为()X 1(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】：C2 Y-I-x【解析】：l im?土=o o,所以=1为垂直的x2-l+x所以y=l为水平的，没有斜渐近线故两条选C18 X-J(2)设函数/(x)=C1)(小2)(泮)，其中为正整数，则，(0)=(A)(_1尸(-1)!(B)(-l)n(n-l)!(C)(-l)f!(D)(1)加【答案】：C【解析】：f x)=ex(e2x 2)(6加)+(1 1)(2/%2)(靖1)(/%2)-n)所以八0)=(1广)!(3)如果/(%)在(0,0)处连续，那么下列命题正确的是()(A)若极限l im华兴存在，则/(x,y)在(。,()处可微，岗+3(B)若极限l im学存在，则/(x,y)在(0,0)处可微（C）若/（x,y）在（0,0）处可微，则极限存在（D）若/（x,y）在（0,0）处可微，则极限l im坐?存在【答案】：【解析】：由于/（x,y）在（0,0）处连续，可知如果吟坐?存在，则必有/（0,0）=啸/（羽y）=0这样,1加/，2就可以写成l im,（山，?）一（。，。）,也即极限Hm（&，？）-/（0，）存在,可知:州+丁 耘&及7 打&a?+a/打 8 7Ax2+Ay20,也即/(Ax,Ay)-f(0,0)=0Ax+0Ay+JAx2+由可微的定义可知/（x,y）在（0,0）处可微。(4)设/左=f e s inxd x(左=1,2,3),则有 D J e(A)I hh(B)I2 I2 Iy(C)Z 1 Z3/1,(D)A I2 0,Z:e(0,tt),即可知4=J ex s inxd x关于左在(0,)上为单调增函数，又由于123（0,）,则故选D、1,%C3?（5）设内6o,%=1其中。12工3，的为任意常数，则下列向量组线性相关1的是（）(A)%,%乌(B)%,%，%(C)%,%，%(D)%,%【答案】：(C)0【解析】：由于0q1-11-i-1 1=。1=0,可知%,%,%线性相关。故选(C)1 1(6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-l A P=q=(%+%,%,4)则 qiaq=()(A)(1(B)(2(C)(D)【答案】:(B)【解析】:2 J0、0 b2 J，则。(2J故 2=-1故选(B)o0 PAP 10、0 b0、0 pl,bo Vi01八0、0 b12)021、11,尸=(%,%,4),1J、21Q=P 1(10100101J1T01011001011 001012人110010(7)设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则px 0,y 0【解析】：(XJ)的联合概率密度为/(x,y)=jo 其它 则 PX y=jJ/(%,y)d xd y=J d xy ex4yd x=j e5yd y=x y 。5(8)将长度为Im的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为()(A)1|(C)(D)-1【答案】：(D)【解析】：设两段长度分别为羽y,显然x+y=l,即y=-x+1,故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答翊纲指定位置上.(9)若函数/(%)满足方程r(x)+/(x)2/00=0及/(及+/(%)=21,则/(%)=o【答案】：/【解析】：特征方程为尸+2=0,特征根为=1,2=2,齐次微分方程/(、)+/(、)2/(x)=0的通解为/(x)=Cxex+C2e-2x.再由/(%)+/(%)=2 得 2Crex-C2e-2x=2ex，可知 q=1,=0。故/(%)=靖(10)xyj2x x2d x_oJo77【答案】：-2【解析】：令t=x 1 得Jjxlx-xd x=+=%(、z(11)g r ad x y+-。I,)(2,1,1)【答案】：1,1,1a a r)【解析】：g r ad x y+=1,1,1【答案】:*【解析】：由曲面积分的计算公式可知】y 2 ds=jjy 2 Ji+(1)2+(If dx dy=JJj/d xd y,其中Z DDD=（x,y）I x 0,y 0,x+y 1H-,-1 X 11 x 21 _i_ y f【解析】：令/(x)=Hn +c o s x-l，可得 1 x 2/=口1+x1-x1+X1-x-smx-x+xi 1+x 2x.