第三章动量和角动量教案2008.doc

第三章 动量和角动量
教学要求：
* 掌握动量、冲量、质点动量定理，解决质点平面运动问题。
* 理解质点系动量定理、动量守恒定律及适用条件。
掌握用动量守恒定律分析问题的方法，分析简单系统平面运动。
* 理解质点的角动量、力矩、冲量矩概念，质点系角动量定理。
* 理解角动量守恒定律及适用条件,用于分析计算有关问题。
教学内容（学时：4学时）：
§3–1 质点的动量定理
§3-2 质点系的动量定理
§3-3 动量守恒定律
§3-4 角动量 质点的角动量定理
§3-5 角动量守恒定律
§3-6 质点系的角动量定理
教学重点：
* 建立动量、角动量的概念；
* 掌握力的冲量与动量的变化量的关系；
* 理解力矩的冲量矩与角动量的变化量的关系；
* 掌握动量守恒定律以及适用条件；
* 理解角动量守恒定律及其适用条件。
教学难点：
动量、动量定理、动量守恒定律的矢量性;建立角动量的概念;
角动量、角动量定理、角动量守恒定律的矢量性。
作业：
3-01), 3-03), 3-07), 3-09), 3-12)，
3-15), 3-16), 3-17), 3-18), 3_19）。
-----------------------------------
§3–1 质点的动量定理
1. 质点的动量
P = mv
牛顿第二定律：
(3-1)
(3-2)
2． 力的冲量（力对时间的累积 ）
（1）恒力的冲量：
（2）变力在dt时间内的微冲量：
变力在t1~t2的一个过程中的冲量：
(3-3)
(3-4)
式中: P2为质点在t2时刻的动量，
P1为质点在t1时刻的动量。
____动量定理(积分形式)
说明:合外力在一段时间内冲量等于质点在同一段时间内动量的增量。
(在一维情况下，冲量是F~t曲线图中冲力曲线与横轴间的面积)

将(3-3)、(3-4)式投影到坐标轴上就是质点动量定理的分量形式。
例如对x、y、z轴就有:

力在哪一个坐标轴方向形成冲量，动量在该方向分量就发生变化，动量分量的增量等于同方向上冲量的分量。
动量定理常用于碰撞、冲击一类问题，物体所受力叫做冲力。
冲力的量值往往很大，作用时间则往往很短(图3-2实线)
（3）合力的冲量：

（4）一对力的冲量：
3．质点动量定理的微分形式(即牛顿第二定律)
合外力：

（即：质点所受的合外力等于质点动量对时间的变化率）
或：
4．质点的动量定理的积分形式
合外力的冲量：

（即：在一过程中，质点受到合外力冲量等于质点动量的增量）
几何上即I 、P1、P2构成闭合三角形：

5．质点动量定理的分量形式:

6．平均冲力：

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例3.1 质量m = 1.0kg小球以初速率v0 = 20.0m/s沿水平方向抛出，
求：一秒钟之后小球速度的大小和方向(不计空气阻力)。

解： 此题可用动量定理求解。
小球抛出时的初动量，沿水平方向，
一秒钟内小球所受重力冲量，方向竖直向下。
根据(3-4)矢量关系可作图，则一秒钟后动量P2的大小为

速度大小为：

速度方向为

例3.2 质量m = 0.15kg的小球以v0 =10m/s速度射向光滑地面，
入射角，然后沿的反射角方向弹出。
设碰撞时间，计算：小球对地面的平均冲力。

解 因为地面光滑，地面对小球冲力沿法线方向竖直向上，
水平方向小球不受作用力。设地面对小球的平均冲力为，
碰后小球速度为v，建立坐标如图，
根据质点的动量定理有：

由此得

代入数据

小球对地面的平均冲力就是的反作用力。
本题考虑重力作用，重力，不到 1%，可忽略不计。
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§3-2 质点系的动量定理
1.概念:
质点系； 外力； 内力
2．质点系的动量定理(微分形式)：
对i质点应用质点的动量定理：

