圆锥曲线复习.doc

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
    圆锥曲线复习

二. 教学目标：
  1. 通过小结与复习，能较准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系
  2. 通过本节教学能较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法――坐标法；

［本周知识要点］
一. 知识归纳：
名 称
椭圆
双曲线

图 象

定 义

  平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即
  当2﹥2时，轨迹是椭圆，
  当2＝2时，轨迹是一条线段
  当2﹤2时，轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即
当2﹤2时，轨迹是双曲线
当2＝2时，轨迹是两条射线
当2﹥2时，轨迹不存在
标准方 程
焦点在轴上时：   
焦点在轴上时：
注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时： 
焦点在轴上时：
常数的关 系  
  ，，
  最大，
，
最大，可以
渐近线

焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
抛物线：
图形

方程

焦点

准线

（一）椭圆
  1. 椭圆的性质：由椭圆方程
    （1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。
    （2）对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。
    （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
    椭圆共有四个顶点：，。加两焦点共有六个特殊点。叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴。长分别为。分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
    （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。。。
椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为是椭圆在时的特例。
  2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率。
椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式
  3. 椭圆的准线方程
    对于，左准线；右准线
对于，下准线；上准线
焦点到准线的距离（焦参数）

（二）双曲线的几何性质：
  1. （1）范围、对称性
由标准方程，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。
    （2）顶点
    顶点：，特殊点：
    实轴：长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长。
    双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。
    （3）渐近线
    过双曲线的渐近线（）
    （4）离心率
    双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：e>1
    双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。
  2. 等轴双曲线
    定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
    等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率。
  3. 共渐近线的双曲线系
    如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成。
  4. 共轭双曲线
    以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。
  5. 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。
  6. 双曲线的准线方程：
    对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；
    焦点到准线的距离（也叫焦参数）。
    对于来说，相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线。

（三）抛物线的几何性质
    （1）范围
    因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
    （2）对称性
    以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
    （3）顶点
    抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线的顶点就是坐标原点。
    （4）离心率
    抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。

【典型例题】
  例1.  根据下列条件，写出椭圆方程
    （1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；
    （2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）；
    （3）中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是。
    分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。
    解：（1）焦点位置可在x轴上，也可在y轴上
    因此有两解：
    （2）焦点位置确定，且为（0，），设原方程为,（a>b>0），由已知条件有，故方程为。
    （3）设椭圆方程为,（a>b>0）
    由题设条件有及a2＝b2＋c2，解得b＝
    故所求椭圆的方程是。

  例2. 直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？
    解：把代入
    整理得：……（1）
    当时，
    由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点
若A、B在双曲线的同一支，须>0，所以或。
    故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。

  例3. 已知抛物线方程为（p>0），直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。
    解：设与抛物线交于
    由距离公式|AB|＝
    则有
    由

    从而
    即
    由于p>0，解得

【模拟试题】
  1. 是任意实数，则方程所表示的曲线不可能是（    ）
    A. 椭圆        B. 双曲线        C. 抛物线        D. 圆
  2. 已知椭的一条准线方程是，则实数的值是（  ）
    A. 7或－7             B. 4或12              C. 1或15              D. 0
  3. 双曲线的离心率，则的取值范围为（      ）
    A.       B. （－12，0）    C. （－3，0）      D. （－60，－12）
  4. 以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（　　　　）
    A.                                 B.
    C.                                 D.
  5. 抛物线的焦点坐标为（       ）
    A.           B.                C.              D.
  6. 已知点A（－2，1），的焦点为F，P是的点，为使取得最小值，点的坐标是（     ）
    A.       B.      C.      D.
  7. 已知双曲线的渐近线方程为，一条准线方程为，则双曲线方程为（     ）
    A.                                 B.
    C.                                 D.
  8. 抛物线到直线距离最近的点的坐标为（    ）
    A.             B.                 C.             D.
  9. 动圆的圆心在抛物线上，且动圆与直线相切，则动圆必过定点（     ）
    A. （4，0）      B. （2，0）     C. （0，2）     D. （0，－2）
  10. 到定点（2，0）的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程为____________________。
  11.双曲线的一条准线是，则___________。
  12. 已知点（－2，3）与抛物线的焦点距离是5，____________。
  13. 中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程。
  14. 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M、N 两点，且＝4，求双曲线方程。
【试题答案】
  1. C                   2. C                      3. B                      4. A                      5. B
  6. A                   7. A                      8. B                      9. B
  10.
  11. －                         12. 4
  13. 分析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，）知，c＝，，最后解关于a、b的方程组即可。
    解：设椭圆的标准方程为
    由F1（0，）得
    把直线方程代入椭圆方程整理得：

    设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得：
    ，
    又AB的中点横坐标为，
    ，与方程联立可解出
    故所求椭圆的方程为：
  14. 解：设所求双曲线方程为（a>0，b>0），由右焦点为（2，0）。知c＝2，b2＝4－a2
则双曲线方程为，设直线MN的方程为：，代入双曲线方程整理得：（20－8a2）x2＋12a2x＋5a4－32a2＝0
    设M（x1,y1）,N（x2,y2）,则

    解得：，
    故所求双曲线方程为：