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课前巩固提高
1．为曲线上的任意一点，在点处的切线的斜率为，则的取值范围是( )
A． B C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，由于为曲线上的任意一点，在点处的切线的斜率为，那么可知，，故选C.
考点：导数的几何意义
点评：主要是考查了导数的几何意义的运用，求解切线的斜率的范围，属于基础题。
2．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．解析：依题意得y′=ex，因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2），当x=0时，y=-e2，即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为： ，故答案为D.
考点：线的方程、三角形的面积、导数的几何意义
点评：本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
3．设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为，函数，若对任意的，都有成立，所以函数G(x)= 在恒成立。
在恒成立，而令，所以，，
故的取值范围为。
考点：应用导数研究函数的单调性、最值。
点评：中档题，利用转化与化归思想，将问题转化成求函数的最值，利用导数求解。
4．设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为，令，则的值为 ．
【答案】－2
【解析】
试题分析：由y=xn+1（n∈N*）得到导函数y′=（n+1）xn，
令x=1得曲线在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，
在点（1，1）处的切线方程为y-1=k（xn-1）=（n+1）（xn-1），
不妨设y=0，xn= ，
所以，=lg(x1•x2•…•x99)= .
故答案为－2.
考点：导数的几何意义，直线方程，对数函数的性质。
点评：中档题，本题综合性较强，总体难度不大，因为解题的思路比较明确。本题可推广到一般的n。
5．已知不等式对恒成立，则 。
【答案】3
【解析】
试题分析：变形为，当时，当时，设
，当时，当时，同理当时
考点：函数最值
点评：在不等式恒成立求参数范围的题目中常采用分离参数法转化为求函数最值问题
6．函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意，由于 ，那么可知当f’(x)>0可知，即得到-1-lnx>0，lnx+1<0,那么可知x的取值范围是，故答案为为
考点：导数研究函数的单调性
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
7．已知函数
（1）当时，求的极小值；
（2）若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围；
（3）设，求的最大值的解析式．
【答案】（1）-2（2）（3）
【解析】
试题分析：（1） 1分
当时，时，，
2分
的极小值是 3分
（2）法1：，直线即，
依题意，切线斜率，即无解 4分
6分
法2：， 4分
要使直线对任意的都不是曲线的切线，当且仅当时成立， 6分
（3）因
故只要求在上的最大值. 7分
①当时，
9分
②当时，
（ⅰ）当
在上单调递增，此时 10分
（ⅱ）当时， 在单调递增；
1°当时，
；
2°当
（ⅰ）当
（ⅱ）当 13分
综上 14分
考点：导数的几何意义及函数极值最值
点评：利用函数在某一点处的导数值等于过改点的切线斜率可确定第二问中导数值不可能为，求函数极值最值首先求得导数，当导数等于0时得到极值点，确定单调区间从而确定是极大值还是极小值，第三问求最值要分情况讨论在区间上的单调性，对于分情况讨论题是一个难点内容
8．已知在区间[0,1]上是增函数，在区间上是减函数，又.
(1) 求的解析式；
(2) 若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围。
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题分析：解：（Ⅰ），由已知，
即解得
，，，．
（Ⅱ）令，即，，
或．又在区间上恒成立，．
考点：导数的运用
点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，利用导数来得到函数的最值，进而得到参数的范围。
9．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）对任意，在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）解：当时， ， 2分
，又 4分
所以曲线在点处的切线方程为
即 6分
（Ⅱ）= 8分
记，则，
在区间是增函数，在区间是减函数，
故最小值为 -10分
因为对任意，在区间上是增函数．
所以在上是增函数， 12分
当即时，显然成立
当
综上 15分
考点：导数的几何意义与函数单调性
点评：第一问利用导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，可求得切线斜率，进而得到切线方程；第二问也可用参变量分离法分离，通过求函数最值求的取值范围
10．已知在时有极大值6，在时有极小值，求a，b，c的值；并求区间上的最大值和最小值.
【答案】 函数最大值为6，最小值为
【解析】
试题分析：(1）两根为-2,1
(2) 的最大值为6，最小值为
考点：函数极值最值
点评：函数在极值点处导数为零，函数最值出现在极值点或区间端点处，因此求出极值和边界值比较大小即可
11．设曲线在点处的切线斜率为，且，对一切实数,不等式恒成立．
（1） 求的值；
（2） 求函数的表达式；
（3） 求证:．
【答案】（1）k（1）=1（2）k（x）=x2+x+=（x+1）2；
（3）第二问的基础上，利用均值不等式放缩来得到证明。
【解析】
试题分析：解：（1）根据题意，对一切实数x，不等式恒成立，则当x=1时，有1≤k（1）≤ =1，即1≤k（1）≤1，则k（1）=1
（2）对曲线方程求导可得k（x）=ax2+bx+c， k（-1）=0，则a-b+c=0------①由（1）得，k（1）=1，则a+b+c=1------②由①②得a+c= ，b=；则k（x）=ax2+x+c，又由x≤k(x)≤ (x2+1)恒成立可得， ax2-x+c≥0且（2a-1）x2+1x+（2c-1）≤0恒成立，由ax2+x+c≥0恒成立可得a＞0，≤4ac，由（2a-1）x2+1x+（2c-1）≤0恒成立可得（2a-1）＜0，1≤4（2a-1）（2c-1）得0＜a＜，且≤ac≤
ac=，且a+c=，则a=c=，则k（x）=x2+x+=（x+1）2；
证明：（3）由（2）可得k（x）=（x+1）2，则＞=2（），即）；则即不等式可证．
考点：函数的恒成立、曲线的切线方程
点评：本题综合考查函数的恒成立问题、曲线的切线方程以及放缩法证明不等式，难度较大；解（Ⅱ）题时要注意二次函数大于等于0恒成立的条件．
12．已知函数．
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 直线的方程为，切点坐标为
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 1分
在点处的切线的斜率， 2分
切线的方程为. 4分
(Ⅱ)设切点为，则直线的斜率为，
直线的方程为：． 6分
又直线过点，
，
整理，得， ，
，
的斜率， 10分
直线的方程为，切点坐标为． 12分
考点：导数的几何意义及直线方程
点评：几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，在求切线方程时要从切点入手，找到切点满足的条件即可求得其坐标
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