《常微分方程》答案 习题2.5.doc

习题2.5
2．
解：两边同除以，得：

即
4．
解：两边同除以，得

令
则
即
得到，
即
另外也是方程的解。
6．
解：

得到
即
另外也是方程的解。

8.
解：令
则：
即
得到
故
即
另外也是方程的解。
10．
解：令
即
而故两边积分得到

因此原方程的解为，。
12.
解：
令
则

即

故方程的解为

14．
解： 令
则
那么

求得：
故方程的解为
或可写 为
16．
解：令 则

即方程的解为
18．
解： 将方程变形后得

同除以得：
令 则

即原方程的解为
19.X(
解：方程可化为2y(
令

27.
解： 令，，则
， ，
，
两边积分得
即为方程的通解。
另外，，即也是方程的解。
28.
解： 两边同除以，方程可化为：

令，则

即 ，

两边积分得
即
为方程的解。
29.
解： 令，则 ，
，
那么
即
两边积分得
即为方程的解。
30.
解： 方程可化为

两边积分得
即
为方程的解。
31.
解： 方程可化为
两边同除以，得
即
令，，则

即
两边积分得
将代入得，
即
故
32.
解： 方程可化为
两边同加上，得 （*）
再由，可知
（**）
将（*）/（**）得
即
整理得
两边积分得
即
另外，也是方程的解。
33. 求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。
解： 设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为：

由题意得
即
也即
两边同除以，得
即
即
为方程的解。
34. 摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。
解：，又，由此

即
其中，解之得

又时，；时，。
故得 ，
从而方程可化为
当时，有 米/秒
即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。
35. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。
解：由物理知识得：
根据题意：
故：
即：
(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有

又当t=0时，V=0，故c=
因此，此质点的速度与时间的关系为：
36. 解下列的黎卡提方程
（1）
解：原方程可转化为：
观察得到它的一个特解为：，设它的任意一个解为，
代入（*）式得到：
由（**）-（*）得：
变量分离得：
两边同时积分：
即：
故原方程的解为
（2）
解：原方程可化为：
由观察得，它的一个特解为，设它的任意一个解为，故

变量分离再两边同时积分得：即
故原方程的解为
（3）
解：原方程可化为：
由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，故
，该式是一个的伯努利方程
两边同除以得到：
即：，令，
则：，根据一阶非齐线性方程的求解公式得：

故：
因此：原方程的解为：
（4）
解：原方程可化为：
由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，于是
，这是的伯努利方程
两边同除以得到：
即：
则：
即：
故：原方程的解为：
（5）
解：原方程可化为：
由观察得，它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是
，这是的伯努利方程
两边同除以得到：
即：
则：
故：原方程的解为：，即.
（6）
解：原方程可化为：
由观察得到它的一个特解为，设它的任一个解为，于是
，这是的伯努利方程
两边同除以得到：
即：
则：
从而：
故原方程的解为：
即：
（7）
解：由观察得到它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是
，这是n=2的佰努利方程，
两边同除以得：
即：
从而：

故原方程的解为：