高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题数列系列之数列的周期性(含解析)新人教A版.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学五、周期（循环）数列（扩展）的运用对于数列An，如果存在一个常数T,对于任意整数nN，使得对任意的正整数恒有Ai=A(i+T)成立，则称数列An 是从第n 项起的周期为T 的周期数列。典型例题：例 1.数列na满足nn 1na(1)a2n1，则na的前 60 项和为【】（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830【答案】D。【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。【解析】求出na的通项：由nn 1na(1)a2n1 得，当n=1时，21a1a；当n=2时，321a3a=2a；当n=3时，431a5a=7a；当n=4时，541a7a=a；当n=5时，651a9a=9a；当n=6时，761a11a=2a；当n=7时，761a13a=15a；当n=8时，871a15a=a；当n=4m+1时，4m 21a8m 1 a；当n=4 m+2时，4m 21a2 a；当n=4 m+3时，4m 41a8m 7a；当n=4m+4时，4m 51aa（m=0,1,2，）。4m4m 51aaa，na 的 四 项 之 和 为4m 14m 24m 34m 41111aaaa=a8m 1 a2 a8m 7 a=16m 10（m=0,1,2，）。设m4m 14m24m34m4baaaa=16m10（m=0,1,2，）。则na 的前60项和等于mb 的前 15 项和，而mb是首项为10，公差为16 的等差数列，na 的前60项和=mb的前 15 项和=101614101518302。故选 D。例2.对 于nN，将n表 示 为1101102222kkkknaaaa,当ik时1ia，当01ik时ia为 0 或 1，定义nb如下：在n的上述表示中，当01,aa，a2，ak中等于 1 的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=.；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（2）记cm为数列bn中第m个为 0 的项与第m+1 个为 0 的项之间的项数，则cm的最大值是.【答案】（1）3；（2）2。【考点】数列问题。【解析】（1）观察知000112,1,1aab；1010221 202,1,0,1aab；依次类推10331 21 2,0b；210441 20202,1b；210551 2021 2,0b；21061 21 202，60b；781,1bb；b2+b4+b6+b8=。（2）由（1）知cm的最大值为。例 3.对于项数为m的有穷数列na，记12max,.,kkba aa（1,2,.,km），即kb为12,.,ka aa中的最大值，并称数列nb是na的控制数列，如1，3，2，5，5 的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列na的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的na（4 分）（2）设nb是na的控制数列，满足1km kabC（C为常数，1,2,.,km），求证：kkba（1,2,.,km）（6 分）（3）设100m，常 数1,12a，若+122(1)n nnaann，nb是na的 控 制 数 列，求1122()()baba1 0 01 0 0.()ba（8 分）【答案】解：（1）数列na为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5。（2）证明：,max21kkaaab，,max1211kkkaaaab，kkbb1。Cbakmk1，Cbakmk1，011kmkmkkbbaa，即kkaa1。kkab。（3）对25,2,1k，)34()34(234kkaak；)24()24(224kkaak；)14()14(214kkaak；)4()4(24kkaak。比较大小，可得3424kkaa。小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学112a，0)38)(1(2414kaaakk，即1424kkaa；0)14)(12(2244kaaakk，即244kkaa。又kkaa414，3434kkab，2424kkab，2414kkab，kkab44。)()()(1001002211ababab =)()()()()(9999141410107733abababababkk =)()()()()(999814241097632aaaaaaaaaakk =2511424)(kkkaa=251)38()1(kka=)1(2525a。【考点】数列的应用。【解析】（1）根据题意，可得数列na。（2）依题意可得kkbb1，又Cbakmk1，Cbakmk1，从而可得011kmkmkkbbaa，整理即证得结论。（3）根据+122(1)nnnaann，可发现，)34()34(234kkaak；)24()24(224kkaak；)14()14(214kkaak；)4()4(24kkaak。通过比较大小，可得1424kkaa，244kkaa，而4142(1)(83)kkaaak，从而可求得)()()(1001002211ababab的值。六、数列特征方程的应用：所谓数列的特征方程，实际上就是为研究相应的数列而引入的一些等式，常用的有以下几种形式：1.形如1nnAuAv的数列，一般是令xuxv，解出xa，则nAa是公比为u的等比数列。2.形如21nnnAuAvA的数列，一般是令2xuxv，解出12,xx x，则当12xx时,12nnnAaxbx，其中ab，为待定系数，可根据初始值12,A A求出；当12=xx时，1()nnAanb x，其中ab，为待定系数，可根据初始值12,A A求出。3.形如1nnnuAvArAt的数列，一般是令uxvxrxt，解出12,xx x，则小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当12xx时，12nnAxAx为等比数列；当12=xx时，11nAx为等差数列。典型例题：例 1.函数2()23f xxx。定义数列nx如下：112,nxx是过两点(4,5),(,()nnnPQxf x的直线nPQ与x轴交点的横坐标。（1）证明：123nnxx；（2）求数列nx的通项公式。【答案】解：（1）2(4)4835f，点(4,5)P在函数()f x的图像上。由所给出的两点(4,5),(,()nnnPQxf x，可知，直线nPQ斜率一定存在。直线nPQ的直线方程为()55(4)4nnf xyxx。令0y，可求得2285=44nnnxxxx，解得43=2nnxxx。1432nnnxxx。下面用数学归纳法证明23nx：当1n时，12x，满足123x，假设nk时，23kx成立，则当1nk时，1435422kkkkxxxx，由23kx得，425kx，即55124kx，11514342kx。123kx也成立。综上可知23nx对任意正整数恒成立。下面证明1nnxx：22143432(1)4222nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxx，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由23nx得，112nx。20143nx。10nnxx即1nnxx。综上可知123nnxx恒成立。（2）由1432nnnxxx得到该数列的一个特征方程432xxx即2230 xx，解得3x或1x。14333=3=22nnnnnxxxxx，14355(1)122nnnnnxxxxx。两式相除可得11331151nnnnxxxx。而1132311213xx数列31nnxx是以13为首项以15为公比的等比数列1311()135nnnxx。111951433513 51nnnnx。【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用，不等式的证明，数学归纳法。【解析】（1）先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法证明23nx，运用差值法证明1nnxx，从而得证。（2）根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项。