静定结构的内力分析.doc

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第3章 静定结构的内力分析
第3章 静定结构的内力分析
3.1 静力平衡
对于静定结构，用静力平衡条件可以求出其全部反力和内力；接下去求解超静定结构也必须用到平衡。可以说掌握静力平衡问题是我们继续学习的关键。
3.1.1 利用静力平衡求解支座反力
有两种体系的平衡问题是我们必须掌握的，它们是带有附属部分体系和三铰刚架 体系。
1. 带有附属部分体系
这种体系在几何组成上可以分为基本部分和附属部分。形象比喻这种体系就像大人背孩子，大人相当于基本部分，孩子相当于附属部分，孩子依托大人平衡，即附属部分依靠基本部分才能保持平衡。
判别此类体系应按定义来划分。
基本部分：在竖向荷载作用下能独立保持平衡的部分。
附属部分：在竖向荷载作用下不能独立保持平衡，需要依靠基本部分才能保持平衡的部分。
这类体系的解题思路是先附属后基本。即先取附属部分为研究对象，求出约束反力，然后将已求出的反力看作已知力，再取基本部分或整体为研究对象，求出剩余约束反力。从受力分析上看，作用在附属部分上的荷载要传给基本部分，而作用在基本部分上的荷载不传给附属部分。
2. 三铰刚架体系
这类体系在几何组成上分不出基本部分和附属部分。其典型或称标准形式为三个铰联结而成的刚架。形象比喻这种体系就像两个舞蹈演员各自金鸡独立，同时各自伸出一只手搭在一起以求稳定和平衡。刚架的每部分各自都不能独立平衡而互相依靠在一起才能保持平衡。
这类体系的解题思路是先整体，后分部。先整体即先取整体为研究对象，利用整体平衡的取矩方程先求出两支座的竖向反力，然后分部，所谓分部是指任取刚架的左半部或右半部为研究对象，利用该部分的平衡建立向左右两部分的联接铰中心取矩方程，从而解出支座处的水平反力。接下去求其他反力即可。
【例3.1】试求如图3.1所示刚架A、D、E处的支座约束反力。
解：CE部分为附属部分，ABD部分是基本部分，且ABD是三铰刚架类体系。有附属部分体系解题时应先附属后基本，对基本部分解题时因其为三铰刚架类体系，应先整体研究再分部研究。

图3.1
(1) 选择CE为研究对象，如图3.1(b)所示。
由

由

由

(2) 选择ABD为研究对象如图3.1(C)所示。
① 先取整体，取ABD整体研究
由

由

② 后分部，取AB部分为研究对象，如图3.1(d)所示。
由

③ 再取三铰刚架整体即ABD为研究对象如图3.1(c)所示。

【例3.2】试分析如图3.2(a)所示体系中A、D处的反力。

图3.2
解：此题表面看不是附属类体系，亦不好确定是三铰刚架类体系，但该体系和地基简支，其B、C支座反力好求，可先求B、C支反力然后进一步研究。
(1) 整体研究如图3.2(a)所示。
由

(2) 取BAC研究如图3.2(b)所示，此时可判断出其为三铰刚架类体系，按先整体后分部的解题原则，先取BAC整体研究。

3) 取AC研究对象，如图3.2(d)所示。

4) 取ABC为研究，如图3.2(c)所示。

3.1.2 利用静力平衡求解杆件内力
平面结构在任意荷载作用下，其杆件横截面上一般有三种内力，即轴力FN、剪力和弯矩M，如图3.3所示。

图3.3
计算截面内力的基本方法是截面法，即将结构沿拟求内力的截面截开，选取截面任意一侧的部分为研究对象(取隔离体)，去掉部分对留下部分的作用，用内力来代替，然后利用平衡条件可求得截面内力。
截面法中对内力的符号通常规定如下：
弯矩：以使梁的下侧受拉为正。
剪力：以绕隔离体顺时针为正。
轴力：以拉力为正。
截面法中，可根据平衡推出用外力计算内力分量的简便方法。
弯矩：等于截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。
截面一侧的每个外力对截面形心都产生力矩，此力矩加上正确的正、负号即成为该外力在截面上产生的弯矩分量。当外力对截面形心的力矩的绝对值算出后。可以证明，将截面看成固定端，凡力矩能使梁下部纤维受拉，在截面上产生的弯矩分量即为正号。
剪力：等于截面一侧所有外力沿截面方向的投影代数和。
截面一侧的每个外力都会在沿截面方向上产生投影，此投影即为该外力在截面上产生的剪力分量。在外力投影的绝对值算出后，可以证明，外力绕截面顺时针转动，在截面上产生的剪力分量即为正号。
轴力：等于截面一侧所有外力沿截面法线方向的投影代数和。
截面一侧的每个外力都会在沿截面法线方向上产生投影，此投影即为该外力在截面上产生的轴力分量。在外力的投影绝对值算出后，可以证明，外力方向背离截面产生的轴力分量为正。
【例3.3】求如图3.4所示刚架、截面内力。
解：
(1) 求截面内力
假想在截面截开，为研究问题方便取截面右侧部分为研究对象。
(拉上侧)
(顺时针)
(压力)
(2) 求截面内力
假想在截面截开，为研究问题方便取截面上侧部分为研究对象(对于弯矩设拉内侧为正)。
(拉外一侧)
(逆时针)