对质点系中n个质点求和：
(3-5)
由于内力总是成对出现:
故： (3-6)
或:
3．质点系的动量定理(积分形式)
在一个过程中
(3-7)
或：
(3-8)
-----------------------------
例3.3 木板B静止置于水平台面上，小木块A放在B板的一端上。
已知mA = 0.25kg，mB = 0.75kg， A与B间的摩擦因数
，木板B与台面间的摩擦因数。
现在给小木块A一向右的水平初速度v0=40m/s，
问: 经过多长时间A、B恰好具有相同速度？(B板足够长)

解: 根据质点系的动量定理有：
以及

得：

对小木块A应用质点的动量定理

以及

解得：

代入有关数据得：
，
--------------------------------
§3-3 动量守恒定律
一 动量守恒定律
如果质点系所受的合外力为零，质点系的动量将保持不变，即：

(3-9)
注意：
1． 动量守恒是指质点系总动量不变！
（各质点的动量是可以变化的）
2．当质点系内部的作用远远大于外力（F内>>F外），
或外力不太大而作用时间很短促，可忽略外力效果，近似应用。
3 动量守恒定律的分量形式为：
若：， 则：
若：， 则：
若：， 则：
合外力在哪一坐标轴上分量为零，该方向上质点系总动量分量守恒。
二 碰撞过程中的动量守恒现象
碰撞—强烈而短暂，内力作用强，通常，且作用时间短暂，
因此动量守恒，碰撞可分为三类：
1) 完全弹性碰撞:
碰撞后二体分开，系统动量守恒，机械能守恒
（表现为系统的总动能前后相等）。
2) 非完全弹性碰撞：
碰撞后二体分开，系统动量守恒 （机械能不守恒）。
3) 完全非弹性碰撞：
碰撞后二体合一，系统动量守恒 （机械能不守恒）。
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例3.4 质量为m1的小球A以速度沿x轴正方向运动，
与另一质量为m2的静止小球B在水平面内碰撞，
碰后A沿y轴正方向运动，B运动方向与x轴成角。
(1) 求: 碰撞后A的速率v1和B的速率v2；
(2) 设碰撞的接触时间为，求: A受到的平均冲力。

解 (1) 以A、B两球构成系统，合外力为零，系统的动量守恒。
建立坐标如图，应用动量守恒定律的分量形式：
x方向
y方向
联解，得：

(2) 以小球A为研究对象，由质点的动量定理
x方向
y方向
所以： 的大小为：

与x轴的夹角为：
三 动量守恒定律与牛顿运动定律
牛顿运动定律导出——动量定理——动量守恒定律。
动量守恒定律远比牛顿定律更广泛，更深刻揭示物质世界一般规律。其适用范围，大到宇宙，小到微观粒子。可得宇宙中动量总量不变的结论，动量守恒定律为自然界普遍遵从定律。
下面从动量守恒定律出发导出牛顿第二、三定律
设有质点1和质点2构成一个封闭系统，
两个质点不受外界作用，只有彼此间相互作用。
根据动量守恒定律，系统总动量保持不变：

但两质点通过彼此间相互作用交换动量，因此：

即：
质点1获得：

质点2失去：

有：

令，则有：
(3-10)
表明：
两物体相互作用彼此施加 “力”，使动量发生变化，因此定义：
质点1对质点2的作用力：
(3-11)
质点2对质点1的作用力：
(3-11¢)
得：

——牛顿第三定律
由此可知：
“作用力与反作用力大小相等，方向相反”与“动量守恒”对质点系等价！
考虑一质点，所受力都是外力，由(3-11)或(3-11¢)：

再考虑到：
及低速时质量m是常量，则：

—— 牛顿第二定律
注意
* 从历史上看，动量守恒定律从实验研究得到，
迄今，尚未发现与动量守恒定律相悖的现象。
* 动量守恒定律和动量定理都只对惯性参照系成立。
在非惯性参照系中则需要加上惯性力才能应用。
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例3.5 如图所示，一轻绳悬挂质量为m1的砂袋静止下垂，
质量为m2的子弹以速度v0倾斜角q 射入砂袋中不再出来，
求：子弹与砂袋一同开始运动时的速度。

解 在子弹射入过程中以子弹和砂袋构成一系统，
竖直方向受重力(忽略)和绳冲力(不可忽略)，动量竖直分量不守恒。在水平方向上系统不受外力作用，动量水平分量守恒。
设碰后子弹与砂袋以共同速度v开始运动。

