综合训练题二：自动泊车.docx

综合训练题二
摘要
自动泊车是一项非常具有实用性的技术。自动泊车系统可通过各类传感器获取车位相对汽车的距离，通过控制汽车前轮转角和瞬时速度控制车辆行驶。本文针对自动泊车系统的研究，参考生活中人工入库的实际情况，对整个倒车过程车辆运动规律进行深入分析之后，运用了几何学相关知识求出了车辆在各段泊车的位置，通过数学建模的方法对泊车策略进行分析，从而实现自动、安全、快速的停车入库。
针对问题一，我们将汽车倒车入库的过程划分为三个阶段，仔细分析汽车倒车入库的过程之后我们考虑这三段过程中可能会发生的接触车库警戒线，列出约束条件，建立数学模型，并采用数形结合的方法对模型进行求解，最终求出汽车能够安全入库的起始点位置范围为下列曲线

6.853<y<13.47
-2.47<x<5.207
y<8.99-0.45x+0.385(6.442-x-3.722 ;x∈(-2.47,3.72)
x-2.82+y-9.222<2.47;x∈(3.72,5.207)
x-3.722+y-0.62<6.442;x∈(2.05,3.72)
所包络的不规则区域。
针对问题二，我们应该在汽车能够安全倒车入库并停在最恰当位置的前提下寻求满足前轮转角之和最小和后轮行驶距离最短的最佳泊车策略，先针对设任意起始点分析，对问题一中所构建的模型稍加改动，增加了对最终停车位置的约束条件，并针对前轮转角和后轮行驶距离构建双目标函数，由几何问题转化为多目标非线性规划问题，因为非具体值，无法通过软件直接求解，通过任意选取多个具体的值，运用Matlab软件的fgoalattain函数对该双目标非线性规划问题求解，得到多个起始点的最佳泊车策略，并进行了比较分析。

关键词：数形结合；Matlab；多目标函数非线性规划；fgoalattain函数 一、问题重述
随着汽车产业及科技的高速发展，智能驾驶汽车成为了国内外公认的未来汽车重要发展方向之一。而在汽车智能化进程中，自动泊车是一项非常具有挑战性和实用性的技术。自动泊车系统可通过各类传感器获取车位相对汽车的距离，通过控制汽车前轮转角和瞬时速度控制车辆行驶。
若考虑系统控制容易性，参考人工倒车入库，当车辆位于与车位垂直的任意位置时，先通过前行或后退到达理想停车起始点后，再确定前进转角和后退转角，使车身与车位在同一直线上后，直接倒车完成入库，即“一进二退”。这种两段式倒车模式提高了泊车过程中车辆行驶的紧凑性，同时减少了泊车行驶空间。
考虑大众新款捷达，长4487mm，宽1706mm，轴距2603mm，前轮距1460mm，后轮距1500mm，目标车库为小型汽车库标准大小长6m，宽2.8m，车库周围情况如图。

建立模型给出泊车策略，最终实现汽车自动、安全、快速的停车入库。
1) 建立模型，按照车辆与车位之间的距离把车辆位置进行分组，给出每一组对应的倒车理想起始点，a=400mm，b=8000mm，c=300mm。
2) 建立模型，给出由理想起始点到倒车入库的泊车策略，包括车速、前轮转角、后轮行驶距离。
二、问题分析
问题一的分析
在问题一中，首先明确问题，题目要求寻找汽车能够安全入库的起始点位置的区域范围；然后，我们结合题目信息以及实际生活中的倒车过程，分析了制约汽车安全入库的影响因素，主要是受到车库周围事物的影响；我们将汽车倒车入库的过程分为三段，前两段轨迹为圆弧，其中第一段圆弧与第二段圆弧相切，第三段轨迹为直线运动；最后根据车库周围障碍物的制约构建不等式，并采用数形结合的方法得到区域范围，求出区域边界方程，最后得出满足汽车安全入库的起始点位置的区域。
问题二的分析
在问题二中，题目要求根据前轮转角和后轮行驶距离设计出从任意入库起始点开始的最佳泊车策略，即在问题一汽车安全入库的基础上寻求倒车优化方案，从而建立优化模型。为了使得汽车出库和入库时行驶方便，参考上图中车位旁边的两辆汽车的停放位置，要使停车位置最佳，则需要在满足问题一中约束条件的的前提下增加对停车位置的约束，并构建有关汽车行驶距离和两段泊车转角的多目标函数非线性规划，将任意点看做取多个具体点，最后运用Matlab软件进行求解，得到每个具体起始点的最优泊车策略。
三、模型假设
1、假设汽车在自动泊车过程中不存在车轮打滑的情况；
2、假设汽车在自动泊车的过程中没有其他正在行驶的汽车及行人干扰其倒车入库；
3、假设在汽车自动泊车入库的过程中每一段泊车车车轮转角都为定值；
4、假设汽车在自动泊车过程中车的行驶速度都为7km/h以下的自动泊车安全速度；
四、符号说明
符号
意义
单位
备注

