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第2讲：行列式与矩阵简介
1.行列式
1.1二元一次方程与二阶行列式
对线性方程组：
a1 x + b1 y = c1 (1)
a2 x + b2 y = c2 (2)
消元法：
① b2×（1）的两端，b1×（2）的两端，结果为：
a1b2 x + b1b2 y = c1 b2 (3)
a2b1 x + b1b2 y = c2 b1 (4)
（3）—（4）得：
（a1b2—a2b1）x = c1 b2—c2 b1 （5）
于是，若a1b2—a2b1≠0，便可求出x：
x =（c1 b2—c2 b1）/（a1b2—a2b1） （6）
② a2×（1），a1×（2），结果为：
a1a2 x + a2b1 y = a2c1 （7）
a1a2 x + a1b2 y = a1c2 （8）
（7）—（8）得：
（a2b1—a1b2）y = a2c1—a1c2 （9）
y =（a2c1—a1c2）/（a2b1—a1b2） （10）
③ 找规律：

称为二阶行列式。横的为行，竖的为列。数a1、a2、b1 、b2、c1 、c2称为行列式的元素。于是 ，使用行列式的记号，方程组（1）和（2）的解便可表示为：

[例] 2x + 3y = 9
x + 7y = -4

∴x = 75/11 y = -17/11
1.2.三元一次方程组与三阶行列式
对线性方程组：
a1 x1 + b1 y1 + c1 z1 = d1 (1)
a2 x2 + b2 y2 + c2 z2 = d2 (2)
a3 x3 + b3 y3 + c3 z3 = d3 (3)

x = △1/△ y = △2/△ z = △3/△
为了便于研究行列式的性质，把位于行列式第i行第j列的元素记做aij，使用这种记号，二阶行列式变为：

三阶行列式变为：

对n阶行列式： △n1称为原行列式去掉an1所在的一行和一列后的“子式”。
1.3 行列式的性质
①行列式的任二列（或）行交换，其值不变，但改变符号。

对三阶行列式也是如此，交换两次不变号。
②用常数λ乘行列式任意一列的诸元素，等于用λ乘这个行列式。

同理可知：

③若行列式中任意二列元素相同或成比例，则行列式的值为零。
证明：以三阶行列式为例，令bi/ ai =λ≠0，i =1，2，3，即一、二两列元素成比例，于是bi=λai ，从而有:

④ 加法定理：若二行列式只有一列不同，则二行列式之和等于把行列式中的这一列元素换成二行列式的相应二列之和，即

⑤行列式中的一列元素加上另一列元素的常数倍，则行列式之值不变。
证明：根据加法定理

⑥行列式的行与列交换，行列式的值不变。
证明：

⑦子式和代数余子式
子式：去掉行列式中的一行和一列，便可得到一个低阶的行列式，称之为原行列式的一个子行列式，简称为子式。例如
按列展开：
按行展开：
此外，还可按其它行或其它列展开
令 Aij = （—1）i+j·△ij，称Aij为aij的代数余子式。△ij为原行列式的子式
对于任意行列式：

⑧ 行列式的乘法：两个行列式相乘，用前一个行列式的每一行乘以后一个行列式的每一列（某一行乘以某一列得到一个新元素）得到新的行列式，其行等于前一个行列式的行，列等于后一个行列式的列。

则

∴ Cij = ∑airbrj i，j =1，2，…… n
∴ AB≠BA
2.矩阵
2.1定义
矩阵在广义上是一些数字或数字符号的矩形排列，它可与其它矩形排列按一定规则相结合。例如

其中( )表示矩阵符号，aij为矩阵元。矩阵的行和列的定义与行列式的相同，aij是位于矩阵第i行第j列的一个元素，当[ aij ]中的i=j 的矩阵称为方阵，方阵中具有i=j 的一组元素aij，即a11 a22 a33…称为对角元素。

