大学数学概率篇之随机变量的数字特征——大数定理与中心极限定理描述.pptx

4.4大数定理与中心极限定理一、切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式二、大数定理二、大数定理三、中心极限定理三、中心极限定理四、小结四、小结 概率论与数理统计是研究随机现象统计概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科规律性的学科.随机现象的规律性只有在相随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象的法则，应该研究大量随机现象.研究大量的随机现象，常常采用极限研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究形式，由此导致对极限定理进行研究.极极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种种:与与大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理下面我们先介绍大数定律下面我们先介绍大数定律 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率 定理定理1设随机变量设随机变量的期望值的期望值方差方差则对于任意给定的正数则对于任意给定的正数有有切比雪夫不等式切比雪夫不等式证证这里只证明这里只证明为连续型随机变量的情形为连续型随机变量的情形.设设的概率密度为的概率密度为则有则有(如图）如图）一、切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式完完注注:(1)切比雪夫不等式也可以写成切比雪夫不等式也可以写成(2)切比雪夫不等式表明：切比雪夫不等式表明：随机变量随机变量的方差越小，的方差越小，则事件则事件发生的概率越大，发生的概率越大，即，即，随机变量随机变量集中在期望附近集中在期望附近的可能性越大的可能性越大.由此可见方差刻画了随机变量取值的由此可见方差刻画了随机变量取值的离散程度离散程度.(3)在方差已知的情况下，在方差已知的情况下，它的期望的偏差不小于它的期望的偏差不小于的概率的估计式的概率的估计式.如如取取则有则有切比雪夫不等式给出了切比雪夫不等式给出了与与故对任给的分布，故对任给的分布，只要期望和方差存在，只要期望和方差存在，则随机变则随机变量量取值偏离取值偏离超过超过3倍均方差的概率小于倍均方差的概率小于例例1 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞每一毫升白细胞数平均是数平均是 7300,均方差是均方差是 700.利用切比雪夫不利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在等式估计每毫升白细胞数在 5200 9400 之间的之间的概率概率.解解 设每毫升白细胞数为设每毫升白细胞数为依题意依题意,所求概率为所求概率为由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式即每毫升白细胞数在即每毫升白细胞数在 5200 9400 之间的概率不之间的概率不小于小于 8/9.完完例例2 在每次试验中在每次试验中,事件事件发生的概率为发生的概率为 0.75,利用切比雪夫不等式求利用切比雪夫不等式求:独立试验次数独立试验次数最小取最小取何值时何值时,事件事件 出现的频率在出现的频率在 0.74 0.76 之间的之间的概率至少为概率至少为 0.90?解解 设设为为 次试验中次试验中,事件事件出现的次数出现的次数,则则所求为满足所求为满足的最小的最小的的可改写为可改写为在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取则则依题意依题意,取取使使解得解得即即取取 18750 时时,可以使得在可以使得在次独立重复试验次独立重复试验中中,事件事件出现的频率在出现的频率在之间的概率之间的概率至少为至少为 0.90.二、大数定理二、大数定理随机变量随机变量相互独立相互独立，是指对任意是指对任意都相互独立都相互独立.定理定理2 设随机变量设随机变量相互独立，相互独立，且具有相同的期望和方差且具有相同的期望和方差记记则对任意的则对任意的有有(*)证明证明 由由根据切比雪夫根据切比雪夫等式即得等式即得令令再注意到概率不可能大于再注意到概率不可能大于1，即证得结果即证得结果.注注：定理表明：定理表明：对任意对任意事件事件发生的概率很大，发生的概率很大，从概率意义上指出了，从概率意义上指出了，时，时，逼近逼近的确切含义的确切含义.在概率论中，在概率论中，当当很大很大收敛于收敛于记为记为把把(*)式表示的收敛性称为随机变量序列式表示的收敛性称为随机变量序列依概率依概率定理还表明：定理还表明：随机变量序列随机变量序列的算术平均序列的算术平均序列依概率收敛于其数学期望依概率收敛于其数学期望完完推论推论 设设是是重伯努试验中事件重伯努试验中事件发生的次数，发生的次数，是事件是事件在每次试验中发生的概率，在每次试验中发生的概率，则对任意的则对任意的有有(*)证明证明因为因为所以所以其中其中相互独立，相互独立，且都服从以且都服从以为参数为参数分布，分布，的的因而因而注意到注意到由定理由定理2即证得即证得(*)式式.