与之间的夹角
rad

汽车后轮轴中点到车头顶点连线与汽车中心轴之间的夹角
rad

汽车在第一段倒车过程中的前轮转角
rad

汽车在第二段倒车过程中的前轮转角
rad

汽车车身的宽度
m
=1.706
t
汽车的后轮距
m
t=1.500

汽车的长度
m
S=4.487

汽车的轴距
m
L=2.603

车位的长度
m

车位的宽度
m

已经停放好的汽车车身左侧与车位左侧边界线之间的距离
m

表示与之间的距离
m
b=8

已经停放好的汽车车身前沿与车位上边界线之间的距离
m

d
车身与车位在同一条直线上之后，车直线行驶到最终泊车点的距离
m

汽车第一段行驶轨迹的半径
m

汽车第二段行驶轨迹的半径
m

五、模型的建立与求解
5.1 问题一模型建立与求解
5.1.1 问题一的分析
问题一中，我们参考了生活中倒车实际情况的同时，结合题目信息，将倒车的过程分为三段。如图所示，从汽车位于与车位垂直的任意位置时起，至汽车按照题目已知的转向角36度前进到某一合适的地点止，为第一段，第一段路程的轨迹是一段半径为圆心角为的圆弧；汽车从第一段行程的终点按照相同的转向角36度后退到车身与车位在同一条直线上止为第二段，由如图1几何关系知第二段路程的轨迹是一段半径为圆心角为的圆弧；最后汽车沿直线行驶距离后直接后退到车位的合适位置停车，为第三段。那么，为保证汽车能够安全倒车入库，影响其倒车起始点位置所在区域范围的约束条件有四个：第一，汽车位于第一段路程的起始点与车位垂直时，车身不能越过和；第二，汽车在第一段路程的终点处不能越过上边界线；第三，汽车在倒车的第二段过程中，车身（轮廓线在地面的投影）不能越过D点；第四，汽车在倒车的第三段过程终点停车时，车身左侧不能越过FG，右侧不能越过DE。
5.1.2 问题一模型的建立
通过对原问题的分析，我们以汽车两后轮连线中心点的轨迹代替汽车的运行轨迹，可以建立如下的数学模型. 首先明确变量：如图，以车位的左下角顶点F为坐标原点，设汽车位于初始点位置时，两后轮连线中心点坐标为,汽车位于第一段路程的 终点处时，两后轮连线中心点坐标为，汽车位于第二段路程的终点处时，两后轮连线中心点坐标为，汽车在第三段路程的终点处停车时，两后轮中心点坐标为，汽车在第一段和第二段过程中两后轮连线中心点轨迹为圆弧，设第一段轨迹圆心为，半径为,第二段轨迹圆心为，半径为，。

