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专题一 记忆能力与运算能力
一 记忆能力
记忆是系统化知识,形成方法,思想的先决条件,因而我们对记忆能力应引起足够的重视.
下面来试试你的记忆能力:
1．求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？
2．函数与其反函数之间的一个有用的结论：
3．原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．
4． 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？
5. 你知道函数的单调区间吗？（该函数在或上单调递增；在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
6.  解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.
7.  你知道判断对数符号的快捷方法吗？
8.  “实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当a=0时，“方程有解”不能转化为．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
9. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
10. 在三角中，你知道1等于什么吗？（ 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．
11.  你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）
12. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()
13. 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是.
②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．
③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．
14. 分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分）
15. 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）
16. 利用重要不等式 以及变式等求函数的最值时，你是否注意到a，b（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？
17.  在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……．
18. 等差数列中的重要性质：若，则；
等比数列中的重要性质：若，则．
19. 你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（时，；时，）
20. 等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是
（a, b为常数）其公差是2a.
21. 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若，其中是等差数列，是等比数列，求的前n项的和）
22. 用求数列的通项公式时，你注意到了吗？
23. 你还记得裂项求和吗？（如 .）
24. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
25. 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．
26. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.
27. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）
28. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）
29. 你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见
30. 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？（例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）
31. 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值可要搞清）
32.   对不重合的两条直线，，有
； ．
33. 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
34. 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式.　一般来说，前者更简捷．
35. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
36. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.
37.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？
38.还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p,的意义吗？
39. 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？
40．离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？
41. 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.
42. 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．（a，b，c）
43. 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.
44.只要的求导公式有哪些?
(1),(2),(3),(4),(5),
(6),(7),(8),(9),
(10),(11),(12).
45.  解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等等)
46. 解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．
47. 解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．
48. 解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量,　想方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．
二 运算能力
每年高考都说要控制运算量,但结果是每年都控制不了.理由很简单:有数学,就有运算.
不厌其繁的运算,可以培养我们的耐性,和坚忍不拔的性格.
问题1任一分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式,你相信吗?试几个看看.
(1)= ;
(2)= ;
(3)请你自己写一个试试: .

问题2已知三角形的三个顶点分别是,
求角平分线AM所在直线的方程.

问题3(如图)已知正四棱锥的各条棱长均为1,
E,F分别为VB,VC的中点.
(I)求平面PAB与平面PBC所成的角的大小;
(II)求点A到平面PBC的距离;
(III)求直线AE与平面PBC所成的角的大小;
(IV)求异面直线AE与BF所成的角的大小;

问题4某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测
点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点
到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为
340m/ s :相关各点均在同一平面上)

问题5设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、
D两点,C、D三等分线段AB. 求直线的方程.

问题解答:问题1(略).问题2
解(一):可得,,设直线AM的斜率为,则
,即,得,
有,解得,(舍去)
得角平分线AM的方程为:
即.
解(二):,它的单位向量
,它的单位向量
则AM与(+,)同向
得,(下同解一).
问题3解:(I)(如图)以正方形ABCD的中心为原点,建立空间直角坐标系,则

得,,,
,,
设平面PBC的法向量为,则,
有,得,有,则
得,同理得平面PBC的法向量,则
,
而平面PAB与平面PBC所成的角为钝角,所以它的大小为.
(II)由,设与所成的角为,则

则点A到平面PBC的距离.
(III)可得E,有,设与所成的角为,则
,
得AE与平面PBC所成的角为.
(IV)可得F,得,设与所成的角为,则

得AE与BF所成的角为.
问题4 解：如图，

以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
问题5解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为
y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：

依题意有，由

若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故
由

故l的方程为
(ii)当b=0时，由(1)得

由
故l的方程为
再讨论l与x轴垂直的情况.
设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，

综上所述，故l的方程为、和
专题二 集合 函数 不等式 导数
一 能力培养
1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想;
4,运算能力; 5,转化能力.
二 问题探讨
[问题1] 已知,,分别就下面条件求的
取值范围:
(I);(II).