图3.4
计算截面剪力时，集中力2kN、4kN在截面方向上有投影，其中4kN这一集中力，因其作用线的位置在截面的下部，它产生的剪力正负号判断时，可将该力平行上移到截面的上侧位置 (根据力的平移定理，会产生附加力偶矩，但此力偶矩对截面剪力无影响)，然后再看该外力是否绕截面顺时针转动，即可确定正负号。
(压力)
3.2 静 定 梁
3.2.1 内力图
一般梁中内力有三种，即弯矩、剪力和轴力。对于直梁当所有外力都垂直于梁轴线时，横截面上只有剪力和弯矩，没有轴力。
内力图：表示结构上各截面内力数值的图形称为内力图。
内力图通常用平行于杆轴线的坐标表示截面的位置，此坐标通常称为基线，而用垂直于杆轴线的坐标(又称竖标)表示内力的数值而绘出。
在土木工程中，弯矩图习惯绘在杆件的受拉一侧，而图上不必注明正负号；剪力图和轴力图则将正值绘在基线的上侧，同时标注正负号。
绘制内力图的基本方法是先分段写出内力方程，然后根据方程作出内力函数的图像。
既然内力图从数学意义讲即为函数的图像，则为能快捷画出内力图我们可以利用内力函数的微分关系来作内力图。
3.2.2 利用微分关系作内力图
在受横向分布荷载作用的直杆段上截取微段，为和数学作图相符建立如图3.5所示坐标，可得出荷载集度和剪力、弯矩的微分关系(利用微段的平衡，略去高阶小量，可证明)。
(3-1)

图3.5
式(3-1)具有明显的几何意义：即剪力图在某点的切线斜率等于该点的荷载集度，若在某区荷载集度为正，则此区间剪力图递增；弯矩图在某点的切线斜率等于该点的剪力在某区间剪力为正，则此区间弯矩图递增；弯矩图在某点的曲率等于该点的荷载集度，根据某区间荷载集度的正、负可判断弯矩曲线的凹凸性。
关于内力曲线凹凸性的判断，数学中有个雨伞法则：
函数二阶导数>0，
表明能存水，
曲线为凹；
函数二阶导数<0，
表明不能存水，
曲线为凸。
由于工程中习惯将弯矩图画在杆件的受拉一侧，这样梁的弯矩图竖标人为地翻下来，以向下为正。为此由数学曲率判出的凹凸性刚好在这里相反。即画弯矩图时凹凸性判断要注意相反。为方便记忆，经研究发现弯矩曲线的凸向与q的指向相同。
我们利用微分关系作内力图，总是要将梁分成若干段，一段一段地画。梁的分段点为集中力、集中力偶作用点，分布荷载的起、终点。
分段以后每一段为一个区间。每个区间上荷载集度的分布情况，常遇到就两种情况，一种是(无荷段)，另一种是q=常数(方向向下)。下面给出直梁内力图的形状特征。
表3.1 直梁内力图的形状特征
梁上情况
无横向外力区段
q=0
横向均布力q作用区段
q=常数
横向集中力F作用处
集中力偶M
作用处
铰处
剪力图
水平线
斜直线
为零处
有突变(突变值=F)
如变号
无变化
无影响
弯矩图
一般为斜直线
抛物线(凸出方向同q指向)
有极值
有尖角(尖角指向
同F指向)
有极值
有突变
(突变值M)
为零
3.2.3 叠加法作弯矩图
当梁受到多个荷载作用时，可以先分别画出各个荷载单独作用时的弯矩图，然后将各图形相应的竖标值叠加起来，即可得到原有荷载共同作用下的弯矩图，这就是叠加法作弯矩图。
利用叠加法作弯矩图是结构力学中常用的一种简便方法。它利用叠加原理，避免了列弯矩方程，从而使弯矩图的绘制得到简化。
在绘制梁或其他结构较复杂的弯矩图时，经常采用区段叠加法。
区段叠加法：某梁段的弯矩图等于该梁段在杆端弯矩作用下并具有与梁段相同荷载作用的简支梁弯矩图。其具有普遍意义。
求图3.5(b)所示JK梁段弯矩图，将JK段取出画其受力图。用平衡条件可以证明，其受力等效于与该梁段同长，且其上作用与梁段相同荷载q及在两支座上分别作用与JK两端截面弯矩相同的力偶和的简支梁。由于受力相同简支梁的弯矩图与梁段弯矩图完全相同。
将有了区段叠加法后，任一区段的弯矩图均可先将两端弯矩绘出(即、)，连一条虚线，然后叠加一相应简支梁仅受外荷载的弯矩图。

