高二奥赛01.doc

1、一弹篱振子做简谐运动，周期为T，下述正确的是（ ）
A．若t时刻和(t+△t)时刻运动位移的大小相等、方向相同，则△t一定为T的整数倍
B．若t时刻和(t+↑t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则△t一定等于的整数倍
C．若△t=T，则在t时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度一定相同
D．若，则在t时刻和(t+△t)时刻弹簧的长度一定相等
解：对选项A，只能说明这两个时刻振子位于同一位置，并未说明这两个时刻振子的运动方向是否相同，认为△t一定等于T整数倍是错误的．对选项B，振子两次到达同一位置时可以速度大小相等，方向相反，但并不能肯定△t等于的整数倍．选项B错．在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度相等，选项C正确．相隔的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置可能位于关于平衡位置对称的两点，弹簧的形变量大小相同，但一种是压缩另一种是伸长，故弹簧长度不一定相同，选项D错误．
说明：本题主要考查简谐运动具有往复性，对称性和周期性等特征．要注意振子位于同一位置、时间间隔为和T时其回复力、加速度、速度等量的对应关系．

2、三根长均为l=2米，质量均匀的直杆，构成一个正三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠蹬运动是一种什么样的运动．
解：对框架：当它处于静止状态时，框架所受合外力的力矩必为零．(本题中不妨以C点为转动点)．设在某一时刻，松鼠离开杆中点O的距离为d，则松鼠重力对转轴C的力矩大小为mgd，方向沿顺时针方向，为使框架始终静止，松鼠必对杆AB施一水平力F，且力F对转轴C的力矩应与重力力矩相平衡．由平衡条件有：mgd=Flsin60°，得。此式反应出了松鼠在水平方向上作用于AB杆的力随位置的变化关系．
对松鼠：其竖直方向受力平衡，而水平方向受到AB杆的作用力F′与F为一对相互作用力，即．根据松鼠的受力特征易知：它在杆AB上的运动是一种简谐运动．其运动的周期．又杆总长为2m，两端到中点距离均为1m，故其振幅A≤1m．
说明：本题主要考查力矩平衡条件和简谐运动的受力特征．要能紧紧扣住力和运动状态间的密切联系．

3、半径为R的细圆环，其质量与固定在其上的两个相同的小重物相比可以忽略不计．在环上与两个小重物等距处钻一个小孔O，如下图所示，将孔穿过墙壁上的钉子而把环悬挂起来，使环可以在竖直平面内无能量损失地做微小的简谐运动，两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离2α表示．求此装置的振动周期，摆长L为多少的单摆自由振动的周期和图示的摆相同．
解：小重物通过平衡位置时(即两小球位于同一高度时)其速度具有最大值

在平衡位置时，两球的重心G距O点的距离L=R-Rcosα=R(1-cosα)

与这个摆周期相同的单摆摆长为L=2R．
说明：本题主要考查机械能守恒和简谐运动的综合应用．要求能利用机械能守恒定律，结合数学中的三角函数变换得出周期的表达式．

4、如图所示是一种记录地震装置的一种摆，质量为m的摆球固定在边长为L，质量可以忽略不计的等边三角形的顶点A上，其对边BC跟竖直线成α角，摆球可绕固定轴BC摆动，求摆球作微小振动的周期．
解：摆球作微小的振动是一种简谐运动，与简单的单摆相比较，其摆长l和重力加速度g均发生异化．在这个摆中，当m作微小振动时，实际是围绕AB的中点O运动，故其等效摆长为．因m绕O点摆动，其等效重力mg′=mgsinα，即g′=gsinα．
故该摆的周期
说明：本题主要考查异型摆的周期，要求能根据题意准确地求出其等效摆长和等效重力加速度．

5、如图所示，在劲度系数为K的弹簧下面悬挂一质量为M的盘．盘不动时，一个质量为m的质点自高h处落入盘中，与盘发生完全非弹性碰撞，以碰后瞬时为计时起点，求盘子的振动方程．

解：质点m先作自由落体运动，设质点刚要与盘相碰时的速度为v0，由机械能守恒有．质点与盘相碰的瞬间两者具有相同运度v，由碰撞瞬间满足动量守恒有mv0=(M+m)，得．以此时盘底的位置为坐标原点，竖直向下方向为y轴正方向，当系统中的盘和质点处于平衡位置日寸的坐标为y0．则有ky0=mg，得，此系统的振动周期，振动角频率．
设其振动方程为

说明：本题主要考查简谐运动振动方程的求法．要求能根据振动方程的一般表达式和初始条件求解．