图1
第一步：
取F点坐标为（0,0）
用不等式表示出约束条件1，即汽车位于第一段路程的起始点与车位垂直时，车身不能越过。
（1-1）
式中：n表示车位的长度
b表示之间的距离
W表示汽车的宽度
第二步:用不等式表示出约束条件2，即汽车在第一段路程的终点处不能越过上边界线。
汽车从运动到过程中，轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，为汽车沿圆弧前进时的前轮转角，则的坐标用表示为 ， ，由勾股定理得 ，则A点的纵坐标为，由图像易得由此可得
（1-2）
式中：W表示汽车的宽度
S表示汽车的长度
L表示汽车的轴距
第三步:用不等式表示出约束条件3，即汽车在倒车的第二段过程中，车身（轮廓线在地面的投影）不能越过D点。
在第二段过程中，当汽车运行到车身与线段垂直时，汽车两后轮连线中点为，此时汽车刚好以全部的车身长度侧对,车身离车位边角点的距离最小，所以需满足。
在直角三角形中,点横坐标为,点的纵坐标为，D点坐标为（m，n）,则由两点间的距离公式得。
当且时需满足,即当且 时，
（1-3）
式中：m表示车位的宽度
第四步: 用不等式表示出约束条件4，即汽车在倒车的第三段过程终点停车时，车身左侧不能越过FG，右侧不能越过DE。
如图所示，两后轮连线中点点的横坐标为,则，由此可得
（1-4）
（1-5）
另外两后轮连线中心点的纵坐标为，，则，
在问题一中，题目假定汽车转弯时固定按照36度的转向角前进和后退，即，综上所述，由1-1到1-5知问题一的模型为

5.1.3 问题一模型的求解
算法步骤与结果。如果模型求解比较困难，可以采取简化方法或者启发式算法或者暴力索或者计算机模拟等方法求解搜。
对于问题一，我们采用了数形结合的方法求解，求解结果为下列曲线
6.853<y<13.47
-2.47<x<5.207
y<8.99-0.45x+0.385(6.442-x-3.722 ;-2.47<x<3.72
x-2.82+y-9.222<2.47;3.72<x<5.207
x-3.722+y-0.62<6.442;2.05<x<3.72
所包络的不规则区域。
5.1.4 问题一结果的分析及验证
由模型一求解得知求解出区域为七条曲线所包络的范围，由该区域知若行驶的车辆在到达起始点过程中若太靠近停车场左端，曲线所包络起始点区域较少，则以36°车轮转角自动泊车很难实现，若希望车辆自动泊车更顺利，有更多起始点，则应在停车场行驶到泊车起始点过程中应尽量靠右端行驶。
在图a网格图中在包络区域左下角任取起始点，带入问题一模型式1,2,3,4,5得
取，带入不等式成立，即满足模型成立。
同理，在图a网格图中在包络区域中上部分任取起始点，带入问题一模型式1,2,3,4,5，取成立，满足模型成立。右下部分取一点
，带入模型，取成立，此点也满足模型。
现在图a网格图中取区域外一点，带入模型中得不等式解为空集，所以不成立。继续取区域边界外靠近边界一点（5，5），带入模型得不等式解集也为空集。
由大致取点验证知，模型一模型求解正确。
5.2 问题二模型建立与求解
5.2.1 问题二的分析

在问题二中，题目要求根据前轮转角和后轮行驶距离设计出从任意入库起始点开始的最佳泊车策略，即在问题一汽车安全入库的基础上寻求停车位置的优化方案。为了使得汽车出库和入库时行驶方便，参考上图中车位旁边的两辆汽车的停放位置，要使停车位置最佳，则需要在满足问题一中约束条件的的前提下满足如下约束条件：第一，汽车停车过程结束时，车身左侧与车位左侧边界线之间的距离应大于a，车身右侧与车位右侧边界线之间的距离也应大于a；第二，汽车停车过程结束时，车身前沿与车位上边界线之间的距离应大于c，车身后沿与车位下边界线之间的距离也应大于c。则有约束条件建立了一个多目标非线性规划模型因为起始点为任意点，无法编程运行，则可取多个满足模型条件的具体分别求每个点最优泊车策略，用matlab求解完成
5.2.2 问题二模型的建立