图3.5b
【例3.4】如图3.6所示简支梁，试作内力图。

图3.6
解：
(1) 求支反力
由梁的整体平衡条件利用叠加的思路求反力。
等于梁上各力在支座A引起的反力分量叠加而成，取矩时凡力矩能在A支座引起向上反力分量即为正号力矩，反之为负号。力矩之和除以跨度l，即可得到。

同理，由

由(验算)

由

(2) 画剪力图
先分段然后一段一段根据微分关系画出剪力图。本题中，A、B、C、D、E、F为各分段点(这些点为控制截面)
AB段：无荷段，剪力为常数，该段剪力图为水平线，取该段任意截面可求得。
BC段：无荷段，剪力为常数，该段剪力图为水平线，取该段任意截面可求得(注意：集中力偶矩对剪力无影响)。
CD段均布荷载，方向向下，根据微分关系，的一阶导数为q，q为常数。可推知是一次函数，此段剪力图是斜直线。又因为q向下指向，和坐标正向相反，即，此区段剪力递减。只需求出、连线即可。，。
DE段：无荷段，(水平线)
EF段：无荷段，(水平线)
注意到有集中力作用的E截面，剪力图有突变，突变的幅值为集中大小。
(3) 画弯矩图(工程上惯例将弯矩画在杆件受拉侧，这样梁的弯矩坐标向下为正)
分段点及控制面同剪力图
AB段：因该段剪力为常数，由微分关系可知，该段弯矩图为的一次函数，即为斜直线，且该段剪力为正号，弯矩在此段应为递增斜直线，只需求出控制截面弯矩值连线即可。

BC段：微分关系同于AB段

注意到B截面作用有集中力偶矩，弯矩图在此截面发生突变，突变幅值等于集中力偶矩的大小。
CD段：由剪力为的一次函数，知弯矩为的二次函数，曲线的凸向和q的指向 相同。
可用区段叠加法作弯矩图。先求出控制截面和，用虚线连接这两个截面弯矩值，在该段的中点加对应的简支梁作用均布荷产生的弯矩。

故该段中点的弯矩值为，然后用光滑二次曲线连成该段的弯矩图。
注意，区段承受均布荷载时，最大弯矩不一定在区段的中点处.由剪力为零不难求出本例的最大弯矩为，与区段中点弯矩相差0.28%。以后作承受均布荷载区段的弯矩图时，不一定要求最大弯矩，可通过区段中点的弯矩值来作弯矩图。
DE段：由微分关系知,该段弯矩图为斜直线，且该段剪力为负号，弯矩在此段应为递减。
(用截面右侧外力可求)
连此直线。
EF段：微分关系同DE段。

连此直线。
另外DE和EF两段也可合成一个区段，用区段叠加法作弯矩图。即将以虚线连接，以该虚线为基线，叠加上简支梁作用跨中集中力8KN的弯矩图。叠加后区段中点即D截面弯矩正好等于。
另外，值得注意的是C、D两截面处无集中力作用，剪力在截面左右无突变，弯矩在截面左右斜率相同。即弯矩在C、D两截面处曲线应是光滑无转折。
【例3.5】试用微分关系的积分式(或称积分法)计算例题3.4中，C、D、E截面的剪力和弯矩。
解：若在和处两个截面A、B间无集中力作用，则有下式成立
(1)
式中，、分别为在处两横截面A和B上的剪力。等号右边积分的几何意义是上述两截面间分布荷载图的面积。
同理，若横截面A和B间无集中力偶作用
由
(2)
或

式中，分别为在、处两个横截面A及B上的弯矩。等号右边积分的几何意义是A、B两个横截面间剪力图的面积。
在应用式(1)和(2)时，应注意式中的面积是有正负号的，因为荷载集度和剪力都是有正负的。
从【例3.3】可知，在AC段中，按(1)式有