[问题2]求函数的单调区间,并给予证明.

[问题3]已知.
(I)若在定义域R内单调递增,求的取值范围;
(II)若在上单调递减,在上单调递增,求的值;
(III)设在(II)的条件下,求证的图象恒在图象的下方.

[问题4]设.
(I)试判断的单调性;
(II)若的反函数为,证明只有一个解;
(III)解关于的不等式.
三 习题探讨
选择题
1已知函数,则的单调减区间是
A, B, C, D,
2已知集合M={,N={,下列法则不能构成M到N的映射的是
A, B, C, D,
3已知函数，奇函数在处有定义，且时,
，则方程·的解的个数有
A,4个 B,2个 C,1个 D,0个
4如果偶函数在上的图象如右图,则在
上,=
A, B, C, D,
5设函数,已知,则的取值范围为
A, B, C, D,
6对于函数,有下列命题:①是增函数,无极值;②是减函数,
无极值;③的增区间是,,的减区间是(0,2);④是极
大值,是极小值.其中正确的命题有
A,一个 B,二个 C,三个 D,四个
填空题
7函数的定义域是 .
8已知,则 .
9函数单调递增区间是 .
10若不等式对满足的恒成立,则实数
的取值范围是 .
11在点M(1,0)处的切线方程是 .
解答题
12函数的定义域为集合A,函数的定义域
集合B,当时,求实数的取值范围.

13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线与线段AB有两个不同的
交点,求的取值范围.

14已知定义在R上的函数,满足:,且时,,
.
(I)求证:是奇函数; (II)求在上的最大值和最小值.

15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和
描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的
兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用表
示学生掌握和接受概念的能力(值越大,表示接受的能力越强),表示提出和讲授
概念的时间(单位:分),可有以下公式:

(I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间?
(II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些?
(III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直
达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?

16已知函数,其中,为自然对数的底数.
(I)讨论函数的单调性;(II)求函数在区间[0,1]上的最大值.

四 参考答案:
问题1:
,.
由有
得 与,矛盾!
故当时,的取值范围是;
(II)解:,
,
由必有,得
或
得 (舍去)或
得
故当时, 的取值范围是.
温馨提示:在处理集合的问题中,别忘了我们的好朋友 空集.
问题2:解:(1)当时,, 令,得
它的定义域是, 得的单调增区间是,
它分别在,上为增函数. 的单调减区间是.
(2)当时,的定义域是, (3)当时,的定义域是,