=In-1-s in x-x1-x 1-x2*1+x 1+%2.=In-+-x-s in x1-x 1-x21 4-V _|_丫2 _|_丫2当0 x 1,所以二二九一s inx 2 0,1-x 1-x2 1-x2I y 丫故f（x）2 0,Mf（0）=0,即得Hn+c o s x-l0 1 x 2所以 4如1+COS X 2 土+1 O 1-X 21 4-V +丫2 +，当一l x 0,有In-1,所以上-X s in%V0,1-x 1-x2 1-x2，1+Y X故 f（x）0,即得Hn-1-c o s x-1-01 jc 2rb 1 1+X-可知，x l n-F c o s X 1H-,-1 X 11-X 2（16）（本题满分10分）2 2求/（x,=X 的极值。2 2【解析】：fy）=xe-先求函数的驻点.力(x,y)=e-x=0,(%,=0,解得函数为驻点为(e,0).又 4 二九(，0)=_1，6=/二(6，。)=。，0=/二(60)=-1,所以产AC 0,A co4n2+4h+32 +l4（n+l）2+4（n+l）+32（n+l）+lTim84n2+4m+32（n+l）+l2 n+l 4（n+l）2+4（n+l）+3S（x）=f S（t）d t=Jo4n2+4+3 2 n 7-x d x2h+111口49 42+4+3 2匕丑/r x=1时工-%2发散y 2n+l4n2+4+3-lim-2；+i=8n s _2 n+lx二1时之4/+4,+3（_）为收敛白 2 n+l）：.X G（-1）为函数的收敛域。工口 下在 4t c/（4/+4+3 2n 1和函数为s（x）=y-念 2 n+l x（18）（本题满分10分）已知曲线七：1 其中函数/具有连续导数，且/（0）=0,f（00|00（。/（）所以/）=H,两边同时取不定积分可得/）=l n卜ec%+t an%|s in%+C,又由于/（0）=0,c o t r所以。=0.故函数 f(t)=Ms ec%+t an4 s in。.(2)此曲线L与轴和y轴的所围成的无边界的区域的面积为:S=cost-fr(t)d t(19)(本题满分10分)已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周/+/=2%到点(2,0),再沿圆周一+,2=4到点(0,2)的曲线 段，计算曲线积分/=j3/y d x+(x 2+x。L【解析】：设圆/+y 2=2 x为圆弓,圆/+y 2=4为圆G，下补线利用格林公式即可，设所补直线右为x=0(0y(I)求同(II)已知线性方程组Ax=b有无穷多解，求a,并求Ax 的通解。10【解析】：(I).aa 0 01 a 0a 0 01 a 0二lxOla+QX(-1产1 a 0=l a4Ola0 0 1Ola0 0 1o o i、n o1a00r0,设工=乂y,(1)求Z的概率密度/(02)；(2)设Z为来自总体Z的简单随机样本，求b?的最大似然估计量2；(3)证明。为的无偏估计量。【解析】：(1)因为XN(,b2),yN(,2 b2),且X与y相互独立，故2=*yN(0,5b2),1 上所以，Z的概率密度为了屹,。2)=e 8z+o o)a/IOct(2)似然函数n i-V z2 n n V)=口/G。2)=l哈=(1。户(才)一建底 3日(10户(b2 Adin L(c r2)d a2n 方+1 n:0g)解得最大似然估计值为=1 n最大似然估计量为2 VZz2q i/iEZ；=故I?为。2的无偏估计量。十DZ,2011考研数学一真题答案：CCABDDDB填空题：9.l n(l+V2)10 j s in x 11 4 127r 13=1 14(从 2+CT2)i In门：力 r 1.1+九)一 3)一 壬 115解：原式I(n(+4)A)l n(l+%)_”c T X=(/-I)=g%2 _-0 X16由g(x)可导且在x=l处取极值g(l)=l所以=0d z三=力相限力)了+力必港(1)跖(力OX2 Z=加以,以%)+(坐 监0)+g(%)W(样 跖(创oxoy2 2一=/(l，l)+(U)+/(U)oxoy17解：令/(%)-左ar c t an x-x(1)当左-1 0,即友时，/(%)V 0(除去可能一点外/(%)o,即左1时，由/(%)=o得%=Jai,当(o o,JJ二I)时，/(%)0；当力(J左一 1,+8)时，/(%)0,令g(/)=k ar c t an Ja-1-J左-1=(1+/2)ar c t an/-/,显然g(0)=0,因为g(/)=2/ar c t an t 0,所以 g(/)g(0)=0(当/0),即左ar c t an J左-1-J-1 0,极小值-k ar c t an J-1+J-1 0,又因为l im/(%)=+o o,l im/(%)=oo,所以方程有三个根，分 另|位于 Xf8%f+8(-co,Jk _ 1),(-1,-1)及(d k+oo)内。