在CD段中，

在DE段中，

从例3.4可知，AC段中，图形为矩形，但中间有集中力偶矩，为求可先求出再求，也可由求出，但要考虑集中力偶矩对C截面弯矩的影响。
即

或

式中，M为集中力偶矩对C截面产生的弯矩。
在CD段中，剪力图为三角形。

在DE段中，，图形为矩形。

由以上运算可知，由内力的微分关系式，可定性地判定剪力图和弯矩图的图形。由内力的积分关系式，利用起始横截面上的剪力、弯矩即可确定后续各横截面上的剪力和弯矩值。此法称积分法求内力，可直接用来画内力图，也可用来对内力图进行检验。
3.2.4 斜 梁
房屋建筑中的楼梯，无论是板式还是梁式楼梯，其计算简图都是一简支斜梁。
当斜梁承受竖向均布荷载时，按荷载分布情况的不同，可有两种表示方式。一种如图3.7(a)所示，作用于梁上的均布荷载q按照水平方向分布的方式来表示，如楼梯受到的人群荷载以及屋面斜梁受到的雪荷载的情况就是这样。另一种如图3.7(b)所示，斜梁上的均布荷载按照沿杆轴向分布的方式来表示，如梁的自重就是这种情况。

图3.7
由于按水平距离计算内力更加方便，故常将沿斜梁长度方向分布的荷载等效化为沿水平方向分布。用合力相同的等效原则有：

故

下面讨论如图3.8所示简支斜梁AB承受沿水平方向的均布荷载q作用时其内力图作法。
先求支反力。
取AB梁为研究对象，由平衡条件可得。

任意截面的弯矩为

显然M图为一二次抛物线，跨中弯矩为，如图3.8(c)所示。可以看出，斜梁在沿水平方向的竖向均布荷载作用下的弯矩图与相应的水平梁(荷载相同，水平跨度相同)的弯矩图，其对应截面的弯矩竖标是相同的。
求剪力和轴力时，将反力和荷载沿杆件截面的切线方向(t方向)和法线方向(n方向)进行分解然后求投影

以上两式适用于梁的整个跨度，由此可绘出剪力图和轴力图如图3.8(d)、(e)所示。

图3.8
斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制。如图3.9(a)所示某一区段JK的隔离体，承受沿水平方向的竖向均布荷载q的作用，两端的约束力如图所示，可以看出，图3.9(a)中的斜梁受力状态与图3.9(b)中的简支斜梁的受力状态完全相同，因而弯矩图也相同。由于和不产生弯矩，因此斜梁的弯矩图由两端弯矩所产生的直线弯矩图和由荷载产生的弯矩图叠加而成，如图3.9(c)所示。如将基线取为水平方向，则弯矩图如图3.10(d)所示。这两种形式的图形都可以采用，它们所表示的同一截面的弯矩是相等的。

图3.9
3.2.5 多跨静定梁
多跨静定梁是由若干根梁用铰联结而成能跨越几个相联跨度的静定梁。桥梁上多采用这种结构形式。图3.10(a)为一用于公路桥的多跨静定梁。图3.10(b)为其计算简图。

图3.10
如图3.10(b)所示多跨静定梁，就其几何组成而言，是带有附属部分体系。AB是基本部分，EF在竖向荷载作用下仍能独立维持平衡，它也是基本部分，而悬跨CD梁则需依靠基本部分才能保持平衡，故为附属部分。为清晰起见，它们之间的支承关系可用图3.10(c)来表示。这种图称为层次图。
对于多跨静定梁，只要了解它的组成和传力次序，既不难进行计算。从层次图可以看出：基本部分的荷载作用不影响附属部分；而附属部分的荷载作用必然传至基本部分。因此，在计算多跨静定梁时，应先附属再基本，将附属部分的支座反力求出后反其方向加于基本部分，多跨静定梁即可拆成若干单跨梁，分别计算内力，然后将各单跨梁的内力图连在一起，即得多跨梁内力图。顺便指出，对于其他类型具有基本部分和附属部分的结构，其计算步骤原则上也是如此。
【例3.6】试作出如图3.11(a)所示多跨静定梁的内力图。

图3.11
解：作层次图，如图3.11(b)所示。先计算附属部分CD的反力，然后再反其方向加于AC梁C点。
(1) 计算反力
如图3.11(c)所示，由附属部分开始因集中荷作用在CD段的中点，故有

再由基本部分AC梁的平衡可得

(2) 作剪力图和弯矩图。
分别绘制各单跨梁的剪力图和弯矩图，然后拼接在一起即为多跨静定梁的内力图，如图3.11(d)、(e)所示。
【例3.7】如图3.12(a)所示三跨静定梁，受均布荷载，各跨长度均为。今欲使梁上最大正、负弯矩的绝对值相等，试确定铰B、E的位置。
解：设铰B、E位置分别距C、D，为距离。根据先附属后基本(图3.12(b))，可知截面C的弯矩绝对值为