得

例3.6 小游船靠岸的时候速度已几乎减为零，
坐在远离岸端的一位游客站起来走向船近岸端准备上岸，
设游人体重m1=50kg，小游船重m2=100kg，小游船长L=5m，
问：游人能否一步跨上岸。(水的阻力不计)

解 该系统水平方向动量守恒。
设游客速度为v1，游船速度为v2，则有：

积分得

即
(1)
其中：，为游客和游船对岸位移。
按相对运动的位移关系

游客对游船的位移，故有
(2)
联立求解(1)、(2)两式，可得游客对岸的位移：

游船对岸的位移

（负号表示游船对岸后退了1.67米）
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§3-4 角动量 质点的角动量定理

一 质点的角动量L
1． 角动量描述物体的转动
质点相对于O点的角动量为：
(3-12)
角动量等于质点对O点的矢径与动量的矢积。
2．角动量的大小
根据矢积计算规则为：
(3-13)
角动量的方向由矢积方向的右手定则确定。
注意：角动量必须针对某一确定的O点。
二．力矩
1．力矩定义
力的作用点的矢径r与力F的矢积
（3-14）

力矩的大小：
力矩的方向： 由右手定则确定
2．力矩的冲量矩——力矩对时间的累积
力矩在dt时间内的微冲量矩为：
力矩在t1~t2过程中的冲量矩为：
三． 质点的角动量定理
1．角动量定理的微分形式
质点角动量对时间的变化率

（第一项V与动量P=mv同方向，二者矢积等于零）
由 ，得：
(3-15)
（即质点受到的合外力矩等于质点角动量对时间的变化率）
或：
—— 角动量定理的微分形式
2．角动量定理的积分形式
(3-16)
—— 角动量定理的积分形式
（在一个过程中，质点受合外力矩的冲量矩等于质点角动量增量）
——t1到t2时间内质点角动量的增量
注意：力矩与角动量必须对同一参考点。
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例3.7 已知地球的质量 m = 6.0´1024 kg，
地球与太阳的中心距离 r =1.5´1011 m，
若近似认为地球绕太阳作匀速率圆周运动，v = 3´104m/s，
求：地球对太阳中心的角动量。

解 作示意图如图，O点为太阳中心，地球对太阳中心的角动量为：

因为r与v垂直，，故角动量的大小为：

(在图示情况下L垂直于r、v构成的平面，方向向上)
可见: 对于做圆周运动的质点，由于矢径r与速度v时时都彼此垂直，
故质点对圆心O的角动量的大小L = mrv，方向向上，
如果是做匀速率圆周运动，角动量是一常矢量。
例3.8 一质点以速度v沿l方向作直线运动，已知质点质量m，
O点到直线垂直距离为d。求：质点对直线外一点O的角动量。

解：设任一时刻质点到O点的矢径为r(如图)
质点角动量的大小根据(3-13)为:

d为O到l的垂直距离， O到v延长线的垂直距离_动量臂，
因此角动量的大小为:
若质点作匀直运动，任意时刻质点对O点角动量大小和方向恒定。
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§3-5 角动量守恒定律
1． 角动量守恒定律
如果合外力矩等于零，质点的角动量守恒，即若 则：

___角动量守恒定律
注意：
角动量守恒定律条件: 质点所受的合外力矩为零(两种实现的可能)
* 质点所受的合外力为零，则合外力矩为零。
* ，但力与作用点矢径同一直线，力臂为零，力矩为零。
（在有心力场，如万有引力场、点电荷的库仑场中常见）
例3.9 我国第一颗人造地球卫星绕地球运行的轨道为一椭圆，
地球在椭圆的一个焦点上，卫星在近地点和远地点时距地心
分别为r1=6.82×106m和r2=8.76×106m，
在近地点时的速度v1=8.1×103m/s，
求：卫星在远地点时的速度v2。

解 如图卫星在轨道上任一处受地球引力始终指向地心，力矩为零，
卫星对地心角动量守恒，在近地点角动量等于在远地点角动量，
设卫星质量为m，
* 在近地点：
* 在远地点：
角动量守恒 ， 得：

