相量法(板书)4.doc

§9-6 正弦电流电路的串联谐振

R
L
C

一、 定义

R、L、C串联，阻抗

当时：X = 0
Z = R，为纯电阻性
、同相──称该电路发生了串联谐振。这时的电路就叫做串联谐振电路。

二、谐振条件
∵
发生串联谐振时X = 0，电路呈电阻性，其条件

对以上电路，亦即
要达到串联谐振，有两种办法：
三、谐振频率
假设电路的R、L、C为定值，电源角频率w可变，则使电路发生串联谐振的频率，称为谐振频率。用表示。
由谐振条件 得

表明：仅由电路参数L、C确定。因此，也称作电路的固有频率。
上式还表明：当电源频率等于电路固有频率时，电路发生串联谐振。
思考：－RLC串联电路并未与电源相接，该电路是否存在谐振频率？

四、谐振时电路的特性

1. 输入阻抗、电流与电压

输入阻抗 ：
达最小值。
电流：
设端电压

则
与同相，I达最大值。
电压：

∵ 谐振时 ， ∴ 及。
L与C上电压大小相等，相位相反。L、C之间的端电压为零，电感电压与电容电压相互抵消。

对电路其余部分来说，L、C串联部分相当于短路，于是，串联谐振也叫电压谐振。

电路端电压（电源电压）等于电阻上的电压

o

电流、电压相量图：

2. L与C中的能量

设
在时刻t，L中的储能为

磁场能量最大值为
∵
∴
电场能量最大值为
表明：
① ──谐振时，磁场能量最大值等于电场能量最大值。
②
即：在稳定的谐振状态，在任一时刻t，L与C中储能之和为恒定值，且等于L或C中的储能最大值。
R、L、C电路与电源之间没有能量交换，Q = 0，只单纯从电源吸收有功功率。。但R、L、C电路内部L、C之间有能量互换，这个现象称为电磁振荡。

五、串联谐振电路的两个特征参数
串联谐振电路的性状，用两个特征参数可以表征：
1. 特征阻抗
──串联谐振时的感抗，或容抗。

将代入上式，并化简

表明：特征阻抗r仅由电路参数L与C确定，而与电路的工作频率w无关。
r的单位：欧姆（W）

2. 品质因素
多种定义，但结果是相同的。
① 用电压定义
──在谐振时，电感（电容）电压是电路端电压的Q倍。
通常，Q > 1，在高频电路中，Q可以高达几百，──串联谐振电路能放大电压。（收音机）
但，如果在Q > 1的电力系统中发生串联谐振，将在电感器与电容器上出现危险的过电压，在严重的情况下，令导致电气设备的损坏，这一现象必须避免。

② 用阻抗定义
──Q由电路的等值参考R、L、C确定。Q无量纲。
思考：RLC电路工作在非谐振状态，该电路有无r与Q？

③ 用功率与能量定义

④ 用能量定义

例1 R、L、C串联电路，，，，。
求：、r、Q及、、。
解：rad/s

六、频率响应/特性与谐振曲线

频率响应
──电路的复阻抗、复导纳、电流相量、电压相量的模及辐角随电源角频率w的变化特性。
其中：幅频响应——模随w的变化特性
相频响应——辐角随w的变化特性

谐振曲线
——表明电流、电压与频率的关系的曲线。

1. 阻抗频率特性

o

o
R
XL
XC

X

|Z|─w曲线（幅频响应） q─w曲线（相频响应）
，，q = 0，|Z| = R最小。
，，趋于感性
，，趋于容性，

2. 电流的频率响应

设电源电压 ，US不变。
频率响应与Z相反。
其中

当，直流，C开路，I = 0。
，，。
w：
，最大
，
可见，附近，电流I最大，较远离，则I很小，电路对电流的抑制作用较强。这种性质称为谐振电路的选频特性 （选择性）。
对于不同的电路，为了便于比较，取I/I0──相对电流，以相对电流为纵坐标。