18证明:(1)/(%)=l n(1+%)在0-应用中值定理,l n(1+1)=l n(1+1)-In 1=-n n n 1+4即y Ll n q+bv J i+_U+4 i+_L n n Il=1+1/2+l n(/7+l)77+14=7-IM+D+hiTZM，一二&+l 77+1 77+1 J其中4+i-4 ，4+i l n(1H)+(1H)+.+l n(1H)In 77 1 2 n+1=l n 2-l n 3/2+.+l n-In z zn+=l n(77+1)-In 77=In-0n4单调递减有界，故收敛。19.解:/=J f x y y)d x d y=11/(%/)d yDf 加(匹夕)4=二人么(/)=o-(%/)%1 p lxd xc于是，/=D20解:1 0 11)0 a a 2,a 3=0 13=lw 0/./(ct1,ct2,ct3)=31 1 5又 a i，a 2,。3不能由 1 0 0 2 1 0、T 0 1 0 4 20 于是 0 0 1-1 0 1 7Pi，02，色线性表示，0 1 1 103)=0 0 3 1 2J 1 5 1 3氏=2a +4a 之一a 3 p 2=a1+2a 2+0a 3Pi=Oct j+Oct 2+ct 3（Bi，色，色）v 3,于是忸i，02,色|=。，解得=51(1 03-01 d o i1111)poll3 12 3foi 3 14 0 2 4J 16 0 1-112013121解:令以=0,a2=0 则A%=a”1%=%，根据特征值向量的定义，力的特征值为4=-1,4=1,对应的线性无关的特征向量为=0,%I-170。/(切=2 m,R0 m而R(A)m,R(B)m/.R(A)=m,R(B)=m设A为4阶实对称矩阵，出右0,若A的秩为3,则A相似于(D)、(1 A.1、C-1-1 2=0或=1第2页共12页又R(A)=3,a必可相似对角化，且对角阵的秩也是3.、天21是三重特征根 6-17-1-10所以正确答案为(D)002x设随机变量IX的分布锢数切(1A.0 B.-米诺阚=1 1-ic.-1(8)设防X 为滩正舒砌懈度xD.1/-1 n22为概率密度，则&，则x=l=(C).所以选C为I刃应满足:曲均匀分制幅度若(A)4A3/&/+C、b-1 D、友2【详解】由概率密度的性质,有1好相XJ003 A=+a 4 2所以选A。二、填空题+012血十9)、玻用鼠,|。求l【详解】第3页共12页【详解】e txd x()一 t犷绐4=_(+/),-c-()7 1+建+比(2)1一 八 X/)-2 叫叱(壬+/1+/故.(0)、Wc o s V-=-4tt【详解】国长/c o s j-7T令石=，原式为2 i在或丘 abs&/2=(o(11)曲峨 L白研捌归7+2 0【详解】令t X t JC 0 1 L/1 0 Z?:eC1【详解】齐次方阐先-3的特征方程的强2-3由峨得4修2,对应齐次方程的通 1 2%设非齐次方程的特解制=（）”代入原方解导 4 1，从而所求解为 义12%p（16）（本题满分10分）2心）求明数姒=1 2 一，的单调区间与极值第5页共12页【详解】由1，可得，=0,1判断在区间，（1,0）,）（1,+00,0（,函数单增 在区间，（-施），（0,1）,函数单减。极物值：/=（）极大值为/（D）=e单增底间（-19）（）单减区间（-魄1）（）（17）（本题满分10分）（I）匕吸口例1+:I方仙嘲=A的大小，说明理由施（耳）设区=加帅 A,求极限区【详解】t 令次）=匾（）1 当 0%/时，）=011+/故当0竺/时）V 0（0）1 当0包/（/）1）2（从而（幽+/）A 又由1遗比口以埠+1 1|AhfM f；H=()+M L(In/),叫。f1 77+1,7 77+1|0 Jo1(+l)20 典口 4=由夹逼定%得性以20噌+（18）（本题满分10分）第6页共12页00-s1A_ T旦一/的收敛域及和函数2一【详解】=IH 曲 l imn -oo“+1约n炉+1(2-)21(2+)所以当/1良1 X 时，原幕级数绝对收敛；当%二1时,级数为77-1一，显然收敛，故原幕级数的收敛域为心4 o77=1设Xx00 1则/()=10 一心(-)77=1 1+X烟为力（0）/W以人）=（）收敛域力白,1，可口函缴或an=（19）（本题满分10分）1设产为触湎力丁尾+上的动点，若S在点产处的切平面与“0面垂直，求点尸的轨迹d xd yd SC,并计算曲面积分4【详解】（？）