令,得或 得的单调增区间是.
温馨提示:①对参数进行分类讨论,是处理含参数问题的常用方法,
②()为增(减)函数,反之不行;
③以上单调区的书写格式,符合国际标准,请放心使用.
问题3:解:(I),得.
在R上单调递增,恒成立,即,恒成立
又时,,得.
(II),
而在上单调递减,得在上恒成立,有,
又当时, ,得 ①
又在上单调递增,得在上恒成立,有,
又当时,,得 ②
由①,②知.
(III)由(II)可知是的最小值,有,
而,
故,即的图象恒在图象的下方.
温馨提示:恒成立时,转化为进行考虑,合情合理.
问题4:(I)解:的定义域是,得
所以在上是减函数.
(II)证明:假设存在且,使,,则有
,,于是得,与矛盾!
所以只有一个实根.
(III)解:由(II)得,即,
又=
而在上是减函数,得,有或.
即的解集是.
温馨提示:为增(减)函数(),反之不行.
习题1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B.
1,,有,2,我们由映射的概念:每一个,有唯一的
由,得 一个与它对应.知,A,B,D.都满足.
函数为上的增函数, 而在C中,M中的1与对应,
求的单调减区间, 但,在N中找不到了.选C.
即求的单调减区间,于是选C.
3,设,则,得=,有,
(1)当时,由,得
,解得,.
(2)当时,由,得,无解.
(3)当时,由,得,无解.选B.
4,由,,知只有C正确.
5,当与时,均合题意,而时,,不合题意,选B.6,③④正确.选B.
7,令,得,,得.
8,令,有,,得,[0,2].
9,令,得.而它在上递增,在上递减,
而当时,,↗,↗,↘;当时,↗,↗,↗;
当时,↗,↘,↘.于是得递增区间是.
10,设,,由题意,当时,的图象总在的图象的
下方.当时,显然不合题意;当时,必有,,
得,又,于是. 11, =
=,得,有x+2y-1=0.
12,解:,而,
,
又由题意知,且,,
解得,故的取值范围是.
温馨提示:函数的定义域,值域,均为非空集.你留意到了没有?
13,解:过A,B两点的直线方程为,令,则这方程有两相异实根
,且.设,则问题等价于
,解得.所以的取值范围是.
14,解:(I)由,令,得,
又令,有,得,于是,.
所以是奇函数.
(II)又时,
设,则=
而,得,有,即
得在R上是减函数,于是它在上有最大值,最小值
而,=6.
所以在R上有最大值6,最小值.
15,解:(I)当时,
,得递增, 最大值为59.
当时,递减,
因此,开讲后10分钟,学生达到最强的接受能力(值为59),并维持6分钟.
(II),
因此开讲后5分钟,学生的接受能力比开讲后20分钟强一些.
16,解:(I).
①当时,令,得.
若,则,从而在上单调递增;
若,则,从而在上单调递减;
②当时,令,得=0,有.
若或,则,从而在,上单调递减;
若,则,从而在上单调递增;
(II)①当时,在区间上的最大值是;
②当时,在区间上的最大值是;
③当时,在区间上的最大值是.

专题二 集合 函数 不等式 导数
一 能力培养
1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想;
4,运算能力; 5,转化能力.
二 问题探讨
[问题1] 已知,,分别就下面条件求的
取值范围:
(I);(II).

[问题2]求函数的单调区间,并给予证明.

[问题3]已知.
(I)若在定义域R内单调递增,求的取值范围;
(II)若在上单调递减,在上单调递增,求的值;
(III)设在(II)的条件下,求证的图象恒在图象的下方.

[问题4]设.
(I)试判断的单调性;
(II)若的反函数为,证明只有一个解;
(III)解关于的不等式.
三 习题探讨
选择题
1已知函数,则的单调减区间是
A, B, C, D,
2已知集合M={,N={,下列法则不能构成M到N的映射的是
A, B, C, D,
3已知函数，奇函数在处有定义，且时,
，则方程·的解的个数有
A,4个 B,2个 C,1个 D,0个
4如果偶函数在上的图象如右图,则在
上,=
A, B, C, D,
5设函数,已知,则的取值范围为
A, B, C, D,
6对于函数,有下列命题:①是增函数,无极值;②是减函数,
无极值;③的增区间是,,的减区间是(0,2);④是极
大值,是极小值.其中正确的命题有
A,一个 B,二个 C,三个 D,四个
填空题
7函数的定义域是 .
8已知,则 .
9函数单调递增区间是 .
10若不等式对满足的恒成立,则实数
的取值范围是 .
11在点M(1,0)处的切线方程是 .
解答题
12函数的定义域为集合A,函数的定义域
集合B,当时,求实数的取值范围.

13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线与线段AB有两个不同的
交点,求的取值范围.

14已知定义在R上的函数,满足:,且时,,
.
(I)求证:是奇函数; (II)求在上的最大值和最小值.

15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和
描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的
兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用表
示学生掌握和接受概念的能力(值越大,表示接受的能力越强),表示提出和讲授
概念的时间(单位:分),可有以下公式:

(I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间?
(II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些?
(III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直
达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?