由区段叠加法及对称性可画出弯矩图，如图3.12(c)所示，显然全梁的最大负弯矩为

图3.12
CD段最大正弯矩为

AC段中点弯矩为

而AB段中点弯矩

也就是说全梁最大正弯矩发生在AB段中点，即为。
按题意，令
从而有
整理可得
可以求得
及
将此梁的弯矩和与其相应的多跨简支梁弯矩相比(图3.12(d))，前者的最大弯矩比后者小31.3%。这是由于多跨静定梁具有伸臂梁的缘故，它不仅减小了附属部分的跨度，而且使基本部分支座产生了负弯矩，从而减小了基本部分的跨中弯矩。
3.3 静定平面刚架
3.3.1 刚架概述
刚架：是由若干根直杆组成，主要用刚结点联结而成的结构。
刚架在构造方面，具有杆件少，内部空间大，便于使用的特点；在受力方面，由于刚结点能承受和传递弯矩，从而使结构中弯矩的分布较均匀，峰值较小，节约材料。因此在建筑工程中得到广泛应用。
实际工程中的刚架多为超静定刚架，静定刚架也有应用。常见的静定平面刚架有以下几种型式：悬臂刚架、简支刚架和三铰刚架，如图3.13所示。

图3.13
3.3.2 刚架内力分析
刚架内力计算方法，原则上与静定梁相同。通常先求反力，然后逐杆绘制内力图。
弯矩画在杆件受拉一侧，不标注正负号；剪力和轴力可画在杆件的任一侧，但必须注明正负号。
为明确不同截面的内力，在内力符号后面加两个脚标。
：表示AB杆件A端弯矩。
：表示AB杆件B端弯矩。
：表示AB杆件A端剪力。
刚架内力图绘制要点如下：
1. 作弯矩图
逐杆或段作弯矩图。先计算区段的两端截面弯矩，并注意将弯矩竖标画在受拉一侧，如杆段内无荷载作用，则用直线连接端截面弯矩竖标，如杆段内有荷载作用，可采用区段叠加法作图。
2. 作剪力图
作剪力图有以下两种方法。
方法一：根据荷载和求出的反力逐杆或段计算两端截面剪力，按单跨静定梁方法画出剪力图。
方法二：利用微分关系和平衡由弯矩图画出剪力图。对弯矩图为斜直线的杆或段，由弯矩图斜率确定剪力值；对于有均布荷载作用的杆或段，弯矩图是二次曲线，斜率不好求，可以利用杆或段的平衡条件求得两端剪力，然后用直线连接两端剪力的竖标。
3. 作轴力图
根据荷载和已求出的反力计算各杆的轴力。或根据剪力图截取结点或其他部分为隔离体，利用平衡亦可计算杆件轴力。
截取刚架的任何一部分为隔离体，对于正确的内力图，平衡条件必能满足。
【例3.8】试作如图3.14所示刚架的内力图。

图3.14
解：
(1) 计算支反力。
考虑刚架整体平衡有

验算：，满足。
(2) 画弯矩图
先计算各杆段的端弯矩，然后绘图。
AC杆

用区段叠加法给出AC杆段弯矩图，应用虚线连接杆端弯矩和，再叠加该杆段为简支梁在均布荷载作用下的弯矩图。
CE杆：

用区段叠加法可绘出CE杆的弯矩图。
EF杆：

杆段中无荷载，将用直线连接。
BE杆：可分为BG和GE两段计算，其中该段内弯矩为零.
GE段：

杆段内无荷载，弯矩图为一斜直线。
对于BE杆也可将其作为一个区段，先算出杆端弯矩，然后用区段叠加法作出弯矩图。
刚架整体弯矩图如图3.14(b)所示。
(3) 画剪力图
用截面法逐杆计算杆端剪力和杆内控制截面剪力，各杆按单跨静定梁画出剪力图。
AC杆：
CE杆：其中CD段，
DE段：
EF杆：
BE杆：其中BG段，
GE段：
绘出刚架剪力图如图3.14(c)所示。
(4) 绘轴力图
用截面法选杆计算各杆轴力。
AC杆：
CE杆：
EF杆：
BE杆：
给出刚架轴力图如图3.14d所示。轴力图也可以根据剪力图绘制。分别取结点C、E为隔离体，如图3.14e所示(图中未画出弯矩)。
结点C 由
由
结点E 由
由
(5) 校核内力图。
截取横梁CF为隔离体，如图3.14(f)所示。
由