第一步:用不等式表示出约束条件一，即汽车停车过程结束时，车身左侧与车位左侧边界线之间的距离应大于a，车身右侧与车位右侧边界线之间的距离也应大于a；
设任意一起始点坐标为
因为汽车在停车终点处时，两后轮连线中心点横坐标为，则，
即 （2-1）
（2-2）
式中：表示汽车车身的宽度
表示车位的宽度
表示图中已经停放好的汽车车身左侧与车位左侧边界线之间的距离
第二步:用不等式表示出约束条件二，即汽车停车过程结束时，车身前沿与车位上边界线之间的距离应大于c，车身后沿与车位下边界线之间的距离也应大于c。
因为汽车在停车终点处时，两后轮连线中心点的纵坐标为，，则，
即 （2-3）
（2-4）
式中：表示汽车在第三段停车过程中直线行驶的距离
表示汽车的长度
表示汽车的轴距
表示车位的长度
表示图中已经停放好的汽车车身前沿与车位上边界线之间的距离
第三步:建立目标函数。
因为在第一段倒车过程中后轮行驶距离，第二段倒车过程中后轮行驶距离为,第三段倒车过程中后轮行驶距离为d。则

式中：表示汽车在第一段倒车过程中的前轮转角
表示汽车在第二段倒车过程中的前轮转角

表示汽车在第三段倒车过程中后轮行驶的直线距离
综上所述：

目标函数为
5.2.3 问题二模型的求解
该模型为多目标非线性规划模型，求解该优化问题程序主要应用了matlab的fgoalattain函数来实现对多目标规划的求解，在求解程序中分别另，由于是求解任意下的最优解，若不设为具体数值的话无法用程序运行出结果，则本题解法主要采用将取为若干具体值，分别求解在若干下的最优解（程序见附录）。
自行输入具体满足模型的的数值后，在命令窗口中输入x则运行出在输入的值下该多目标规划模型尽可能满足行驶路程最小和两次转角之和最小的最优解的值，输入fval则得到俩目标函数的值。
以下为输入的7组的值，及满足约束条件目标目标函数最优的x:（附录中由上到下）的值及目标函数fval:（附录中由上到下）的值（完整程序数据结果见附录）

(-2,10)
(-1,9)
(0,7)
(1,8)
(2,9)
（-1,10）
（1,7）

0.7429
0.7182
0.5134
0.5134
0.5424
0.7022
0.5424

0.4895
0.5263
0.5940
0.7016
0.7016
0.5297
0.7016

0.6995
0.8010
1.1713
0.9251
0.6031
0.8302
1.0517

9.6233
5.1533
3.5117
4.2210
3.2604
4.0358
3.0627

1.1893
1.2113
1.7502
1.6520
1.2999
1.4333
1.6952

14.0010
9.5233
5.5841
6.5155
8.3583
8.1386
5.9080
问题二结果的分析及验证
任意取了五组起始点坐标，根据最优解数据情况可知，当。及起始点未越过车库口时，要满足最佳泊车策略普遍需要满足泊车前进转角大于后退转角，当起始点越过车库口时，要满足最佳泊车策略普遍需要满足泊车前进转角小于后退转角，该规律满足自动泊车转角的普遍规律，结论正确。
六、模型的评价与推广
6.1 模型的评价
优点：对于我们所建立的模型，是从生活中垂直倒车入库的实际情况出发研究的，能够较好的反映实际情况，客观合理。在问题一所建立的模型中，尽管约束条件很多，不等式较为复杂，但是我们克服了数据冗杂不易求解的缺点，采用数形结合的方法，把变动的角度扫过的范围的轨迹方程求出，并根据列出的不等式约束条件确立了区域的范围，处理方法较为精细，所求出的区域边界方程和所绘制的曲线能够直观清晰的反映出倒车入库起始点范围，简洁明了，一目了然。最后针对问题一的结果做出了科学合理的分析及验证。问题二模型建立上与第一问相似，通过程序完成了全部求解过程，并且程序易于操作，简洁明了，便于理解，具有很强的实用性。