16已知函数,其中,为自然对数的底数.
(I)讨论函数的单调性;(II)求函数在区间[0,1]上的最大值.

四 参考答案:
问题1:
,.
由有
得 与,矛盾!
故当时,的取值范围是;
(II)解:,
,
由必有,得
或
得 (舍去)或
得
故当时, 的取值范围是.
温馨提示:在处理集合的问题中,别忘了我们的好朋友 空集.
问题2:解:(1)当时,, 令,得
它的定义域是, 得的单调增区间是,
它分别在,上为增函数. 的单调减区间是.
(2)当时,的定义域是, (3)当时,的定义域是,

令,得或 得的单调增区间是.
温馨提示:①对参数进行分类讨论,是处理含参数问题的常用方法,
②()为增(减)函数,反之不行;
③以上单调区的书写格式,符合国际标准,请放心使用.
问题3:解:(I),得.
在R上单调递增,恒成立,即,恒成立
又时,,得.
(II),
而在上单调递减,得在上恒成立,有,
又当时, ,得 ①
又在上单调递增,得在上恒成立,有,
又当时,,得 ②
由①,②知.
(III)由(II)可知是的最小值,有,
而,
故,即的图象恒在图象的下方.
温馨提示:恒成立时,转化为进行考虑,合情合理.
问题4:(I)解:的定义域是,得
所以在上是减函数.
(II)证明:假设存在且,使,,则有
,,于是得,与矛盾!
所以只有一个实根.
(III)解:由(II)得,即,
又=
而在上是减函数,得,有或.
即的解集是.
温馨提示:为增(减)函数(),反之不行.
习题1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B.
1,,有,2,我们由映射的概念:每一个,有唯一的
由,得 一个与它对应.知,A,B,D.都满足.
函数为上的增函数, 而在C中,M中的1与对应,
求的单调减区间, 但,在N中找不到了.选C.
即求的单调减区间,于是选C.
3,设,则,得=,有,
(1)当时,由,得
,解得,.
(2)当时,由,得,无解.
(3)当时,由,得,无解.选B.
4,由,,知只有C正确.
5,当与时,均合题意,而时,,不合题意,选B.6,③④正确.选B.
7,令,得,,得.
8,令,有,,得,[0,2].
9,令,得.而它在上递增,在上递减,
而当时,,↗,↗,↘;当时,↗,↗,↗;
当时,↗,↘,↘.于是得递增区间是.
10,设,,由题意,当时,的图象总在的图象的
下方.当时,显然不合题意;当时,必有,,
得,又,于是. 11, =
=,得,有x+2y-1=0.
12,解:,而,
,
又由题意知,且,,
解得,故的取值范围是.
温馨提示:函数的定义域,值域,均为非空集.你留意到了没有?
13,解:过A,B两点的直线方程为,令,则这方程有两相异实根
,且.设,则问题等价于
,解得.所以的取值范围是.
14,解:(I)由,令,得,
又令,有,得,于是,.
所以是奇函数.
(II)又时,
设,则=
而,得,有,即
得在R上是减函数,于是它在上有最大值,最小值
而,=6.
所以在R上有最大值6,最小值.
15,解:(I)当时,
,得递增, 最大值为59.
当时,递减,
因此,开讲后10分钟,学生达到最强的接受能力(值为59),并维持6分钟.
(II),
因此开讲后5分钟,学生的接受能力比开讲后20分钟强一些.
16,解:(I).
①当时,令,得.
若,则,从而在上单调递增;
若,则,从而在上单调递减;
②当时,令,得=0,有.
若或,则,从而在,上单调递减;
若,则,从而在上单调递增;
(II)①当时,在区间上的最大值是;
②当时,在区间上的最大值是;
③当时,在区间上的最大值是.

专题四 三角 平面向量 复数
一 能力培养
1,数形结合思想 2,换元法 3,配方法 4,运算能力 5,反思能力
二 问题探讨
问题1设向量,,
求证:.