满足平衡条件。
【例3.9】试作如图3.15(a)所示三铰刚架内力图。

图3.15
解：
(1) 求支座反力.
由整体平衡得

以右半刚架为隔离体得

因此，
(2) 作弯矩图.
计算各杆端弯矩
AD杆：

DC杆：
应该指出，凡只有两杆汇交的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆端弯矩必大小相等且同侧受拉。
CE杆：
(拉外侧)
EB杆： (拉外侧)
AD、CE、EB各杆上无荷载，弯矩图为直线。
DC杆上受均布荷载作用，可用区段叠加法作图，绘出刚架弯矩如图3.15(b)所示。
(3) 作剪力图
AD杆：
DC杆：见图3.15(e)

见图3.15f取CEB为隔离体。

CE杆：同理可求，

EB杆：

绘出刚架剪力图，如图13.5(c)所示。
(4) 作轴力图
AD杆：
见图3.15e
DC杆：

见图3.15(f)

CE杆：同理可求，

EB杆：
绘出刚架轴力图如图3.15(d)所示。
(5) 校核内力图(略)
3.3.3 少求或不求反力绘制弯矩图
静定结构内力分析，应用很广，尤其是绘制弯矩图，它是本课程的重要基本功。读者务必多作练习切实掌握。
在静定结构中，常常可以少求或不求反力而迅速画出弯矩图。例如，结构上有悬臂及简支部分(含两端铰结直杆受横向荷载)，其弯矩图可先画出；充分利用弯矩图的形状特征(常用的是直杆无荷载弯矩图是直线，铰接处弯矩为零；刚结点的力矩平衡条件，区段叠加法作弯矩图；区段剪力为常数弯矩的斜率不变化等)。
【例3.10】试作如图3.16所示刚架的弯矩图。

图3.16
解1：
由整体平衡

取刚架左半部分为隔离体

再由整体平衡

(M)
反力求出后，逐杆逐段弯矩图可画出，如图3.16所示。
解2：本题也可只求一个反力，即可画出全部弯矩图。
(1) AD杆
(2) DCE杆 由D结点平衡知，
C结点为铰，
由于CE段剪力和CD段相同，且为常数，CE段弯矩斜率同于CD段，所以有

(3) BE杆：由E结点平衡知，
又由于

【例3.11】作如图3.17所示多跨静定梁弯的矩图。

图3.17
解：AC、DF为基本部分，CD为附属部分。
只有AC部分作用有荷载，CD、DF部分无荷载作用，所以CD、DF部分弯矩为零。
BC杆段：
AB杆段：
用区段叠加法加上跨中
【例3.12】试作如图3.18所示刚架弯矩图。

图3.18
解：三个竖杆均为悬臂，弯矩图可先求出，倾斜直线。
EF杆段：由结点F平衡知。
该段剪力为零 (由截面在一侧外力投影可知)，弯矩为常数，即水平线。
DE杆段：，D结点为铰。
，该段剪力是常数(由截面左一侧外力投影可知)。
弯矩为斜直线(的一次函数)
CD杆段：由D结点平衡知，
CD段和DE段剪力相同，该弯矩的斜率同于DE段弯矩斜率，推知
BC杆段：，B结点为铰知
，该段无荷弯矩为水平线，亦可推知此段剪力为零。
AB杆段：由结点B的平衡知，
该段剪力同于BC段剪力为零，该段弯矩为水平线，。
3.4 三 铰 拱
3.4.1 拱结构概述
拱在房屋、桥梁和水工建筑中被广泛采用。拱结构的特点是杆轴为曲线且在竖向荷载作用下能产生水平反力(或称水平推力)。拱与梁的区别主要在于竖向荷载作用下是否产生水平推力。由于拱中有水平推力的存在，各截面的弯矩比相应简支梁的弯矩小，能跨越较大空间；同时，由于拱以承受压力为主，所以拱可利用抗压强度而抗拉强度低的砖、石和混凝土等材料。
在工程中常见的拱结构如图3.19所示，可分为无拉杆及有拉杆两大类。如图3.19(a)、(b)、(c)所示为无拉杆拱。其中如图3.16(a)、(b)所示无铰拱和两铰拱是超静定的，如图3.19(c)所示三铰拱是静定的；如图3.19(d)、(e)所示为拉杆拱，在竖向荷载作用下拱中拉杆所承受的拉力代替了支座的推力，使支座在竖向荷载作用下只产生竖向的反力，它的优点在于消除了推力对支承结构的影响。如图3.19(e)所示折线形式的拉杆是为获得更大的净空。

