改后第四章概率论习题_偶数2.doc

第四章概率论习题__偶数.doc
2一位即将毕业的浙江大学学生有意向与某企业签订就业合同。该企业给他两个年新方案供选择。方案一：年薪３玩；方案二：底薪１.２万，如果业绩达到公司要求，则再可获得业绩津贴３万元，如果达不到，则没有业绩津贴。一般约有８０％的可能性可以达到公司的业绩要求。问：他应采用哪种方案？并说明理由。
方案一：平均年薪为3万
方案二：记年薪为X，则，

故应采用方案二
4一袋中有８个球，分别编号为１～８号，先随机从袋中取出２球，记其中最大号码的球号为，求。
，，，，，，，
。
6证明（4.1.5）式，并用此式来计算几何分布（）（）的数学期望。
证明：

则几何分布（）（）的数学期望为

8. 设二元随机变量的联合概率密度为求
（1）；（2）；（3）的值。
，
（1）
（2）
（3） 。
10甲乙两人约定上午8:00~9:00在某地见面，两人均在该时段随机到达，切到达时间独立。求两人中先到的人需要等待是平均时间。
，

即先到的人等待的平均时间为20分钟。
12某设备无故障运行的时间（以小时计）服从期望为（）的指数分布。若设备在一天8个小时的工作时间内发生故障就自动停止运行待次日检修，否则就运行8小时后停止。求该设备每天运行的平均时间。

。
14一个袋子中有15个均匀的球，其中个是白球，其他的是黑球。不放回的随机抽取次（每次取一球），记取到的白球数为。当时，已知。（1）求；（2）当时，求。
（1）时，，

时，，，

由得，。
（2） ，，，
，，
。
16设进入大型购物中心的顾客有可能去其中的一家冷饮店购买冷饮，购买的概率为（）。若在一天的营业时间内进入该购物中心的顾客数服从参数为（）的泊松分布，求这一天去该冷饮店购买冷饮的顾客数的分布及期望。
记为进入购物中心的人数，为购买冷饮的人数，则

故购买冷饮的顾客人数服从参数为的泊松分布，易知期望为。
18 接第14题，当时，已知。
.
20设随机变量服从拉普拉斯分布，概率密度函数为：，，分别计算与的方差。
，

22设随机变量与独立同分布，都服从参数为的0—1分布。
（1）求；（2）计算及。
解：
（1）

（2）

24设系统由两个相互独立的子系统和构成，和的寿命与分别服从期望为，的指数分布。试就下列三种连接方式写出系统寿命的期望和变异系数。
（1）和串联；（2）和并联；（3）为的备用。
解：

（1）

故服从参数为的指数分布，故，。故。

（2）

，
，
故。
（3) ，
，，

26设随机变量的联合概率密度为
（1） 计算与得相关系数，并判断他们的独立性和相关性；
（2） 计算与得相关系数，并判断他们的独立性和相关性。
解：(1)，
，，
同理，
，

，故和正相关。
又，故和不独立。
（2）
故，即和不相关。
又

所以，故和相互独立。
28设随机变量，，…，均服从标准正态分布且相互独立。
（1） 记，计算：，及的阶原点矩，其中为的分布函数。
（2） 记，计算（其中）；
（3） 记，，其中，求与的相关系数。
解：（1），
，
，
由归纳法知
（2）
（3）

，
，
，
。
30设甲、乙两个盒子中都装有2个白球，3个黑球。先从甲盒中任取1个球放入乙盒，再从乙盒中随机的取出一个球。用和分别表示从甲、乙中取到的白球数。
（1） 求的联合分布律，并判断和是否独立；
（2） 求出，并由此判断和的相关性。
解：（1），
，
，
，
，，，，
，故和不独立。
（2）

故和正相关。
32 设二维随机变量服从正态分布。令，，其中、为实数，且。
（1） 当时，分别写出与的分布（要求写出参数）及他们各自的标准化变量，并计算与的相关系数；
（2） 当时，计算的变异系数；
（3） 当时，计算的中位数和众数；
（4） 当时，判断与的独立性和相关性。
解：（1）由知，和不相关，等价于和相互独立。
，
，，
，，
和分别为和的标准化变量。

（2) 时，，
，
则
（3） 因，

故定义知的中位数为，众数为。
（4）
故或时，和不相关。
又正态分布的独立性与相关性相同，
故或时，和独立且不相关，否则不独立且相关。