问题2设,其中向量,,
(I)若且,求; (II)若函数的图象
按向量平移后得到函数的图象,求实数的值.

问题3(1)当,函数的最大值是 ,最小值是 .
(2)函数的最大值是 .
(3)当函数取得最小值时,的集合是 .
(4)函数的值域是 .

问题4已知中,分别是角的对边,且,=
,求角A.

三 习题探讨
选择题
1在复平面内,复数对应的向量为,复数对应的向量为,
那么向量对应的复数是
A,1 B, C, D,
2已知是第二象限角,其终边上一点P(),且,则=
A, B, C, D,
3函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是
A, B, C, D,
4已知向量,向量,向量,则向量
与向量的夹角的取值范围是
A, B, C, D,
5已知,,且与的夹角为钝角,则的取值范围是
A, B, C, D,
6若是三角形的最小内角,则函数的值域是
A, B, C, D,
填空题
7已知,则= .
8复数,,则在复平面内的对应点位于第 象限.
9若,则= .
10与向量和的夹角相等,且长度为的向量 .
11在复数集C内,方程的解为 .
解答题
12若,求函数的最小值,并求相应的的值.

13设函数,,若当时,
恒成立,求实数的取值范围.

14设,且,复数满足,求的最大值与最小值勤.

15已知向量,,且
(I)求及; (II)求函数的最小值.

16设平面向量,.若存在实数和角,
使向量,,且.
(I)求函数的关系式; (II)令,求函数的极值.

参考答案:
问题1证明:由,且
得= ①
在①中以代换得=.
即.
温馨提示:向量是一种很好用的工具.运用好它,可简捷地解决一些三角,平几,立几,解几等问题.
问题2解:(I)可得
由=1,得
又,得,有=,解得.
(II)函数的图象按向量平移后得到函数,
即的图象.也就是=的图象.
而,有,.
问题3解:(1)
而,有,
当,即时,;当,即时,.
(2),令,则,有
,得
令,有,
①当时,,为增函数;②当时,,为减函数.
=,而,
于是的最大值是.
(3)
当,即时,.
(4)可得,有
得,有,
得,又,于是有的值域是.
问题4解:由已知得,即,又
得,.
又得由余弦定理.
得,.
由正弦定理得,有.
又,得为最大角.
又,有,于是.
所以得.
习题:1得,,选D.
2 ,又,得或(舍去),
有,,选A.
3它的对称轴为:,即,有,选A.

4(数形结合)由,知点A在以
(2,2)为圆心,为半径的圆周上(如图),过原点O作
圆C的切线,为切点,由,
知,有,
过点O作另一切线,为切点,则,选D.
5由,,设与的夹角为,则,
有,即,得,有,选A.
6由,令而,得.
又,得,
得,有,选D.
7显然且,有,
当时,,有,于是,得,则
得到,
当时,同理可得.
8 ,它对应的点位于第一象限.
9由,得,有,即.
则,原式=.
10设,则,.
设与,的夹角分别为,则,
由,得=①;由=,得.②
由①,②得, ,,于是或
11设,,代入原方程整理得
有,解得或,所以或.
12解:

令,得
由,得,有,.
于是当,即,得时,.
13解:由,知是奇函数,
而
得在R上为增函数,则有
,令有
,恒成立.①
将①转化为:,
(1)当时,;
(2)当时,,由函数在上递减,知
当时,,于是得.
综(1),(2)所述,知.

14解:设,由得,
得
由,得,从而,
设在复平面上的对应点分别为,由条件知W为
复平面单位圆上的点,的几何意义为单位圆上的点W到点Z的距离,所以
的最小值为;最大值为.
15解(I),
,得
().
(II)
当且仅当时,.
16解:(I)由,,得
=,即,得
.
(II)由,得
求导得,令,得,
当,,为增函数;当时,,为减函数;
当时,,为增函数.
所以当,即时,有极大值;当,即时,有极小
值.
专题五 直线 圆锥曲线 平面向量
一 能力培养
1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力
二 问题探讨
问题1设坐标原点为O,抛物线与过焦点的直线交于A,B两点,求的值.

