两无限大介质平面的镜像.doc

两无限大介质平面的像电荷
杨河林
（华中师范大学物理系 武汉 430079）

摘要： 讨论了两无限大介质平面的像电荷不同求法，分析了像电荷与所假设空间介质电容率有关。

在求静电场问题中，最容易掌握的方法是镜像法。它的理论基础是唯一性定理和叠加原理。对于在一些特殊边界下有限个点电荷所激发电场的一类问题，求解电位的方法是用假想的一个或几个像电荷代替分界面（导体面或介质面）上复杂的电荷（感应或极化）分布对电位的贡献，之后就不再考虑边界的作用。这样不再直接求解泊松方程，只需求解像电荷和边界内给定电荷共同激发的电位，从而使求解简化。按照唯一性定理，在所求电位区域内所得到的解只要满足泊松方程和边界条件，这个解就是唯一正确的解。这样对像电荷的要求有两点一是像电荷不能在所求电位的区域内，二是包括像电荷在内的空间所有电荷产生的电位要满足边界条件。至于像电荷的位置和大小在有些问题中并不是唯一的。以下就以两无限大介质平面为例讨论不同像电荷的求法。
Z
q (x,y,z)
q’’
a X
O
(x,y,z)

两无限大介质平面的像电荷

如图所示，空间充满两种电容率分别为和的介质，分界面为以无限大平面，在距界面为a处置一点电荷q，求空间电位的分布。
设介质、中电位分别为和，所满足的定解问题为：
（1）
1. 像电荷求法1.
考虑介质的微观本质，把空间电位看作是给定电荷、极化电荷和介质界面上极化电荷产生的，而极化电荷对电位的贡献可用像电荷来等效。这相当于把空间看作是充满了的电容率为介质。在求时像电荷在介质中距界面为b；在求时像电荷在介质中距界面也为b。电位的分布为：
（2）
式中：，，。
由边界条件得：
（3）
要使任意的x,y上式均成立，则必有：
b=a, （4）
（5）
同时，如设n为从指向的单位法矢，、分别为介质中的极化强度，可求得界面上的极化电荷分布及总电量为
（6）
（7）
讨论：（1），则 =0，电位。
（2）（导体）则 =-q，电位，
2. 像电荷求法2.
依据无限大介质中点电荷产生的电位是，在求时把空间看作是充满了的电容率为介质，像电荷在下半空间中距界面为a；在求时把空间看作是充满了的电容率为介质，像电荷在上半空间中距界面为a。电位的分布为：
（8）
式中：，。
由边界条件得： （9）
（10）
把（10）代入（8）所求电位分布与像电荷求法1求得的结果一样。同理可求得界面上的极化电荷总电量为 。
讨论：（1），则 ，电位。
（2）（导体）则 =-q，电位，
3. 像电荷求法3.
与前两种方法相似，在求时把上半空间看作是充满了的电容率为介质，下半空间看作是充满了的电容率为介质，此时的分界面对电位的计算无任何作用，像电荷在下半空间中距界面为a；在求时把空间看作是充满了的电容率为介质，像电荷在上半空间中距界面为a，电位的分布为：
（11）
式中：，。由边界条件得：
同理可求得界面上的极化电荷总电量为 。
讨论：（1），则 ，电位。
（2）（导体）则 ，，电位，.
4. 结论
以上, 我们只列举了三种像电荷求法,其实作为求法3的推广，在求时把上半空间看作是充满了电容率为介质，下半空间看作是充满了任意电容率的介质都是可以的，像电荷在下半空间中距界面为a；在求时把空间看作是充满了的电容率为（或是）介质，像电荷在上半空间中距界面为a。同理得：
，，
式中：，。
界面上的极化电荷总电量为 。
讨论：（1），则 ，电位
（2）（导体）则 ，，电位，。
综上所述，对于两无限大介质平面，在求像电荷所产生的电位时，由于界面的作用已不考虑，空间电容率的分布可以任意假设，像电荷就有不同的取值，像电荷无论怎么取空间电位的分布是唯一的。通过这个例子一方面能够更好地掌握镜像法的运用另一方面也是对静电场唯一性定理的具体认识。
参考文献：
[1] 郭硕鸿. 电动力学. 北京: 高等教育出版社, 1997
[2] 宋福, 李英华.西安: 西安交通大学出版社, 2000

Image charges of two dielectric infinite plane
Yang He-lin

Abstract: Different image charges related to assumed permittivity of space can be obtained for two
dielectric infinite plane.