注注：这个推论就是最早的一个大数定理，这个推论就是最早的一个大数定理，称为称为伯努伯努利大数定理利大数定理.它表明：它表明：当重复试验次数当重复试验次数 充分大时，充分大时，事件事件发生的频率发生的频率收敛于事收敛于事件件发生的概率发生的概率定理以严格的数学形式表定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性达了频率的稳定性.实际应用中，实际应用中，当试验次数很大时，当试验次数很大时，在在便可以用事件发生便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率的频率来近似代替事件的概率.如果事件如果事件的概率很小，的概率很小，则由伯努利大数定理知事则由伯努利大数定理知事生，生，即即“概率很小的事件在个别试验中几乎不会发生概率很小的事件在个别试验中几乎不会发生”，这一原理称为这一原理称为小概率原理小概率原理.它的实际应用很广泛，它的实际应用很广泛，应注意到，应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的，小概率事件与不可能事件是有区别的，发生的频率也是很小的，发生的频率也是很小的，件件或者说事件或者说事件很少发很少发但但多次试验中，多次试验中，小概率事件也可能发生小概率事件也可能发生.在在完完中心极限定理的引入中心极限定理的引入在实际问题中，在实际问题中，许多随机现象是由大量相互独立的许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成，随机因素综合影响所形成，其中每一个因素在总的其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的，影响中所起的作用是微小的，这类随机变量一般都这类随机变量一般都服从或近似服从正态分布服从或近似服从正态分布.以一门大炮的射程为例，以一门大炮的射程为例，影响大炮的射程的随机因素包括：影响大炮的射程的随机因素包括：制造导致的误差，制造导致的误差，炮弹及炮弹内炸药在质量上的误炮弹及炮弹内炸药在质量上的误瞄准时的误差，瞄准时的误差，受风速、受风速、误差等误差等.其中每一种误差造成的影响在总的影响中其中每一种误差造成的影响在总的影响中大炮炮身结构的大炮炮身结构的差差,风向的干扰而造成的风向的干扰而造成的所起的作用是微小的，所起的作用是微小的，并且可以看成是相互独立的，并且可以看成是相互独立的，人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的总影响总影响.因此需要讨论大量独立随机变量的和问题因此需要讨论大量独立随机变量的和问题.中心极限定理是棣莫佛在十八世纪首先提出的，中心极限定理是棣莫佛在十八世纪首先提出的，今其内容已经非常丰富今其内容已经非常丰富.这些定理在很一般的条件这些定理在很一般的条件下证明了，下证明了，无论一个随机变量服从什么分布无论一个随机变量服从什么分布，这种随机变量的和的分布都可以用正态分布近似这种随机变量的和的分布都可以用正态分布近似，而正态分布有许多完美的结果而正态分布有许多完美的结果.完完至至大量大量定理定理3(林德伯格林德伯格勒维勒维)设随机变量设随机变量相互独立，相互独立，服从同一分布，服从同一分布，且且则则注注：定理表明定理表明:当当充分大时，充分大时，个具有期望和方个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布.虽然在一般情况下，虽然在一般情况下，我们很难求出我们很难求出的分布的确切形式，的分布的确切形式，但当但当很大时，很大时，分布分布.由定理结论，由定理结论，近似近似近似近似可求出其近似可求出其近似有有近似近似近似近似故定理又可表述为：故定理又可表述为：均值为均值为方差为方差为的独立的独立同分布的随机变量同分布的随机变量的算术平均值的算术平均值当当 充分大时近似地服从均为充分大时近似地服从均为分布分布.这一结果是数理统计中大样本值统计推断的理这一结果是数理统计中大样本值统计推断的理论基础论基础.方差为方差为的正态的正态定理定理4(棣莫佛棣莫佛拉普拉斯定理拉普拉斯定理)设随机变量设随机变量服从参数为服从参数为的二项分布，的二项分布，则对任意则对任意有有证明证明因为因为所以所以根据定理根据定理3即得即得注注：棣莫佛棣莫佛拉普拉斯定理是林德伯格拉普拉斯定理是林德伯格勒维定理勒维定理的一个重要特例，的一个重要特例，它是历史上最早的中心极限定理它是历史上最早的中心极限定理.完完例例3 一盒同型号螺丝钉共有一盒同型号螺丝钉共有 100 个个,已知该型号已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是期望值是100g,标准差是标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg的概率的概率.