图3.19
拱的各部分名称如图3.20所示，拱身各横截面形心的连线称拱轴线。拱的两端支座处称为拱趾。两趾间的水平距离称为拱的跨度。两拱趾的连线称为起拱线。拱轴上距起拱线最远点称为拱顶，三铰拱通常在拱顶处设置铰。拱顶至起拱线之间的竖直距离称为拱高。拱高与跨度之比f/l称为高跨比，拱的主要力学性能与高跨比有关。两拱趾在同一水平线上的拱称为平拱，不在同一水平线上的称为斜拱。拱的轴线有抛物线、圆孤线和悬链线等，它的选择与外荷载有关。

图3.20
3.4.2 三铰拱的反力和内力计算
三铰拱为静定结构，其全部反力和内力都可由静力平衡条件确定。现以在竖向荷载作用下，拱趾在同一水平线上的三铰拱为例，如图3.21(a)所示，导出其支座反力和内力计算公式。在图3.21(b)中绘出了相应水平简支梁(与拱同跨度，同荷载)，以便于比较。
1. 支座反力计算
设相应水平简支梁的反座支力分别为、和
取拱整体研究：

取左半拱为研究对象：

注意到相应简支梁对应截面C的弯矩为
将代入式

将反力公式汇总得
(3-2)

图3.21
由式3.2可知，当荷载及跨度不变时，水平推力，仅与三个铰的位置有关，而与拱轴形状无关。水平推力与拱高成反比，拱高越大推力越小，若则。
2. 内力计算
仍然采用截面法。如图3.21(c)所示，求K截面内力。
拱的内力正负号规定如下。
弯矩：使拱的内侧受拉为正.。剪力：使所取隔离体有顺时针转动趋势为正
轴力：因拱常受压，故规定轴力以压为正。
取K截面以左为隔离体，如图3.21(c)所示K截面形的坐标为、，拱轴切线倾角为。
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)3式可写成
(3-3)
(3-4)
(3-5)
式中，为截面K处的拱轴线的倾角，其在左半跨时取正，在右半跨时为负。
由(3-3)式可以看出，拱任意截面的弯矩，等于相应水平简支梁的弯矩减去拱水平推力所引起的弯矩。由此可知，拱的弯矩比相应简支梁弯矩要小。
绘制拱的内力图时，由于内力方程不是简单曲线方程，按内力方程作图比较困难。一般工程上通常沿跨长取若干截面，计算出这些控制截面的内力，然后以拱轴线的水平投影为基线，标出内力竖标，连接曲线即得所求内力图。
【例3.13】试作如图3.22所示三铰拱的内力图，拱轴线为。
解：将拱分为8等份，即为9个控制截面，分别计算出9个控制截面上的内力值，再根据这些数据绘出内力图。计算通常列表进行。
(1) 求反力

(2) 求内力值
现以距支座A 3m处截面2为例，说明内力计算方法。
当时，由拱轴方程得

由公式(3-3)

求截面2的剪力和轴力时，由于该截面作用有集中荷载，所以剪力和轴力在截面2处将有突变，因此计算此截面时分截面左和截面右不同值。
由公式(3-4)得

由公式(3-5)得

其他各截面内力值，详见表3.2，具体计算从略。根据表中数据可作出、、图如图3.22所示，从图中可以看出，在剪力为零的截面弯矩有极值。

图3.22
值得指出的是，当拱承受水平方向荷载时，求拱的反力及指定截面内力都不能使用公式(3-3)、(3-4)、(3-5)可直接利用平衡条件求得反力和内力(求内力注意轴力以压为正 即可)。
三铰拱内力计算见表3.2

见(横表)

3.4.3 三铰拱的合理轴线
在拱的内力计算中，当荷载及三个铰的位置给定时，三铰拱的反力就可以确定，其与各铰间拱轴线形状无关。而三铰拱的内力与拱轴线有关，当拱所有截面的弯矩都等于零(可以证明剪力亦为零)而只有轴力时，此拱轴线称为合理拱轴线。
具有合理拱轴线的三铰拱，截面上正应力均匀分布，能使材料得到充分利用。
合理拱轴线可根据弯矩为零的条件来确定。在竖向荷载作用下，三铰拱任一截面的弯矩为

若 有  (3-6)
其中，为拱轴线方程。
【例3.14】试求如图3.23(a)所示对称三铰拱在图示满跨竖向均布荷载作用下的合理拱轴线。
解：相应简支梁(图3.23(b))的弯矩方程

由(3-2)式可知

由(3-6)式可知

在满跨均布荷载作用下，三铰拱的合理轴线是抛物线。

图3.23
【例3.15】试求如图3.24(a)所示三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下(例如水平压力)的合理拱轴线。
解：本题为非竖向荷载。我们先假定拱处于无弯矩状态，取一微段为隔离体，如图3.24(b)所示，根据平衡条件有