切乎叫向量空=22 2所以城幅城+z7=2族您）=,2，其中Z是椭球面s位于曲线c上方的部分，因与x Oy面垂直,y_ 2蜀瑞十pz yz12 3429第7页共12页2 耳=.4=+JJ 2 砂0 f3%Dxy(2 0)(本题满分11分)设、/)p 1 1 ab=1 0i=0 4八 1 J A已知线性方程组2r=存在2个不同的解,（I）求力，;（II）求方程组屏=通解。【详解】（I）由题意知，取=的增广矩阵为10AqM 10M 1 11 AA-l 0 M 11 IM(1 Af 0 A-l 0、0 1 A 1 A2a y fl门+1 T 0Ma-Aj(01 AA-l 0 0 1 7A =0J1A 11MMM a、M 1M+1 2,&=有2个不同的解/.R0=R(4 31 A2=0 n2=1 或2=1,a+1 A=0n a k 但2=1时=1=2,方程组Nr=3无解A=1=4 1(II)由(I)知，i-i m r 7f 0-2 0 M 1、0 0 0 M 0?+毛 石=等价方程组为1-29=1第8页共12页.对应齐次线性方程组为=0的基础解系含1个解向量，即a52/=3的一个特解为0=52:.Ax=b的通解为/（其中左为任意常数）。（21）（本题满分11分）已知二4*1=T 在正会换 0 下的栩1 形为/斤+，且0的第3列为（I）求矩阵力；（II）证明匆+为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵。AT 1:.A=QG=02bo 1Y172 0o 4Y-11 0o il0 后0p0=b2 02010-2 01(II)侬，子.应 为实对称矩阵又。力的特征值为1,1,0已现 的特征值为2,2,1,都大于0子.应 为正定矩阵。(22)(本题满分工工分)第10页共12页设二维随机变量，（Jr 渊概率密度为级-,求常数A及条件概率密度【详解】由概率密度的性可色 磷陟=，可知)华-d y才雇呦为“:J 00 J J 00P+00 2/又知混T=兀，有J 00f 口法3-=夫而厂11 12 2所以/=6艮烟=做2”7i n%的边缘概率密度为1(23)（本题满分11分）开4=(设总体本的概率分布为X123P1-069-202其中参数。（0,1）未知，以“表示来自总体片的简单随机样本（样本容量为）中等于/的个招汾试求常婀，#使7=2/.为6的无偏估计量，并求7的方差。7=1【详解】由粤明，分别月酬和幽-6 2 2,则有3 利）尸w e巧=）（-e-2=片第n页共12页血N嬴年)2r 晒(8)/=1 z=l2 e/C 八 1二a.n-01 1 ny 恒 _ 0 14二一【=NZN g-i _&n n国)1破3(14 4 1 )(1 0 n n n-(-0（答案仅供参考，最终以教育部标准答案为准）第12页共12页2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。(1)当x-0时，/(%)=x-s in ax与 g(x)二二一1口(1 等价无穷小，贝ij()(A)一 1a=1,b=.6一 1(B)a=l,b=.6(C)1a=1,/?=.6(D)CL 1,/?.6i.x-s in ax l im%-。x l n(l-bx)x-s in ax=l im%-x (-/?%)=lim-%0-a c o s ax-3bx2 a2 sin ax=l im%-0-6bx a2 sin axa3=l im-二：-=16b6b-,axa/=65意味选项B,C错误。I _ xy Y再由l im=-存在，应有l ac o s ax f 0(x 0),故。=1,D错误，所以选A。-3b(2)如图，正方形(x,y)|x|l,|y|0,/3=2 JJy c o s x dx dy,0l(%，)|y-,Oj foo（A）当Za收敛时，Z明5收敛。（B）当发散时，发散。n=ln=ln=ln=l（C）当z w i收敛时,收敛。n=ln=l）当z园发散时，力：发散。n=ln=l00（方法1）Z闻收敛，则1吧闻=。,n=l又1吧%=0,必存在N,使当八时同且|明|；（极限的有界性！），a|勿|,立即由正项级数的直接比较法得至U：当收敛时，z。力：收敛。应选c。