所有对角元素都等于1且所有其它元素都等于0的方阵称为单位矩阵。一般用符号E表示。

方阵的行（或列）数称为这个矩阵的阶。
矩阵中有相当重要的一种矩阵是单行矩阵和单列矩阵。例如，
[a1 a2 a3] 行矩阵
列矩阵
注意不要把矩阵与行列式相混淆。
2.2 矩阵代数规则
矩阵代数主要是确定矩阵的一些运算规则，即矩阵的加法、减法、乘法和除法等一些规则。
（1）相等：两个矩阵A和B相等，当且仅当对于所有i和j均有：Aij = Bij 。例如

（2）加法与减法：只有相同维数（即行数和列数都相同）的矩阵才可以相加或相减，若矩阵A和B的维数相同，则A 和B相加或相减后得到的新矩阵C的维数也相同。
A ± B = C 其中对所有的i和j， Cij = Aij +Bij。例如

则

（3）乘法
a． 当用数C乘矩阵A得到矩阵B，B = CA
即A矩阵的所有元素Aij都乘以C， Bij = C·Aij 例如
这与行列式不相同！！！
b． A和B两矩阵相乘，只有当A的列数（假定为n）等于B的行数时，才可以相乘，称为矩阵乘法。其定义为
C = A·B
其所有矩阵元Cij都按方程 Cij =∑Aik·Bkj（k=1～n）（与行列式的相同）得到.
若A是m×n阶矩阵，B是n×p阶矩阵，则C必为m×p阶矩阵。例如

（3×3） （3×1） （3×1）
矩阵乘法的一种容易的记法是：两个矩阵相乘，依次取第一个矩阵的各行按向量乘法分别乘以第二个矩阵的各列，第i行和第j列相乘得乘积矩阵中的（i，j）元素，图示如下：
……… ……… ………
第2行 ……… ……… …S24…
……… ……… ………
……… ……… ………
……… ……… ………
第4列
对于两个以上的矩阵相乘，只要多次运用乘法规则，依次将一对矩阵相乘。例如
D = A B C D中的一般元素为：

（先B与C相乘，再与A相乘）
式中r是A的列数，必须和B的行数相同，而s是B的列数，必须和C的行数相同。
当A矩阵和B矩阵不对易，则
AB≠BA
故在做矩阵乘法时一定要注意相乘的次序。
矩阵乘法规则的应用之一是可以用简便的形式表示线性方程组：例如
a11x1 +a12x2 + a13x3 = y1
a21x1 +a22x2 + a23x3 = y2
a31x1 +a32x2 + a33x3 = y3
可以写成：

简化为 A · X = Y
（4）“除法”
如果矩阵A具有非零行列式，det[A] ≠ 0. 则称A为非奇异矩阵。非奇异矩阵满足如下条件：
AA-1 = A-1A = E
A-1称为A的逆矩阵，E为单位矩阵。
和除法等价的矩阵运算是用一个逆矩阵相乘。例如，当
AB = C
可以写为： ABB-1 = CB-1（BB-1 = E）
或者 AE = CB-1
即 A = CB-1
*当用B-1乘 AB = C 两端时，必须把B-1同样作用在上式两边的右侧，这是由于矩阵不一定对易的缘故。
用行列式的代数余子式求矩阵的逆矩阵的方法介绍如下：
矩阵：

求A-1的过程为：

所以，对任一方阵A，有
(A-1)ij = Aji/det(A) = (-1)i+j△ji/ det(A)
式中(A-1)ij是矩阵A的逆矩阵A-1第i行和第j列的矩阵元素，而aji的代数余子式Aji是从A中划去第j行和第i列所得到的低一阶矩阵的行列式乘以(-1)i+j 。例如

det（A）= 2 + 2 + 18 – 6 – 2 – 6 =8

验证： AA-1 = E（3×3的单位矩阵）
作业：
1.解方程组求x1、x2、x3、x4的值
x1+x2+x3+x4 =1
x1-x2+x3+x4 =0
x1+x2-x3+x4 =0
x1+x2+x3-x4 =0 （提示：先消去一个或两个变量，再用行列式求解）
2.已知

