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双曲线的标准方程及其几何性质
主讲教师：刘杨

【知识概述】

一、双曲线的概念
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.
二、标准方程与性质
标准
方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图
形

性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0,－a),A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

【学前诊断】

1．[难度] 易
双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.

2．[难度] 中
双曲线方程：＋＝1，那么k的取值范围是 ．
3．[难度] 中
若双曲线－＝1的一条渐近线方程为＋y＝0，则此双曲线的离心率为________．

【经典例题】

例1．在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点和，若顶点B在双曲线的左支上，则 =______________.

例2．已知F是双曲线的左焦点，A（1,4），P是双曲线右支上的动点，则
的最小值为________________.

例3．根据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线有共同的渐近线，且过点；
(2)与双曲线有公共焦点，且过点．

例4． 中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．

例 5．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P.
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：；
（3）求的面积.

【本课总结】

解题技巧
1．双曲线中a，b，c的关系
双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)，它的三边长分别是a、b、c.易见c2＝a2＋b2，若记∠AOB＝θ，则e＝＝.
2．双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a<|F1F2|，这里要注意两点：
(1)距离之差的绝对值；(2)2a<|F1F2|.
这两点与椭圆的定义有本质的不同：
①当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
②当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
③当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
④当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．
3．渐近线与离心率
－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝＝＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
4. 求双曲线的方程
求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ (λ≠0)．
5．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.
6．共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；放大的双曲线；共轭放大或放大后共轭的双曲线．所以与双曲线－＝1共用渐近线的双曲线的方程可设为－＝t (t≠0)．
7．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1的两条渐近线方程．

易错防范
1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
2．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．
3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.
4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．
5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．

【活学活用】

1．[难度] 易
双曲线中心在原点，且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是 (　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1

2. [难度] 中
某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A(－2,2)，B，则 (　　)
A．曲线C可为椭圆也可为双曲线 B．曲线C一定是双曲线
C．曲线C一定是椭圆 D．这样的曲线C不存在
3. [难度] 中
已知F为双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．

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数学·选修2-1