n=ln=l”一00（方法2）反例：对A取*=bn=（一1）-=，对B取=勿=,，对D取=bn yin n1nkV.1 1（5）设。1,。2，。3是3维向量生间炉的一组基，则由基a1,a2,a到基3%+。2，。2+3，。3+。1的过渡矩阵为（）(A)(B)0、33,(C)12121I 2 4 4141-61-6141 一 6 1-41-6-1-6 1-4 一/120023103、7101220r6D【解析】由基由,2，一2 3a3到/+。2，。2+。3，。3+1的过渡矩阵满足(%+出,出+3，3+1)=所以此题选（A）。8 0 12 2 0,0 3 31 1、37、722、2【点评】本题考查的主要知识点：过渡矩阵。(6)设A,B均为2阶矩阵，A*,5*分别为A,B的伴随矩阵,若=2,忸1=3,则分块矩阵的伴随矩阵为(A)O 2 A*3BO(B)2BO(C)O2B3AO(D)O A a o/*、)o、3A*、7/、O 2A、3B*O*、【答案】B9 A00BA0【解析】由于分块矩阵的行列式(1产2忸=2 x 3=6,即分块矩阵可逆,根据公式。*=|。|。工6A、化qbA、i 牛 冏0)0 3A*2B0，故答案为B。70B1=60 B、J0,=60*/*、0*07【点评】本题考查的知识点有：伴随矩阵和逆矩阵的关系，分块矩阵的行列式，分块矩阵的 逆矩阵等。设随机变量X的分布函数为F(x)=0.3(x)+0.7可x-l其中(元)为标准正态分布函数，则/X=()(A)0.(C)0.7(D)l.【解析】因为十(%)=0.3+0.7|x-1Q 7所以r(x)=O.39(x)+02(x-兰 1(1)2T+0.7e 2x2222兀由于七摩三是N(0,l)的密度函数，故其期望为3J2乃(1)22x22是N(L2 2)的密度函数，其期望为1.所以舟=匚1尸(1加=0.3义0+0.7义1=0.7,【答案】(C)(B)0.3.11-2【点评】这是一个已知分布函数求期望的问题，属于概率论的基本题型。其中需要知道正态 分布的基本性质，这类问题在辅导讲义中有许多类似的题目。设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1),Y的概率分布为 尸#=0=尸#=l =g,记尸z(Z)为随机变量Z二XY的分布函数，则函数尸z(Z)的间断点 个数为()(A).0(B).1(0.2(D).3【解析】/z(z)=Mx y z)=p(x y z|y=o)p(y=o)+p(x y z|y=i)p(r=i)=1p(x r z|y=o)+p(xy z p=i)=1p(x-o z|y=o)+p(xy z|y=i)由于 X,Y 独立。Fz(z)=|P(X-0 z)+P(X z)o(1)若z 0,则/z(z)=g(1+(z)z=o为间断点，故选(B)【评注】这是一个考查离散型随机变量与连续型随机变量函数分布的典型问题，一般都要利 用全概率公式的思想来解决，这类问题在辅导讲义中有类似的题目可供参考。二、填空题：944小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。(9)设函数/(#)具有二阶连续偏导数，z=/(x,x y)则一od xd y-答案：xf；+九+xyf5=于;+=#12+/2+XyfL=#12+/2+#22ox oxoy(10)若二阶常系数线性齐次微分方程y+y+Oy=0的通解为y=(G+C2x)e则非齐次方程y,+ay,+by=x满足条件y(0)=2,y(0)=0的解为y=。二阶常系数线性齐次微分方程解与方程的关系【解析与点评】答案：y=-xex+x+2由y=(G+Qx)，得二阶常系数线性齐次微分方程y，+ay,+by=Q的特征值 4=4=1,故=2/=1,要求解的微分方程为了2 y +y=元。设特解%+B代入微分方程为y 2 y +y=%，得出2 A+Ax+B=xA=1,B=2,故微分方程为的y 2 y +y=x特解y =x+2,通解为y=(g+c2x)ex+x+2代入初始条件y(0)=2,y(0)=0,得g=O,Q=1，要求的解为y=x/+x+2。(11)已知曲线=x 2(04x v 役)，贝ijx ds。【解析与点评】由题意，x=x,0 x J2,则ds=听以 xd s=+Ax2d x=g 71+4x2t/(l+4x2)=-7(1+4x2)3 f=答案8 3 vv 7 0 6 6参见【水木艾迪考研】大学数学同步强化299114,x2j+(y)d x=+4x2d x,考研数学三十六技例19-1微积分通用辅导讲义例13.1,(12)设O=(x,y,z)/+/+【解析与点评】(方法一)由轮换对称性，例 13.3Z2 0）内可导，且l im/（、）=A则/；（0）%。