问题2已知直线L与椭圆交于P,Q不同两点,记OP,OQ的斜率分别为
,,如果,求PQ连线的中点M的轨迹方程.

问题3给定抛物线C:,F是C的焦点,过点F的直线与C相交于A,B两点.
(I)设的斜率为1,求与夹角的大小;
(II)设,若,求在轴上截距的变化范围.

问题4求同时满足下列三个条件的曲线C的方程:
①是椭圆或双曲线; ②原点O和直线分别为焦点及相应准线;
③被直线垂直平分的弦AB的长为.

三 习题探
选择题
1已知椭圆的离心率,则实数的值为
A,3 B,3或 C, D,或
2一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心的轨迹为
A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线
3已知双曲线的顶点为与(2,5),它的一条渐近线与直线平行,则双曲
线的准线方程是
A, B, C, D,
4抛物线上的点P到直线有最短的距离,则P的坐标是
A,(0,0) B, C, D,
5已知点F,直线:,点B是上的动点.若过B垂直于轴的直线与线段
BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是
A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线
填空题
6椭圆上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离
为,则此椭圆的方程为 .
7与方程的图形关于对称的图形的方程是 .
8设P是抛物线上的动点,点A的坐标为,点M在直线PA上,
且分所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是 .
9设椭圆与双曲线有共同的焦点,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍,
则椭圆与双曲线的交点轨迹是 .
解答题
10已知点H,点P在轴上,点Q在轴的正半轴上,点M在直线PQ上,
且满足,.
(I)当点P在轴上移动时,求点M的轨迹C;
(II)过点T作直线与轨迹C交于A,B两点,若在轴上存在一点E,
使得是等边三角形,求的值.

11已知双曲线C:,点B,F分别是双曲线C的右顶点和右焦点,
O为坐标原点.点A在轴正半轴上,且满足成等比数列,过点F作双曲
线C在第一,第三象限的渐近线的垂线,垂足为P.
(I)求证:; (II)设,直线与双曲线C的左,右两分
支分别相交于点D,E,求的值.

12已知双曲线的两个焦点分别为,,其中又是抛物线的焦点,点A,
B在双曲线上.
(I)求点的轨迹方程; (II)是否存在直线与点的轨迹有且只
有两个公共点?若存在,求实数的值,若不存在,请说明理由.

四 参考答案
问题1解:(1)当直线AB轴时,在中,令,有,则
,得.
(2)当直线AB与轴不互相垂直时,设AB的方程为:
由,消去,整理得,显然.
设,则,得
=+=+
=
==.
综(1),(2)所述,有.
y
p
Q
o
问题2解:设点P,Q,M的坐标分别为,
x
由条件知 ① ②
, ③ ④
①+②得
即,将③,④代入得,
于是点M的轨迹方程为.
问题3解:(I)C的焦点为F(1,0),直线的斜率为1,所以的方程为,
把它代入,整理得
设A,B则有.
+1=.

,
所以与夹角的大小为.
(II)由题设得,即.
得,又,有,可解得,由题意知,
得B或,又F(1,0),得直线的方程为
或,
当时,在轴上的截距为或,由,可知
在[4,9]上是递减的,于是,,
所以直线在轴上的截距为[].
问题4解:设M为曲线C上任一点,曲线C的离心率为,由条件①,②得
,化简得: (i)
设弦AB所在的直线方程为 (ii)
(ii)代入(i)整理后得: (iii),
可知不合题意,有,
设弦AB的端点坐标为A,B,AB的中点P.则,是方程(iii)的两根.
,
,,又中点P在直线上,
有+=0,解得,即AB