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由数列的递推公式求通项公式

一　准备知识
所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{an}，an的公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列．

等差数列
等比数列
定义
数列{an}的后一项与前一项的差an－an－1为常数d
数列{an}的后一项与前一项的比为常数q（q≠0）
专有名词
d为公差
q为公比
通项公式
an=a1+（n－1）d
an=a1·qn－1
前n项和
Sn=
Sn=
数列的前n项和Sn与通项公式an的关系是：an=Sn－Sn－1（n≥2）．
有些数列不是用通项公式给出，而是用an与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：an＋1=2an+3，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．
数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题．
二　例题精讲
例1．（裂项求和）求Sn=．
解：因为an==
所以Sn==1－

例2．（倒数法）已知数列{an}中，a1=，an+1=，求{an}的通项公式．
解：
∴是以为首项，公差为2的等差数列，即+2（n－1）=
∴an=

练习1．已知数列{an}中，a1=1，Sn=，求{an}的通项公式．
解：
∴是以1为首项，公差为2的等差数列．
∴=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=．
∴an=Sn－Sn－1==
∴an=

例3．（求和法，利用公式an=Sn－Sn－1，n≥2）已知正数数列{an}的前n项和Sn=，求{an}的通项公式．
解：S1=a1=，所以a1=1．
∵an=Sn－Sn－1 ∴2Sn=Sn－Sn－1+
∴Sn+Sn－1=，即Sn2－Sn－12=1
∴是以1为首项，公差为1的等差数列．
∴Sn2=n，即Sn=
∴an=Sn－Sn－1=－（n≥2）
∴an=－．

例4．（叠加法）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3×（－）n－1（n≥3），且S1=1，S2=－，求{an}的通项公式．
解：先考虑偶数项有：
S2n－S2n－2=－3·
S2n－2－S2n－4=－3·
……
S4－S2=－3·
将以上各式叠加得S2n－S2=－3×，
所以S2n=－2+．
再考虑奇数项有：
S2n＋1－S2n－1=3·
S2n－1－S2n－3=3·
……
S3－S1=3·
将以上各式叠加得S2n＋1=2－．
所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×．
综上所述an=，即an=（－1）n－1·．
例5．（an+1=pan+r类型数列）在数列{an}中，an+1=2an－3，a1=5，求{an}的通项公式．
解：∵an+1－3=2（an－3）
∴{an－3}是以2为首项，公比为2的等比数列．
∴an－3=2n
∴an=2n+3．

练习2．在数列{an}中，a1=2，且an+1=，求{an}的通项公式．
解：an+12=an2+
∴an+12－1=（an2－1）
∴{an+12－1}是以3为首项，公比为的等差数列．
∴an+12－1=3×，即an=

例6（an+1=pan+f（n）类型）已知数列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通项公式．
解：（待定系数法）设an+p·3n=an－1+p·3n－1
则an=an－1－2p·3n－1，与an=an－1+3n－1比较可知p=－．
所以是常数列，且a1－=－．
所以=－，即an=．

练习3．已知数列{an}满足Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n项和，求{an}的通项公式．
解：∵an=Sn－Sn－1
∴Sn+Sn－Sn－1=2n+1
∴2Sn=Sn－1+2n+1
（待定系数法）设2（Sn+pn+q）=Sn－1+p（n－1）+q
化简得：－pn－p－q=2n+1，所以，即
∴2（Sn－2n+1）=Sn－2（n－1）+1，
又∵S1+a1=2+1=3，∴S1=，S1－2+1=
∴{Sn－2n+1}是以为公比，以为首项的等比数列．
∴S n－2n+1=，即Sn=+2n－1，an=2n+1－Sn=2－．

例7．（an+1=panr型）（2005年江西高考题）已知数列{an}各项为正数，且满足a1=1，an+1=．（1）求证：an<an+1<2；（2）求{an}的通项公式．
解：（1）略．
（2）an+1=－（an－2）2+2
∴an+1－2=－（an－2）2
∴2－an+1=（2－an）2
∴由（1）知2－an>0，所以log2（2－an+1）=log2（2－an）2=2·log2（2－an）－1
∴log2（2－an+1）－1=2［log2（2－an）－1］
即{log2（2－an）－1}是以―1为首项，公比为2的等比数列
∴log2（2－an）－1=－1×2n－1
化简得an=2－．
练习4．（2006年广州二模）已知函数（）．
在数列中，，（），求数列的通项公式．
解：，
从而有，
由此及知：
数列是首项为，公比为的等比数列，
故有（）。

例8．（三角代换类型）已知数列{an}中，a1=2，an=，求{an}的通项公式．
解：令an－1=tan，则an+1==tan
∴an=tan．