+存在，且/（0）=4。【解析与点评】（I）过（。（。）与SJS）的直线方程为y（x）=/-（x-。）b-a取辅助函数尸（x）=f（x）-f（a）-T（x-a）,则 F（a）=F；b-a/（九）在同上连续，在（。涉）内可导，且r=-。b-a由罗尔定理，存在Jg（q,6）,使/0=0,即/w-f（a）=。，或/S）/（Q）=f（b-a）。b-a（II）任取X（03）,则函数/（X）满足：在闭区间o,x上连续，开区间（0,%）内可导，由拉格朗日中值定理可得：3e（0,x）（=（0,5）,使得/C）=,x 0两边取x f0+时的极限，注意到l im/（x）=A,可得%（）广（。）=1叫）/）=l im=A。x-0 A。于是。（0）存在，且（0）=A。（19）（本题满分10分）计算曲面积分/二炉力二+yd出+xdy其中是曲面Z（x2+y2+z22 x 2+2 y 2+z 2=4 的夕卜侧。【考点】R3中复连通域上的S t o k es定理、Gu as s公式。在水木艾迪2009点题班上曾强调数一考生今年要特别注意复连通域上的S t o k es定理、Gu as s公式与Gr een公式，并注意用积分 与的约束条件简化计算。【解析与点评】始幽出也*,其中2/+2/+八4（x2+y2+z2）2记x=-=-z=-可，则(x2+y2+?(x2+y2+z2(x2+y2+z2由轮换对称性,arSy8X d x产十%2_2、2(x2+y2+z2)2-+z2 2/(x2+y2+z2)iaz d z/+az?(x2+y2+z2)id Y d ZAY c）Y 分 7除原点外，散度 d（x,y,z）=妥+三+=0。ox oy oz记S ：+y?+=i,由复连域上的S t o k es公式及Gu as s公式，注意到约束条件可得:crxd yd z+yd xd z+zd xd y E(x2+j2+z2)_ rrxd yd z+yd xd z+zd xd y*(x2+y2+z2)2AdV=3号=4=xd yd z+yd xd z+zd xd y=jjj：SiQ（2 0）（本题满分n分）设4二一1 1、0-4-P1 4-2J-r i12)（I）求满足A昆=4,=痹的所有向量曷,女；（II）对（I）中的任一向量,，3,证明：0石2,专线性无关。【解析】（I）解方程入另=4,11-1-1-1、(1-1-1-1)1 022 八.1 111-1 1 1 1010 12 2220-4-2-2)(0 0 0 0 J0 0002-241为任意常数。解方程A?&-11-2/100J-2 0 0故另=0+左2 1。bJV）（II）证明：由于1 7-U 2-2%2k3,其中中2,&为任意常数。左2 k3+上3 0J000、712100000故痹石2e3线性无关。【点评】本题考查的知识点有：矩阵的运算，非齐次线性方程组求解，解的结构，线性无关 的概念，三个三维向量线性无关的充要条件是行列式不为零，行列式的计算等。（21）（本题满分 n 分）设二次型=QX；+（4 一1）后+2%九3 一 212%3（I）求二次型/的矩阵的所有特征值；（II）若二次型/的规范形为y；+y；,求a的值。a0 1【解析】（1）4=0Q 1oA1 CL-17%a 0-14 a 4 a 0 A cl 0 0-川=0 A(21=0 A ci 1=0 A ci 1-1 1X Q+11 1 4 q+1 1 2 X q+1所以二次型的矩阵A的特征值为Q-2,d +1。(II)若规范形为y；+y；,说明有两个特征值为正，一个为0,当=2时，三个特征值为0,2,3,这时，二次型的规范形为【点评】本题点：二次型的矩阵，求矩阵的特征值，二次型的规范形，惯性定理等。(22)(本题满分H分)袋中有一个红色球，两个黑色球，三个白球，现有放回的从袋中取 两次，每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球的红、黑、白球的个数。求尸x=i|z=o。求二维随机变量(X,Y)的概率分布。【解析】(1)在没有取白球的情况下取了一次红球，利用样本空间的缩减法，相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸一个红球的概率，所以尸(X=1|Z=0)=|oX,Y取值范围为0,1,2,故P(X=0,y=0)=；,P(X=l,Y=0)=1=:F(x=2,y=0)=,F(x=0,y=i)=x1x CLl,o 3o 6 3尸(x=i,y=i)=/,p(x=2,y=i)=o,p(x=o,y=2)=4=j，P(x=i,y=2)=o,p(x=2,y=2)=o6 9【点评评注】这是一个放回摸球问题的简单推广，属于古典概型的题目，只要用排列组合的 技巧就可以解决。