狭义相对论1.doc

第四章 狭义相对论
§4-1相对论运动学
【基本内容】
一、洛仑兹变换
1、伽利略变换和经典力学时空观
（1）力学相对性原理：一切惯性系，对力学定律都是等价的。
理解：该原理仅指出：力学定律在一切惯性系中，具有完全相同的形式。对其它运动形式（电磁运动、光的运动）并未说明
（2）伽利略变换
分别在两惯性系Ｓ和Ｓ／系中对同一质点的运动状态进行观察，P点的坐标为：

S系中： Ｓ／系中

上式S与Ｓ／的坐标变换关系叫伽利略坐标变换。
（3）经典力学时空观
在伽利略变换下：（1）时间间隔是不变量。（2）空间间隔是不变量。
在任何惯性系中，测量同一事件发生的时间间隔和空间间隔，测量结果相同。
经典力学时空观： 时间和空间是彼此独立，互不相关的，且独立于物质的运动之外的东西。
2、洛仑兹变换
（1）爱因斯坦假设
相对性原理：物理学定律与惯性系的选择无关，一切惯性系都是等价的。
光速不变原理：一切惯性系中，真空中的光速都是。
（2）洛仑兹变换
在两惯性系Ｓ和Ｓ／下中，观察同一事件的时空坐标分别为：

洛仑兹正变换： 洛仑兹逆变换

其中 或
二、狭义相对论的时空观
1.一般讨论
设有两事件A和B，其发生的时间和地点为：
S系中观测： S/系中观测：

时间间隔：
空间间隔：
目的：寻求
方法：由洛仑变换和逆变换可得其关系。

2.空间间隔的相对性——长度收缩
原长（固有长度）：观察者与物体相对静止时所测物体的长度。
长度收缩：观察者与被测物体相对运动时，被测物体的长度沿其运动方向缩短了，但垂直于运动方向不会缩短。

3.时间间隔相对性——时间膨胀
原时（固有时）：事件发生的地点与观察者相对静止的惯性系中所测量的时间。 时间膨胀:事件发生的地点与观察者相对运动的惯性系中所测量的时间。比原时长一些。

4.同时性的相对性
设有两事件A、B，在S、S/系中观察其发生的时间间隔分别为Δt和Δt’，由洛仑兹变换有：,由此可知:
(1)A、B两事件在S系中不同地点同时发生，则在S/系中观察就不同时。
(2)A、B两事件在S系中不同地点不同时发生，则在S/系中观察结果可能同时。
（3）A、B两事件在S系中同地点同时发生，则在S/系中观察就必定同时。
5、相对论速度变换
，，
【典型例题】
【例题1】 从银河系最遥远的恒星发出的光传到地球需要10５年。一个人要想在50年内飞到那里，需要多高的恒定速度?
【解】 本题可用长度收缩和时间膨胀两种方法求解
法一：长度收缩
地球上的观测者看来，光在10５年内传播的距离为
（设c的单位为千米/年)
如果另一观测者以速度v相对于地球运动，按长度收缩，地球与恒星的距离(也即飞行距离)缩短为

而可用于这一飞行距离的时间为Δt＝５０年，因此飞行的恒定速度为

即
解此方程得：v＝０．９９９９９９８７５c
法二：时钟膨胀
在飞船上的观测者看来，从地球起飞到恒星着陆，为同一地点发生两件事，其时间间隔即原时为=50年，由于时间膨胀，地球上的观测者看来，飞船飞行的时间

由于地球上观测者测得飞船飞行的距离为，飞船的速度为，则飞船飞行的时间

比较上面两式可求出飞船的速率。
【讨论】从本题可以看出，长度收缩和时间膨胀是相互统一的。关键是弄清楚原时和原长的定义。
【例题2】 甲和乙两观察者分别静止于惯性系K、K’中。甲测得同一地点发生的两事件的时间间隔为4S，而乙测得为5S，求
（1） （1）K’相对于K运动的速度；
（2）乙测得两事件发生地点的距离。
【解】 本题（1）问可用洛仑兹变换和时间膨胀两种方法求解
法一：洛仑兹变换
在K’系中该两事件发生的时空间隔分别为：