解解设设为第为第 个螺丝钉的重量个螺丝钉的重量,且它们之间独立同分布且它们之间独立同分布,于是一盒螺丝钉的重量于是一盒螺丝钉的重量为为且由且由知知例例3解解 由中心极限定理有由中心极限定理有完完例例4 某车间有某车间有 200 台车床台车床,在生产期间由于需要在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工作等常需停检修、调换刀具、变换位置及调换工作等常需停车车.设开工率为设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立并设每台车床的工作是独立的的,且在开工时需电力且在开工时需电力 1 千瓦千瓦,问应供应多少瓦问应供应多少瓦电力就能以电力就能以 99.9%的概率保证该车间不会因供电的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产不足而影响生产?解解 对每台车床的观察作为一次试验对每台车床的观察作为一次试验,每次试验观每次试验观察台车床在某时刻是否工作察台车床在某时刻是否工作,工作的概率为工作的概率为 0.6,共进行共进行 200 次试验次试验.用用表示在某时刻工作着的表示在某时刻工作着的车床数车床数,依题意依题意,有有现在的问题是现在的问题是:求满足求满足的最小的最小的的由定理由定理 3,近似服从近似服从这里这里于是于是由由查正态分布函数表得查正态分布函数表得由由查正态分布函数表得查正态分布函数表得故故从中解得从中解得即所求即所求也就是说也就是说,应供应应供应 142 千瓦电力就能以千瓦电力就能以 99.9%的的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.完完例例5 某市保险公司开办一年人身保险业务某市保险公司开办一年人身保险业务,被保被保险人每年需交付保险费险人每年需交付保险费 160 元元,若一年内发生重若一年内发生重大人身事故大人身事故,其本人或家属可获其本人或家属可获 2 万元赔金万元赔金.已已知知该该市市人人员员一一年年内内发发生生重重大大人人身身事事故故的的概概率率为为现有现有 5000 人参加此项保险人参加此项保险,问保险公司问保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在一年内从此项业务所得到的总收益在 20 万到万到 40万元之间的概率是多少万元之间的概率是多少?解解 记记若第若第 个被保险人发生重大事故个被保险人发生重大事故若第若第 个被保险人未发生重大事故个被保险人未发生重大事故于是于是均服从参数为均服从参数为的两点分布的两点分布,且且于是于是均服从参数为均服从参数为的两点分布的两点分布,且且是是 5000 个被保险人中一年内发生重大个被保险人中一年内发生重大人身事故的人数人身事故的人数,保险公司一年内从此项业务所保险公司一年内从此项业务所得到的总收益为得到的总收益为万元万元.于是于是于是于是完完例例6对于一个学校而言对于一个学校而言,来参加家长会的家长人来参加家长会的家长人数是一个随机变量数是一个随机变量,设一个学生无家长设一个学生无家长,1名家长名家长,2 名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为若学校共有若学校共有 400 名学生名学生,设各学生参加会议的家设各学生参加会议的家长数相互独立长数相互独立,且服从同一分布且服从同一分布,求参加会议的家求参加会议的家长数长数超过超过 450 的概率的概率.解解 以以记第记第个学生来参加会个学生来参加会议的家长数议的家长数,则则的分布律为的分布律为易知易知而而由定理由定理 3,随机变量随机变量近似近似故故由定理由定理 3,随机变量随机变量近似近似故故完完高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验如图是高尔顿钉板如图是高尔顿钉板,常常在赌博游戏中见到常常在赌博游戏中见到,庄庄家常常在两边放置值钱的东西来吸引顾客家常常在两边放置值钱的东西来吸引顾客,现在现在可用中心极限定理来揭穿这个赌博中的奥秘可用中心极限定理来揭穿这个赌博中的奥秘.设设为钉子的排数为钉子的排数,记随机变量记随机变量第第次碰钉后小球从次碰钉后小球从左边左边落下落下第第 次碰钉后小球从次碰钉后小球从右边右边落下落下易见易见,服从两点分布服从两点分布:,高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验 ,设设表示第表示第次碰钉后小球的位置次碰钉后小球的位置,显然显然,由中心极限定理知由中心极限定理知近似服从正态分近似服从正态分布布如图如图,钉板有钉板有层层,则标准差则标准差由正态分布的特征由正态分布的特征,小球落入中间的概率远远大于小球落入中间的概率远远大于落入两边的概率落入两边的概率.完完这一讲我们介绍了大数定律这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：机现象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现它是随机现象统计规律的具体表现.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性平均结果的稳定性