本例，卫星受地球引力作用，引力冲量改变卫星动量，动量不守恒。
但引力对地心力矩为零，卫星对地心角动量守恒，重要性！
例3.10 光滑水平台面上有一质量为m的物体拴在轻绳一端，
轻绳的另一端穿过台面上的小孔被一只手拉紧，
并使物体以初始角速度作半径的圆周运动（如图）。
手拉着绳以匀速率v向下运动，使半径逐渐减小，半径减小
为r时物体的角速度；若以向下拉动时为计时起点(t=0)，
求：角速度与时间的关系。

解 在水平方向上，物体m只受绳拉力作用，拉力对小孔的力矩为零，物体对小孔的角动量守恒。

考虑到，，应有：

所以：

再按题意，，代入上式：

例3.11 用角动量守恒定律再解例3.5，一轻绳悬挂质量m1的砂袋
静止下垂，质量m2的子弹以v0倾斜角q射入砂袋中不再出来，
求：子弹与砂袋一同开始运动时的速度。

解 在子弹射入砂袋的过程中，将子弹和砂袋视为一个系统，
除碰撞内力外，属于外力的重力及绳拉力对悬挂点O都不形成
力矩，故系统的角动量守恒：

所以 与例3.5的结果一致。
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§3-6 质点系的角动量定理
1.质点系的角动量
系统中各质点对同一参考点的角动量的矢量和：

2.质点系的角动量定理的微分形式：
作用于质点系各质点的力分为外力和内力：
外力形成外力矩
内力形成内力矩
合力矩为外力矩和内力矩的矢量和(对同一参考点)为：

对质点系中第i个质点，应用质点角动量定理

求和：
(3-17)
对整个系统 ，故：
(3-18)
——质点系角动量定理的微分形式
（即：作用于质点系合外力矩等于质点系的角动量对时间的变化率）
3.质点系的角动量定理的积分形式：
(3-19)
（即：合外力矩的冲量矩等于角动量的增量）
4.质点系的角动量守恒定律
如果作用于质点系的合外力矩为零，即：
若 则：
—— 质点系的角动量守恒
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例3.12 长a的轻质细杆可在光滑水平面上绕过中心的竖直轴转动，
细杆的两端分别固定质量为m1和m2的小球，且静止不动。
有一质量m3的小粘性泥团以水平速度v0且与杆成角方向
射向m2，并且粘在m2上（如图），设，
求：杆开始旋转时的角速度。

解： 将三个质点m1、m2和m3设想为一个质点系，
在m3与m2碰撞的过程中，只有轴O对系统有作用，
轴的作用力对轴自身力矩为零，所以系统对O轴角动量守恒。
碰前:m1和m2静止，系统角动量为：

碰后:三个质点都在运动并且有相同的角速度，系统角动量为：

按角动量守恒 故有：

由于： , ,
可解得：
注意:在m3与m2碰撞过程中，轴O上存在冲力(外力)，系统动量
不守恒，但对O轴的合外力矩为零，对O轴的角动量守恒。
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内容总结
一 动量 动量守恒定律
1 冲量：力对时间的累积称为力的冲量

2 动量定理：合外力的冲量等于质点(系)动量的增量。
(微分形式)
(积分形式)
3 动量守恒定律：合外力为零时，质点(系)动量守恒。
若 则：
4 碰撞：
* 完全弹性碰撞：动量守恒，机械能守恒，碰撞前后系统总动能相等。
* 非完全弹性碰撞： 动量守恒。
* 完全非弹性碰撞： 动量守恒。
5 力的平均冲力：

合外力的平均冲力:

二 角动量 角动量守恒定律
1 .角动量： （对惯性系中某参考点）
* 质点的角动量:
大小为:
* 质点系的角动量:
2 .力矩：对某参考点
大小为:
合力矩为各分力对同一参考点的力矩的矢量和。
3 .冲量矩： 力矩对时间的累积称为力矩的冲量矩。

4 .角动量定理：对惯性系中某参考点，合外力矩等于质点(系)角动量对时间的变化率。
(微分形式)
或：合外力矩的冲量矩等于质点(系)角动量的增量，
(积分形式)
5 .角动量守恒定律：合外力矩为零时，质点(系)角动量守恒，
若 则:
--------------------------------------
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