在K系中该两事件发生的时空间隔分别为：

由洛仑兹变换得：

法二：时间膨胀
（1） （1）由原时的定义，甲测得的时间即为原时，则乙测得的时间

（2）只能用洛仑兹变换求出。因为乙测得的长度也不是原长，他不是同时测距离的两端。
【分类习题】
【4-1】 系中有二事件同时发生在轴上相距的两点，系（沿轴方向相对系运动）测得这两事件发生的地点相距，求系上测得此二事件的时间间隔。
【4-2】 天津距北京120，如北京某日上午时断电，同日天津时分秒有一车祸。求在速率的沿北京到天津的飞船中，观察到这两事件的时间间隔，哪一事件在前？如其它条件不变，飞船以相同的速率从天津到北京，求上面的答案。
【4-3】 对一惯性系同时同地发生的二事件，对另一惯性系是 （填同时、不同时、可同时）；在一惯性系同时不同地发生的二事件，对另一惯性系是不同时的，是与之作相对运动 （填前面的、后面的）先发生；在一惯性系不同时、不同地发生的二事件，对另一惯性系是 的。（填同时、不同时、可同时）。
【4-4】 当惯性系和坐标原点重合时，一光源从重合点发出光波，对系经过时间后（对系经过时间后），此光波的球面方程（用直角坐标系表示）分别为，系 ，系 。
【4-5】 速度为的飞船头尾各有一光脉冲，处于船尾的观测者测得船头的光脉冲传播速度大小为 ，处于船头的观测者测得船尾的光脉冲的速度大小为 。
【4-6】 固有长度为的火箭，相对地以匀速前进，一人从火箭后端向前端靶子发射一相对火箭为的子弹，则此人测得子弹经时间 中靶。
【4-7】 某星距地面16光年，宇宙飞船以速度为 飞行时，将用4年（飞船上的钟）的时间抵达此星。
【4-8】 一人测得沿米尺长度方向飞行的米尺为0.5，求米尺相对人的速度。
【4-9】 介子在自身的参照系中的平均寿命为，如果它相对地以的速度运动，对地上的观测者，求：
（1） （1）它的平均寿命；
（2） （2）它能飞行多远？
§4-2、相对论力学基础
【基本内容】
一、相对论中的质量和动量
1.质量定义：
——物体以速度u运动时的质量，——物体静止时的质量。
2.动量定义：
二、相对论中的能量

E——物体的总能量，E0——物体的静能，EK——物体的动能。
三、相对论的质能关系——爱因斯坦质能方程：

四、能量和动量的关系 ：

【典型题例】
【例题3】 氢原子的同位素氘（）氚（）在高温条件下发生聚变反应，产生氦原子核()和一个中子()，并释放出大量能量，其反应方程为

已知氘核的质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝１.６６０×１０－２７kg),氚核、氦核和中子的质量分别为3.0155、4.0015和1.00865原子质量单位。求上述聚变反应释放出来的能量。
【解】 反应前的总质量为
２．０１３５＋３．０１５５＝５．０２９０ （原子质量单位)
反应后的总质量为
４．００１５＋１．００８７＝５．０１０２ (原子质量单位)
反应后总质量减少了

由质能关系式得

小结：质量亏损指总静止质量的减少。“质量亏损”并不与质量守恒相矛盾。反应前后系统总质量保持不变。反应后粒子总动能的增加与质量亏损相对应。
【例题4】 电子的静止能量，若电子以的速度运动，求其动能。经典计算结果的相对误差为多少？
【解】
由相对论中的能量公式得：
相对论动能：
经典动能：
相对误差：
【例题5】介子的静止能量为，固有寿命，以能量快速运动的介子，其运动的距离为多少？
【解】 由

介子运动时间：
介子运动距离：
【分类习题】
【4-10】已知一相对论粒子的动量（为粒子的静止质量）。求此粒子的的速度及动能。
【4-11】 某核电站年发电量相当于的能量，如果这是由核材料的全部静能转化所产生的，则需消耗核材料的质量为 。
【4-12】 在惯性系中，一粒子具有动量及总能量，求在系中测得粒子的速度。
【4-13】 在速度 情况下粒子动量等于非相对论动量的两倍；在速度 情况下粒子的动能等于它的静能。
【4-14】 电子被加速到动能，这种电子的速率比光速差多少？这样一个电子的动量有多大？
第4章 狭义相对论

