高考数学一轮复习第7章立体几何第7讲立体几何中的向量方法第2课时知能训练轻松闯关理北师大版.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 7 讲 立体几何中的向量方法第2 课时1在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30B 45C60D 90解析：选 C.不妨设ABACAA11，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(1，0，1)，所以BA1(0，1，1)，AC1(1，0，1)，所以 cosBA1，AC1BA1AC1|BA1|AC1|12212，所以BA1，AC1 60，所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60.2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.12B.23C.33D.22解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为 1，则A1(0，0，1)，E1，0，12，D(0，1，0)，所以A1D(0，1，1)，A1E 1，0，12，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则yz 0，112z0，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以y2，z2.所以n1(1，2，2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，所以 cosn1，n223123.即所成的锐二面角的余弦值为23.3在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1，点D在棱BB1上，若BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为 _解析：如图，设AD与平面AA1C1C所成的角为，E为AC的中点，连接BE，则BEAC，所以BE平面AA1C1C，可得ADEB(ABBD)EBABEB1323234232 cos(为AD与EB的夹角)，所以cos 64sin，所以所求角的正切值为tan cos sin 155.答案：1554.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_解析：不妨令CB1，则CACC12，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，所以BC1(0，2，1)，AB1(2，2，1)，所以 cosBC1，AB1BC1AB1|BC1|AB1|415915550.所以BC1与AB1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为55.答案：555已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点试求：(1)AD1与EF所成角的大小；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系，得A(1，0，1)，B(0，0，1)，D1(1，1，0)，E0，12，0，F12，1，0.(1)因为AD1(0，1，1)，EF12，12，0，所以 cosAD1，EF（0，1，1）12，12，022212，即AD1与EF所成的角为60.(2)FA12，1，1，由图可得，BA(1，0，0)为平面BEB1的一个法向量，设AF与平面BEB1所成的角为，则 sin|cos BA，FA|（1，0，0）12，1，11122（1）21213，所以 cos 223.即AF与平面BEB1所成角的余弦值为223.6(2015高考重庆卷)如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC，PC3，ACB2.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE2，CE2EB2.(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角A-PD-C的余弦值解：(1)证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，得PCDE.由CE2，CDDE2，得CDE为等腰直角三角形，故CDDE.由PCCDC，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)由(1)知，CDE为等腰直角三角形，DCE4.如图，过D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1.又已知EB1，故FB2.由ACB2，得DFAC，DFACFBBC23，故AC32DF32.以C为坐标原点，分别以CA，CB，CP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，P(0，0，3)，A32，0，0，E(0，2，0)，D(1，1，0)，ED(1，1，0)，DP(1，1，3)，DA12，1，0.设平面PAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n1DP0，n1DA0，得x1y13z10，12x1y10，故可取n1(2，1，1)由(1)可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为ED，即n2(1，1，0)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2n1n2|n1|n2|36，故所求二面角A-PD-C的余弦值为36.1.(2016山西省考前质量检测)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，PD底面ABCD，ABCD，ADCD，ADAB1，BC2.(1)求证：平面PBD平面PBC；(2)设H为CD上一点，满足CH2HD，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为63，求二面角H-PB-C的余弦值解：(1)证明：由ADCD，ABCD，ADAB1，可得BD2.又BC2，所以CD 2，所以BCBD.因为PD底面ABCD，所以PDBC，又PDBDD，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以BC平面PBD，又BC平面PBC，所以平面PBD平面PBC.(2)由(1)可知BPC为PC与平面PBD所成的角，所以 tan BPC63，所以PB3，PD1.由CH2HD及CD2，可得CH43，DH23.以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则B(1，1，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，H0，23，0.设平面HPB的法向量为n(x1，y1，z1)，则HPn0，HBn0，即23y1z10，x113y10，取y1 3，则n(1，3，2)设平面PBC的法向量为m(x2，y2，z2)，则PBm0，BCm0，即x2y2z20，x2y20，取x21，则m(1，1，2)又 cosm，nmn|m|n|217，故二面角HPB C的余弦值为217.2(2016河南省六市联考)如图，已知长方形ABCD中，AB2，AD1，M为DC的中点 将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM，如图.(1)求证：ADBM；(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值为55.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解：(1)证明：连接BM，则AMBM2，AM2BM2AB2，所以AMBM，又平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCMAM，所以BM平面ADM，因为AD平面ADM，所以BMAD.(2)建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，由(1)可知，平面ADM的一个法向量m(0，1，0)，设平面AME的一个法向量为n(x，y，z)，则nMA0，nME0，因为A(2，0，0)，B(0，2，0)，D22，0，22，M(0，0，0)，DB22，2，22，设DEDB，得E22（1），2，22（1），MA(2，0，0)，ME22（1），2，22（1），则（x，y，z）（2，0，0）0，（x，y，z）22（1），2，22（1）0，解得 n(0，1，2)，二面角E-AM-D的余弦值为55，即m n|m|n|55，得 12，即E为DB的中点时满足