《概率论与随机过程》第1章习题.doc

《概率论与随机过程》第一章习题

1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（5） 一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（9） 有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
（10） 测量一汽车通过给定点的速度。
（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

2. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1） A发生，B与C不发生。
（2） A与B都发生，而C不发生。
（3） A，B，C都发生。
（4） A，B，C中至少有一个发生。
（5） A，B，C都不发生。
（6） A，B，C中至多有一个发生。
（7） A，B，C中至多有二个发生。
（8） A，B，C中至少有二个发生。

3. 设,，，，具体写出下列各等式
（1）。 （2）。 （3）。 （4） 。 （5）。

4. 设，，，具体写出下列各式。
（1）。 （2）。 （3）。 （4） 。

5. 设A，B，C是三事件，且，，，求A，B，C至少有一个发生的概率。

6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。
（1） 求恰有90个次品的概率。
（2） 至少有2个次品的概率。

7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？
（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？

8. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知，，求，及。

9. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1） 二只都是正品。
（2） 二只都是次品。
（3） 一只是正品，一只是次品。
（4） 第二次取出的是次品。

10. 某工厂中，机器分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器生产的概率分别是多少？

11. 将二信息分别编码为A和B传送出去，接收站接收时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

12. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为，且设各继电器接点闭合与否相互独立。求L至R连通的概率是多少？

13. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击中一次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率(包括射击一次、二次、三次击落)。
14. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的概率密度。
15. （1）设随机变量X的概率密度为，为常数，试确定常数。
(2) 设随机变量X的概率密度为，，试确定常数。

16. 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。
17. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。
18. 设随机变量X的分布函数为

（1） 求， （2）求概率密度。

19. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为，的正态分布，若要求,允许最大为多少？

20. 设随机变量X的概率密度为

0 1 3

求的概率密度。

21. 设X的概率密度为
，求的概率密度。

22. 设随机变量（X，Y）的概率密度为

求。

23. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180 小时的概率。
24. 设随机变量X的概率质量函数为

-2 0 2

0.4 0.3 0.3
求。
25. 设X服从二项分布，其概率质量函数为
求和。
26. 设X服从泊松分布，其概率质量函数为
求和。
27. 设X服从均匀分布，其概率密度函数为
求和。
28. 设X服从正态分布，其概率密度函数为
。 求和。

29. 对于任意两个随机变量X，Y，证明下式成立：
（1） ；
（2） 。
30. 设随机变量X的概率密度函数为。求（1）Y=2X，（2）的数学期望。
31. 设随机变量（X，Y）的概率密度函数为
试确定出常数，并求。
32. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。
33. 设随机变量X的概率密度函数为，其中为常数。求和。
34. 设随机变量X的概率密度函数为，其中为常数。求和。
35. 设随机变量X的概率质量函数为，。其中为常数，则称X服从参数为的几何分布。试求和。
36. 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为.。求、、。
37. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。
（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
（2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？
38. (1)一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。
(2)一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。
39. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。