习 题

4.1 在K系中观察到在同一地点发生两个事件，第二事件发生在第一事
件之后2s。在
K′系中观察到第二事件在第一事件后3s发生。求在K′系中这两个事件的空间
距离。
4.2 在K系中观察到两个事件同时发生在X轴上，其间距离是1m，在K′系中观察这两个事件之间的距离是2m。求在K′系中这两个事件的时间
间隔。
4.3 一宇宙飞船沿X方向离开地球（K系，原点在地心），以速率u=0.
80c航行，宇航员观察到在自己的参照系中（K′系，原点在飞船上），在时刻t′=-6.0×
108s，x′=1.8×1017m，y′=1.20×1017m，z′=0处有一超新星爆发，他把这一观测通过无线电发回地球，在地球参照系中该超
新星爆发事件的时空坐标如何?假定飞船飞过地球时其上的钟与地球上的钟的示值都指零。
4.4 天津和北京相距120km。在北京于某日上午9时正有一工厂因过载而
断电。同日在天津于9时0分0.0003秒有一自行车与卡车相撞。试求在以u=0.8c的速率沿
北京到天津方向飞行的飞船中，观察到的这两个事件之间的时间间隔。哪一个事件发生在前
?
4.5 一根直杆在K系中观测，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，设Ｋ′系以速率ｕ相对于Ｋ系沿x方向运动。试求它在K′系中的长度和它与x′轴夹角。
4.6 静止时边长为a的正立方体，当它以速率u沿与它的一个边平行的方向相
对于K¢系运动时，在K′系中测得它的体积将是多大?
4.7 宇宙射线与大气相互作用时能产生π介子衰变，此衰变在大气上层放出
叫做μ子的基本粒子。这些m子的速度接近光速（v=0.998c）。由实验室内测得的静止μ子的平均寿命等于2.2×10-6s，试问在8000m高空的π介子衰变放出的μ子能否飞到地面。
4.8 地球上的观测者发现，一只以速率0.60c向东航行的宇宙飞船将在5s
后同一个以0.80c速率向西飞行的彗星相撞。
（1）飞船中的人们看到彗星以多大速率向他们接近。
（2）按照他们的钟，还有多少时间允许他们离开原来航线避免碰撞。
4.9 远方的一颗星体，以0.80c的速度离开我们，我们接收到它辐射出来的
闪光按5昼夜的周期变化。求固定在这星体上的参照系测得的闪光周期。
4.10 在什么速度下粒子的动量等于非相对论动量的两倍?又在什么速度下粒
子的动能等于非相对论动能的两倍?
4.11 在北京正负电子对撞机中，电子可以被加速到动能为EＫ＝2.8×109eV。这种电子的速率比光速差多少m/s?这样的一个电子动量多大?（和电子
静止质量相应的能量为E0=0.511×106eV）。
4.12 最强的宇宙射线具有50j的能量，如果这一射线是由一个质子形
成的，这样一个质子的速率比光速差多少m/s?
4.13 一个质子的静止质量为 mP=1.67265×10-27kg ， 一个中子的静止质量为 mn=1.67495×10-27kg
，一个质子和一个中子结合成的氘核的静止质量m0=3.34365×10-27kg。
求结合过程中放出的能量是多少MeV?这能量叫氘核的结合能，它是氘核静止能量的百分
之几?
一个电子和一个质子结合成一个氢原子，结合能是13.58eV，这一结合能是氢原子静止
能量的百分之几?已知氢原子的静止质量为mH=1.67323×10-27kg。
4.14 太阳发出的能量是由质子参与一系列反应产生的。其结果相当于下述
热核反应：

已知一个质子（）的静止质量是mP=1.6726×10-27kg，一个氦核（）的静止静量是mHe=6.6425×10-27kg。一个正电子（）的静止质量是me=0.0009×10-27kg。问：
（1）这一反应所释放的能量是多大?
（2）消耗1kg质子所释放的能量是多少?
（3）太阳发出能量的总功率为P=3.9×1026W。它每秒钟消耗多少千克质
子?
（4）太阳约含有m=1.5×1030kg质子。假定它继续以此速率消耗质子，这
些质子可供消耗多长时间?
4.15 （1）试证：一粒子的相对论动量可写成

式中E0（=）和K各为粒子的静能量和动能。
（2）试证：带电粒子在匀强磁场中，与磁感应强度B垂直的平面上作圆周运
动时的轨道半径为

式中q为粒子所带电量。

部分习题答案
4.1 6.71×108m
4.2 0.577×10-8s
4.3 x=6.00×1016m; x=1.20×1017m
z=0； t=-2.00×108
4.4 Δt=-3.33×10-5s；天津事件先发生
4.5

4.6
4.7 μ子在衰变前已到达地面。
4.8 （１）0.95c； （２）4.00s
4.9 3昼夜
4.10 0.866c； 0.786c
4.11 4.99m/s 1.50×10-18kg·m/s
4.12 1.36×10-15m/s
4.13 2.22ＭeV； 0.12％； 1.45×10-6％
4.14 （１）4.23×10-12J； （２）6.32×1014J
（3）6.17×1011kg/s； （４）7.56×1010年