式中，为微段的曲率半径。由上式可得
，可推知=常数
通过O点建立轴，根据平衡条件有

因是微量，故可取
于是有
因是常数，荷载q亦为常数，所以有常数。
这表明合理拱轴线是圆弧线。

图3.24
【例3.16】试求如图3.25所示三铰拱的合理拱轴线，其上受分布荷载作用，其中为拱顶处的荷载集度，为填料的容重。
解：根据图3.25所示的坐标系，(3-3)式成为M=M0-FH(f-y)
由M=0得
本例因荷载与拱轴线有关，为y的函数，M0无法确定，因而不能直接求y，为能求解y，可将上式每边分别对x微分两次得

注意到q向下为Z时，有
故有

将代入上式，得

该微分方程的解为

常数A和B可由边界条件确定

所以

图3.25
即在填料荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线是悬链线，又叫双曲线拱。
实际工程中，结构上的荷载是多样的，很难得到理想化的合理拱轴线，一般以主要荷载作用下的合理拱轴线作为拱的轴线。
3.5 静定平面桁及组合结构
3.5.1 桁架的概念
桁架是由若干直杆在其两端用铰联接而成的结构。常用于建筑工程中的屋架，桥梁及建筑施工用的支架等。
如图3.26所示为轻型钢屋架。

图3.26
根据杆件所在位置的不同，桁架中的杆件可分为弦杆和腹杆两类。上部弦杆称为上弦杆，下部弦杆称为下弦杆，竖向腹杆称为竖杆，斜向腹杆称为斜杆，如图3.26所示。
为了既便于计算，又能反映桁架的主要受力特征，通常对实际桁架的计算简图采用下列假定：
(1) 各杆的轴线是直线
(2) 各杆在两端用光滑的理想铰相互联结。
(3) 各杆的轴线通过铰的中心
(4) 全部荷载和支座反力都作用在铰结点上。
满足上述假定的桁架称为理想桁架。
静定平面桁架类型很多，根据不同特征，可作如下分类。
1. 按外形分
(1) 平行弦桁架，如图3.27(a)所示。
(2) 折线型桁架，如图3.27(b)所示。
(3) 三角形桁架，如图3.27(c)所示。
(4) 梯形桁架，如图3.27(d)所示。
2. 按整体受力特征分
(1) 梁式桁架，如图3.27所示(竖向荷载作用时支座无水平推力)。
(2) 拱式桁架，如图3.28(a)所示(竖向荷载作用时支座有水平推力)。

图3.27 图3.28
3. 按桁架几何组成分
(1) 简单桁架：由一基本三角形开始，依次增加二元体所组成的桁架，如图3.27所示。
(2) 联合桁架：由几个简单桁架按几何不变体系组成规则组成的桁架，如图3.28(a)、(b)所示。
(3) 复杂桁架：不按上述两种方法组成的其他静定桁架，如图3.28(c)所示.
3.5.2 桁架的内力计算
理想平面桁架，其受力特征为：桁架中各杆均为二力杆，仅承受轴力，每一个结点组成一个平面汇交力系，整个桁架或桁架的一部分(含两个结点以上)组成平面一般力系。对于静定平面桁架，计算内力的方法有结点法和截面法，以及两种方法的联合应用。
1. 结点法
用结点法求解桁架内力(轴力)时，取桁架的结点为隔离体，利用结点的平衡条件求解杆件轴力。每一个结点组成一个平面汇交力系，具有两个独立的静力平衡方程，能求解两个未知数。实际计算时，需从未知力不超过两个的结点开始，依次推算。结点法适用于简单桁架的轴力计算。
计算时，先假定未知杆件轴力为拉力，若解答结果为负值，则为压力。
为简便计算，在利用平衡条件求杆件轴力时，经常把斜杆的轴力正交分解为水平分力和竖向分力如图3.29所示，设斜杆的长度为，杆件在水平和竖向的投影长度分别为、，我们会发现力三角形和杆件三角形为相似三角形，所以有如下比例关系

图3.29
利用比例关系，若已知杆件三角形和、、中的其中一个力，便可很方便地推算出其余两个力而不需使用三角函数。此方法也称比例法求内力。
【例3.17】试用结点法计算如图3.29所示桁架的内力。

图3.30
解：
(1) 求支座反力。

从只含两个未知力的结点A开始计算，按照A、B、C、D、E的次序进行。由于桁架对称，只计算左半部分内力即可。可简化计算，不画结点隔离体图，用比例法，即利用比例关系直接运算。
结点A：(压力)

结点B：

  (压)
结点C：
(压)
结点D：

(压)
结点E：(压)
2. 结点法中结点平衡的特殊情况
在桁架中，有一些特殊形状的结点，掌握这些特殊结点的平衡规律，可以更方便地