其中相对频率。
可见，相对电流是相对频率的函数，以I/I0为纵坐标，以h为横坐标作出频率响应/特性曲线。

1
o
1
0.707

Q1
Q2
Q3

Q值越大，频率响应曲线越尖，选择性越好。
Q值越小，曲线越平滑，选择性差。

通频带：当谐振电流曲线I/I0由1下降到0.707处对应两频率点之间的频率范围。

解得 ，

通频带（宽）（bandwidth）:
可见，Q越大，BW窄，选择性好。
Q越小，BW宽，选择性差。

在实际应用中，Q值主要取决于电感线圈。
实际电感线圈有电感和电阻，L、R不可分离。
线圈的品质因素（线圈品质因素）
3. UL、UC的频率特性
同理可得其频率特性如图9－20所示（p215）

1
o

UCmax、ULmax分别出现在的左、右
且，
但Q很大时，。

当时，
对UC：

对UL： Q越大，

当时，UC、UL没有峰值。

4. 串联谐振电路所用信号源应要求是低内阻。

§9-7 正弦电流电路的并联谐振

并联谐振电路，有理想的并联谐振电路，与由实际电感器与电容器组成的并联谐振电路。
一、 理想并联谐振电路的分析

G

当与同相时，称并联电路发生并联谐振。

谐振条件：

即：
亦即 。（与串联电路相同）。
其余性质、特点都与RLC串联谐振成对偶关系，不再详述。
归纳为：
1. 电路的输入导纳Y = G达最小值。（亦即输入阻抗Z=1/G为最大值。）。特别，当G支路断路时，Z为无穷大，信号不能通过
2. ，，（电感电流与电容电流互相抵消，对电路其余部分来说，L、C并联部分相当于开路，所以，并联谐振也叫做电流谐振。电导电流等于端电流，电流电压相量图：

o

3. L、C中能量交换现象，与串联谐振相似。

4. 品质因数

在一般的并联谐振电路中，，即
理想的并联谐振电路能放大电流。

二、由实际电感器与电容器并联的谐振电路
在实际工程应用中，常采用电感线圈与电容并联的谐振电路，而一个实际电感线圈中R和L是不可分的，一般以R和L的串联组合来表示。
当这样的电路发生谐振时，应为并联谐振。此时要求、同相，即谐振条件为。

C
L
R

而

其中，令，，

谐振条件为
解得：

因为实际中不可能为虚数，必有成立。 即 当时，才有可能发生谐振。
当时，谐振不可能发生。
当时，谐振特点与理想并联谐振电路的特点接近。

谐振时：
1. 电纳为零
此时电路为电阻性。
若以电阻R0表达，则
──谐振电阻（谐振阻抗）
2. 端电压
各支路电流：

相量图：

可见：① 、的无功分量之和为零。
② 此时、远大于（所以并联谐振又称为电流谐振）。
且当很接近于90°时，
很大时，其谐振的特点与理想的GLC并联谐振十分接近。

L1
L2
C
R
u
例

，。若要UR中电压分量尽量小，电压分尽量大。
求：C、L？
解：若L1与C发生（对rad/s）并联谐振，则UR中rad/s的电压将为零；当rad/s时，上述结果中L、C并联阻抗呈容性，若与L2发生串联谐振，则UR中rad/s的电压将为最大。
即并联谐振：

串联谐振：
∵
∴

∴ 当，时，
UR中rad/s的电压分量为最小。
rad/s的电压分量为最大。

a
b

例

已知：L1 = 100mH，欲使，试确定电容C1值；如果再要使，在上述已确定的C1值下，确定电容C2值。
解：欲使，必须是L1、C1并联部分电路在时发生并联谐振，有

要使，则要整个电路在时发生串联谐振，在该频率时的输入阻抗为

即
解得

§9-8 最大功率传输
a
b
Z

Z0=R0+jX0

对于任何线性正弦交流有源二端电路，都可以等效成一个戴维南等效电路；电压源串联一个阻抗Z0，Z0称为内阻抗，其负载阻抗为

流过负载的电流为

其中
负载有功功率
式中R0、X0、US为定值，RL与XL可以自由改变。先设RL不变，XL可变，这时使PL达最大值的条件为：
，即
将该条件代回PL式得：
再设RL可变，则当时，PL达最大值。即
当时，PL为最大，且。
在正弦稳态电路中，当满足的条件时，称该电路实现了完全最大功率传输，或叫做电路实现了共轭匹配。

例 已知：如图

2
2+j4

20V
a
b
Z
当时可获最大功率，且

2
2+j4

20V
a
b

解：

，
，
。

2
2+j4

a
b

用外加电源法求Z0。

解得，
∴
故 当时，可获最大功率，且