求A-1 = ？
2.3几种常见的矩阵
（1）对角方阵和方块矩阵
① 一个方阵中i = j的元素叫做处于主对角线上的元素，除了主对角线上的元素外，其它所有元素都为零的方阵称为对角方阵。形如
(aij: i = j, aij≠0; i≠j, aij =0)
一个方阵的主对角线上元素之和称为迹。如果一个对称群的某个操作所属的不可约表示可以用一个矩阵表示，该矩阵的迹即为该不可约表示的特征标。
② 所有主对角线上的元素都相等的对角矩阵称为纯量(常数)矩阵。如

③ 如果k=1,就称为单位矩阵.

④ 如果一个矩阵的非零元素都在沿主对角线的方块中, 这种矩阵称为方块因子矩阵。
2 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
E= 0 0 4 0 0 0
0 0 0 1 2 3
0 0 0 2 1 2
（2）转置矩阵
将矩阵A的行和列互换所形成的矩阵就是转置矩阵，以表示.

如果A为m×t阶矩阵, B为t×n阶矩阵, 则AB为m×n阶矩阵,它的转置矩阵应为:
例如

（3）共轭转置矩阵（转置共轭矩阵，又叫伴随矩阵）
将矩阵A的每个元素均用它的共轭复数代替, 再把行和列互换而形成的矩阵, 称为A的共轭转置矩阵, 用A+标记。例如

有函数f，其共轭复函数f*是将-i替代f中的每一个i,例如(icosθ)*= - icosθ
复数 Z = x + i y (x是实部, iy是虚部) , 其共轭复数Z* = x – iy
又如, e iπ = cosθ+ isinθ(i2 = -1, i1/2 = -1) ，例如

（4）对称矩阵
如果矩阵A的每一个矩阵元有aij = aji, 就说矩阵A的元素对于主对角线是对称的, 或者说A的转置矩阵等于其自身的矩阵为对称矩阵。例如

对于每一个对称矩阵, A = A 。亦即，对于所有的i和j都有
aij = aji
所有的对称矩阵必是方阵。
(5) 厄米矩阵
若矩阵A和它的转置共轭矩阵相等，即
，则称A为厄米矩阵，例如下面的A矩阵就是厄米矩阵。

厄米矩阵满足： aij = aji 。所有的厄米矩阵必是方阵。
（6）逆矩阵
如果有一矩阵A，它的行列式det(A)≠0，那么它就存在着逆矩阵A-1，当用它左乘或右乘矩阵A，能得到单位矩阵，即 A A-1 = A-1A = E 。求逆矩阵的方法已在矩阵的除法中作了介绍。
（7）么正矩阵（或酉矩阵）
如果矩阵A，它的转置共轭矩阵等于它的逆矩阵，即
A+ = A-1 或 A+A = E，或A A+ = E 则称A矩阵为么正矩阵 (或酉矩阵U)。例如

所以，A是U矩阵。
同学们自己证明：

1 0 0
A = 0 0　ω ω= e2πi/3 为U矩阵
0 ω2 0

(8)正交矩阵
若一个矩阵A的转置矩阵(A )等于其逆矩阵，即 A = A-1， 则A为正交矩，。所有的正交矩阵都是方阵。例如

cosθ sinθ 0
A = -sinθ cosθ 0 就是正交矩阵。
0 0 1

练习：
1.已知：
-1/2 -(3)1/2/2 0 1/2 (3)1/2/2 0
A = -(3)1/2/2 1/2 0 Q = -(3)1/2/2 1/2 0
0 0 2 0 0 1

试证Q-1AQ是对角矩阵。
2.已知：

通过计算说明A矩阵和B矩阵是否是U矩阵。
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