缺点：问题一在求解过程中由于数值表达式中无限不循环小数较多，为了作图方便，通常仅保留了两位小数，所求解出范围与实际情况可能有微小偏差。问题二求解过程中，仅选取选取了部分点以程序求出了在这些点的最优解及对应各个未知参数，这种以点代面的处理方法较为粗糙，并且选取的数据组数不多，不易比较。
6.2 模型的推广
本文在第二问中所建立的多目标函数非线性规划模型，很清晰的反映了现在自动垂直泊车在现实生活中的真实最佳策略，所用的求解程序易于操作理解，可一定程度在实际生活中利用借鉴，在车辆工程的科技研究，轨迹分析等方面具有一定的实效性。但是模型的结果存在一定的误差，不够全面。在时间充裕的条件下，应该综合多项指标，探求多方因素影响下、更具实际意义的模型，寻找更为简单准确的求解方法。
七、 参考文献
[1] 姜启源等.数学模型（第四版）.北京：高等教育出版社，2003年8月
[2] 何峰.自动泊车系统的研究及实现,2009
八、附录
求解问题二的matlab程序
适应性M定义初始数据文件begin_data
clear,clc
n=6;
W=1.495;
L=2.34;
b=8;
S=3.55;
a=0.4;
m=2.8;
c=0.3;
bt=atan(W/(S+L));
save('information.mat');

适应性M文件fun.m
function f=fun(x)
load information.mat;
f=[x(2)+x(3);x(1)*L*cos(x(2))+(pi/2-x(1))*L*cot(x(3))+x(4)];
End

适应性M文件mycon2.m
load information.mat;
g=[ y0+L*cot(x(2))*(1-cos(x(1)))+sqrt(((S+L)/2)^2+(W/2)^2)*sin(x(1)+bt)-n-b;...
sqrt((m-x0-(L*cot(x(2))+L*cot(x(3)))*sin(x(1)))^2+(n-y0+(L*cot(x(2))+L*cot(x(3)))*cos(x(1))-L*cot(x(2)))^2)-L*cot(x(3))+W/2;...
-x0-L*cot(x(2))*sin(x(1))+L*cot(x(3))*(1-sin(x(1)))+W/2+a;...
x0+L*cot(x(2))*sin(x(1))-L*cot(x(3))*(1-sin(x(1)))+W/2+a-m;...
y0+L*cot(x(2))*(1-cos(x(1)))-x(4)-L*cot(x(3))*cos(x(1))+(S+L)/2-n+c;...
-y0-L*cot(x(2))*(1-cos(x(1)))+x(4)+L*cot(x(3))*cos(x(1))+(S-L)/2+c];
ceq=[];
end

主程序
clear,clc
%x=[aef st1 st2 d x0 y0]
load information.mat;
prompt={'输入x0的取值：','输入y0的取值：'};
name='参数设定';
numlines=1;
answer=inputdlg(prompt,name,numlines);
x0=str2double(answer(1));
y0=str2double(answer(2));
save('information.mat','x0','-append');
save('information.mat','y0','-append');
x_begin=[pi/1000;pi/1000;pi/1000;-9];
lb=[pi/6 pi/6 0 0 ];
ub=[2*pi/9 2*pi/9 pi/2 n+b ];
[x,fval,attain_factor]=fgoalattain('fun',x_begin,[0 0],[1 1],[],[],[],[],lb,ub,'mycon2');

问题二的完整数据结果

>> x
x =
0.7429
0.4895
0.6995
9.6233
>> fval
fval =
1.1893
14.0010

>> x
x =
0.7182
0.5263
0.8010
5.1533
>> fval
fval =
1.2113
9.5233

>> x
x =
0.5134
0.5940
1.1713
3.5117
>> fval
fval =
1.7502
5.5841

>> x
x =
0.5134
0.7016
0.9251
4.2210
>> fval
fval =
1.6520
6.5155

>> x
x =
0.5424
0.7016
0.6031
3.2604
>> fval
fval =

1.2999
8.3583

>> x
x =
0.7022
0.5297
0.8302
4.0358
>> fval
fval =
1.4333
8.1386

>> x
x =
0.5424
0.7016
1.0517
3.0627
>> fval
fval =
1.6952
5.9080

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