1 2 ZA(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为/()=二，其中参数0,其他.0120%61%02%000)未知，兄1，、2，-3是来自总体X的简单随机样本。(I)求参数X的矩估计量；(II)求参数4的最大似然估计量。【解析】（1）由/X=下炉*公=,令X=文，可得总体参数2的矩估计量彳 271 .X（2）构造似然函数n n.l（x1?,%）=i=i i=i 0,其他.n jt当X1,九2，-九”0时，取对数InL=2:l n+l n?-丸七Z=1 Z=1d ln L d kc 2n+八%Z=1令2n 2 24=故其最大似然估计量为2=tn in v Xz=l 几 i=l2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。(1)设函数/(x)=Jl n(2+。力则广的零点个数()。(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.【解】选B oY(2)函数=ar c t an在点(0,1)处的梯度等于()。y(A)&0).(B)(TO)(C)(0J)(D)(0,-j)【解】答案为A。(3)在下列微方程中，Jy=Crex+C2 c o s2%+C3 s in2%(为任意常数)为通解的是()o(A)y +y _4y _4y=0.(B)y+4y+4y=0.(C)y _y _4y +4y=0.(D)yff,-yff+4yr-4y=0.【解】答案为D。(4)设函数/(x)在(-8,+s)内单调有界，卜为数列，下列命题正确的是()。(A)若%收敛，则/(%)收敛.(B)若K单调,则/(%)收敛.(C)若/(%)收敛，则收敛.(D)若/(%)单调,则由收敛.【解】应选B。(5)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若=0,贝IJ()0(A)E-A不可逆，E+A不可逆.(C)及A可逆，石+A可逆.【解】答：(C)。(B)及A不可逆,+A可逆.(D)及A可逆，+A不可逆.(6)设A为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(x,y,z)A二1在正交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特征值个数为()。(A)0.(B)1.(Q2.(D)3.【解】答：(B)2(7)随机变量X,Y独立同分布且X的分布函数为/(x),则Z=max Xl 的分布函数为()。(A)F 2(x)(B)F(x)尸。)(C)1-1-F(x)2(D)1/尸(y)【解】答案为Ao(8)随机变量XN,(0,l),yN(l,4)且相关系数夕x y=1，则()。(A)pr=-2 x-i=i(B)py=2 x-i=i(c)p y=-2x+i=i(d)p y=2 x+i=i【解】答案为Do二、填空题：944小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。(9)微分方程x y +y=0满足条件y(l)=1的解是y=。【解】分离变量求解，做1)=1的解是丁=,。(10)曲线s in(x y)+l n(y-x)二x在点(0,1)处的切线方程为。【解】切线：y-x+K00(11)已知幕级数Z(x+2)在=0处收敛，在x=-4处发散，则幕级数 n-0003)的收敛域为 oH-000【解】3)的收敛域为(1,5。n-0(12)设曲面Z是Z=J4 4 V的上侧,则xyd yd z+xd zd x+x2 d xd y=。z【解】/=L+y 2 Mx办=4万。(13)设A为2阶矩阵，。口出为线性无关的2维列向量，A%=0,A”？=2%+2,则A 的非零特征值为，o(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX=/X2 03【解】应填-O2三、解答题：15-23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。(15)(本题满分 9 分)求极限l im k m-s m(：nx)s m“。