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数字图像处理作业

机电工程学院
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题目：数字图像处理的频域变换有哪些？是对其中三种进行原理分析（含MATLAB程序）。

数字图像处理的频域变换有积分变换，离散傅里叶变换（包括一维离散傅里叶变换，一维快速傅里叶变换，二维离散傅里叶变换和二维快速傅里叶变换），正交变换，离散余弦变换，沃尔什变换和哈达玛变换，哈尔变换，，K-L变换，霍特林变换，拉东变换和小波变换等。

下面就离散傅里叶变换，哈达玛变换和离散余弦变换进行原理分析：

一. 离散傅里叶变换（DFT）
傅立叶变换是数字图像处理中应用最广的一种变换，其中图像增强、图像复原
和图像分析与描述等，每一类处理方法都要用到图像变换，尤其是图像的傅立
叶变换。

（1）二维离散傅里叶变换
设f（x，y）（x=0,1,...,M-1;y=0,1,...,N-1）是一幅M×N的图像，其二维离散傅立叶变换（DFT）为：

逆变换为：

式中，
在DFT变换对中， 称为离散信号 的频谱，而 称为幅度谱， 为相位角，功率谱为频谱的平方，它们之间的关系为：

x，y为空间域采样值，u，v为频率采样值，F（u，v）称为离散信号f（x，y）的频谱。

（2）二维快速离散傅里叶变换
快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换(DFT)的一种算法。这种方法是在分析离散傅里叶变换(DFT)中的多余运算的基础上，进而消除这些重复工作的思想指导下得到的，所以在运算中大大节省了工作量，达到了快速的目的。
基于二维离散傅里叶变换的分离性，二维离散FFT算法可以用两个一维FFT算法来实现。

每一列求变换再乘以N

再对F（x,v）每1行求傅里叶变换

求的逆变换得：

图表 1由2步1-D变换计算2-D变换

（3）MATLAB实现数字图像傅立叶变换的程序示例
[I,map]=imread(‘原图像名’); %读入原图像文件
figure(1); imshow(I, map); %设定窗口，显示原图像
colorbar; % colorbar 函数用显示图像的颜色条
J = fft2(I); % fft2 函数用于数字图像的二维傅立叶变换
K = fftshift(J); % 一般在计算图形函数的傅立叶变换时，坐标原点在函数图形的中心位置处，而计算机在对图像执行傅立叶变换时是以图像的左上角为坐标原点。所以使用函数fftshift进行修正，使变换后的直流分量位于图形的中心
RR=real(K); %取傅立叶变换的实部
II=imag(K); %取傅立叶变换的虚部
A=sqrt(RR.^2+II.^2); %计算频谱幅值
A=（A-min(min(A))）/ (max(max(A))-min(min(A)))*225; %归一化
figure(2); imshow(A,[]); %设定窗口，显示原图像的频谱
colorbar;
N=ifft2(J)/255; % ifft2 函数用于数字图像的二维傅立叶反变换
figure(3); imshow(N,[]);
colorbar;

二．哈达玛变换
（1）一维离散哈达玛变换
当N=2n，一维哈达玛正变换核与反变换核相同，为

因此，一维哈达玛变换对可表示为

（u=0,1,2,...,N-1 ）

（ ）
哈达玛变换核除了 因子之外，由一系列的+1和－1组成。如N=8时的哈达玛变换核用矩阵表示为：

由此矩阵可得出一个非常有用的结论，即 2N 阶的哈达玛变换矩阵可由N阶的变换矩阵按下述规律形成

而最低阶（N=2）的哈达玛变换矩阵为

利用这个性质求N阶（N=2n）的哈达玛变换矩阵要比直接用定义式来求此矩阵速度快的多，此结论提供了一种快速哈达玛变换（FHT）。

（2）二维离散哈达玛变换
二维离散哈达玛变换的正变换核和反变换核相同，为

这里M=2m，N=2n。则对应的二维哈达变换对可表示为：

（ u=0,1,2,...,M-1;v=0,1,2,...,N-1）
和

（x=0,1,2,...,M-1;v=0,1,2,...,N-1 ）
可以看出，二维离散哈达玛变换的正反变换核具有可分离性，因此可以通过两次一维变换来实现一个二维变换。

（3）MATLAB实现数字图像离散一维哈达玛变换的程序示例
clc;
cr=0.5;
I=imread('8.tif');
I1=double(I)/255;%图像为256级灰度图像，对图像进行归一化操作
subplot(1,2,1);imshow(I1);
xlabel('(a) 原始图像');%显示原始图像
disp('原始图像的大小为：');
whos('I1')%对图像进行哈达玛变换
T=hadamard(8);%产生8*8的哈达玛矩阵
htcoe=blkproc(I1,[8 8],'P1*x*P2',T,T);%将图像分割为8*8的子图像进行FFT
coevar=im2col(htcoe,[8 8],'distinct');%降变换系数矩阵重新排列
coe=coevar;
[y,ind]=sort(coevar);
[m,n]=size(coevar);%根据压缩比确定要变0的系数个数

三．离散余弦变换（DCT）
图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其它变换。在图像处理中常用到的有离散余弦变换等。
（1）一维离散余弦变换
一维离散余弦变换的定义由下式表示：
设{f(x)|x=0, 1, …, N-1}为离散的信号列。

(u, x=0, 1, 2, …, N－1)

式中F（u）是第u个余弦变换系数，是广义频率变量，u=1,2,3，...N-1;f（x是时域N点实序列.
一维离散余弦反变换由下式表示：

式中， x, u=0, 1, 2, …, N－1。

一维DCT变换实际上就是将信号f(x)分解成直流分量（u=0），基波分量（u=1）和各次谐波分量（u>1）,将信号的分析从时域转移到频域。

（2）二维离散余弦变换
二维DCT定义如下：设f(x, y)为M×N的数字图像矩阵，则

式中： x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。

二维DCT逆变换定义如下：

式中：x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。

通常根据可分离性， 二维DCT可用两次一维DCT来完成， 其算法流程与DFT类似， 即

（3）MATLAB实现数字图像离散余弦变换的程序示例
计算并显示真彩图像余弦变换的MATLAB程序如下：
Subplot(2,1,1);
RGB=imread('image2.jpg'); %装入真彩图像
imshow(RGB); %显示彩色图像
GRAY=rgb2gray(RGB); %将真彩图像转换为灰度图像imshow(GRAY); %显示灰度图像如图3.10(a)所示
title('原始图像');
DCT=dct2(GRAY); %进行余弦变换
subplot(2,1,2);
imshow(log(abs(DCT)),[ ]); %显示余弦变换如图3.10(b)所示
title('离散余弦变换');