%一 x.s inx-s in(s inx)l s inx s in3 x 1解l im1-X-二-l im二-%-。x4 6 一。%3 6【点评】考点：极限运算、泰勒公式或罗必达法则。(16)(本题满分9分)计算曲线积分s in2 x 4i+2(x 2 l)y dy,其中L是曲线y=s inx上从点(0,0)到点(乃，0)的一段。【解】-12(方法1)直接法；(方法2)Gr een公式法2，2 2 _ 272 _ q(17)(本题满分11分)已知曲线C：7，求曲线C点距离XOY面最+y+3z=5远点和最近的点。【解】所求点依次为(5,5,5),(1,1,1)o(18)(本题满分10分)设函数“X)连续，(1)厂()=，/)流，用定义证明b(x)可导,且尸Q)=/(x).(2)设/。)是周期为2的连续函数，证明g(x)=1 2f(t)d t-x f(t)d t也是周期为2的周期函数。【证】略。(19)(本题满分11分)将函数/(x)=1-%2(0 v x V万)展开成余弦级数，并求匚 W几的和。A 7 z t f l-X2-7T X 0【解】对/(x)=l /偶开拓，取尸(%)=。O1-X2 0X7Tan2您 2 2I(1 x)c o s n xd x (0-万力 71x2 cos n xd x)4)712 rx s innx 2xs inn x,=一 -I ax7t n 小 几=0+2 2(1)4(1)7i n2 3n21 2 ao:1 7i(4(1)“1 x=-F/c o s n x=1-F/-c o s rix?A n%A 2/n=l n=l 令X=。,.亨二/得喏于.(20)(本题满分10分)设名尸为3维列向量，矩阵A=aa+班L为。的转置,万,为万的转置。(1)证r(A)V2；(2)若%2线性相关,则r(A)2.【证】略。【解析与点评】本题主要考查矩阵的秩的概念和性质，矩阵和的秩以及矩阵乘积的秩的不 等式.就是证法1.本题矩阵不满秩，要证明秩小于等于2,只要证明行列式等于零即可，或者证明以该矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解，这就产生证法2,3,4等.(21)(本题满分12分)设元线性方程组Ax=8,其中，2a 1、a2 2ao T TA=,x=(xnK,x),/?=(1,0,j v,0),O O 1 1 n(1)证明行列式=(+l)/；(2)。为何值，方程组有唯一解，求马；(3)。为何值，方程组有无穷多解，求通解。【解】(1)证法1：用数学归纳法证明证法2：用消元法证明证法3：用递推法证明(2)当OW0时，|A|w。，该方程组有唯一解；修=-o 1 1(n+1)61(3)由(2),当。=。时，该方程组有无穷多解.特解为：=(0,l,0,L,01，导出组的基础解系为：4=(1,0,0。，015该方程组的通解为：X=7+k 其中左为任意常数。【解析与点评】这是三对角行列式，典型的计算方法是用递推法即方法3,由于这是证明 题，结论已经给出，就可以用数学归纳法证明，又由于本题的特殊性，用一般的消元法就 可以计算和证明。(22)(本题满分11分)设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为PX=i=g(i=1,0,1),概率密度为人(y)；0y l其它记 Z=X+Y(1)求尸z:|x=o；(2)求Z的概率密度。【解】(1)故尸=o,=尸丫1(2)Z的概率密度为/z(Z)=(Z)=，0,-1 V z(x)+Vx+(Vx),1-Vx因止匕In l+jC o i C(2)曲线y=l+l n(l+1),渐近线的条数为 x(A)0(B)1(C)2(D)3【解】答案Do垂直渐近线x=0,水平渐近线y=0(x f-o o),斜渐近线y=x(x f+o o)。(3)如图，连续函数y=/(x)在区间-3,-2,2,3上的图像分别是直径为1的上、下半圆周，在区间-2,0,0,2 上的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设/(%)=1/(。力，则 下列结论正确的是3 5(A)b(3)=F(-2)(B)F(3)=-F(2)4 43 5(C)F(-3)=-F(2)(D)F(-3)=F(-2)4 4【解】答案C。利用积分的几何意义，并注意代数面积的概念(水木艾迪辅导的星级考点)。(4)设函数/(外在1=。处连续，下列命题错误的是(A)若l im=0,贝iJ/(0)=0(B)若l imx