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第十六章 机械波
16-1 一波源作简谐振动，周期，振幅，当时，振动位移恰为正方向的最大值．设此方程以的速度沿直线传播，试求(1)此波的波函数；(2)距波源和处质点的振动方程和初相；(3)距波源15m和处质点振动的相位差．
分析　波源的周期和频率就是机械波的周期和频率，对于平面波，在忽略传播过程中的能量损失的情况下，波源的振幅就是波的振幅，如果已知波速或波长以及波源的初相，就能给出波函数．由上一章的讨论可知，当给出振动的初始位置和运动方向时，振动的初相就确定了．
由波函数可以获得波线上任一点的振动方程；以及任一时刻波线上各点的位移，即波形．波线上相位差为质点间的距离（也可视为两个相邻的相位相同点间的距离）为一个波长．
解 (1)波源的角频率为

初始时波源振动达正方向的最大值，即，波源的振动方程为

已知，波函数为

(2)由波函数得处振动方程为

该处质点初相为．
处振动方程为

该处质点初相为或．
(3)两点相位差为
处质点相位超前．
16-2 已知平面波波函数．式中、以米计，以秒计，试求(1)波长、周期、波速；(2)在处质点的振动方程；(3)在时，该处质点的位移和速度．这是原点处的质点在哪一时刻的运动状态？再经过后该运动状态传至何处？
分析 本题强调这样的概念：波的传播过程是振动状态（或相位）的传播过程．在单位时间内振动状态（或相位）传播的距离称为波的传播速度，也称为相速度，即本书中的波速（以区别于反映振幅或能量传播的群速度）．波在介质中传播时，波线上各质点仍在各自的平衡位置附近振动，并不跟随波前进，质点的振动速度为．
解 (1)将波函数与简谐波的标准形式对比，得

(2)由波函数得处的振动方程为

(3)由波函数得时处质点的位移为

该时刻该质点振动速度为

是原点处质点在时刻的振动状态．
　 再经过该运动状态传播的距离

即传至距该处或距原点处．
16-3 如图16-3，一平面简谐波在空间传播，已知波线上某点P的振动规律为,根据图中所示的两种情况，分别列出以O为原点的波函数．
分析 本题可以沿两条思路求解：(1)由于波线上各点的相位依次落后, 根据两点间的距离可以判断O点比P点相位超前多少或落后多少, 因已知P点的振动方程，就能写出O点的振动方程，再写出以O为原点的波函数．(2) 从P点的振动方程直接写出以P为原点的波函数，根据波函数的物理意义写出O点的振动方程，再写出O为原点的波函数．下面给出第一种解法．
　　　　　　y y
v　　　　　 v
l l
　　 　 O P x P O x

图16-3
解 (1)第一种情况，波沿x轴正向传播，O点的相位比P点超前, 所以O点的振动方程为

以O为原点的波函数为

(2)第二种情况，波沿x轴负向传播，O点在P点右侧，O点的相位比P点超前，所以O点的振动方程为

以O为原点的波函数为

16-4 一平面余弦波在时的波形如图16-4（a）所示(T为周期), 此波以v=36m/s的速度沿x轴正向传播, (1)画出t=0时刻的波形图；(2) 求O、P点的振动初相；写出O点的振动方程及以O为原点的波函数.
分析 波形曲线，即y-x图，给出了某一时刻波线上各点的位移．已知波速时，从 时的波形可以推出t=0或t=T时的波形，从而可得O点的振动方程, 进而求出O为原点的波函数．
y/m

0.2
O P 0.4 x/m
-0.2
（a）
y/m

0.2 0.4
O P x/m

（b）
图16-4
解 (1) 时刻的波形沿x轴负向移动即为t=0时的波形，或沿x轴正向移动即得t=T时的波形，如图16-4(b)．
(2) 由图16-4(a)得 又
对O点有，t=0时，有
（1）
（2）
由(1)式得，由(2)式得，所以应取

对P点， t=0时，有
　　　　　 (3)
(4)
因A=0.2m，由(3)式得，满足(4)式．
(3)波的角频率
O点的振动方程为 m
以O为原点的波函数为 m
16-5 一平面波在t=0时的波形曲线如图16-5中曲线(I)所示，波沿x轴正向传播，经过t=0.5s后, 波形变为曲线(II). 已知波的周期s, 试由图中所给条件, 求(1)波函数；(2)A点的振动方程．
分析 从波形曲线(I)可以求出振幅、波长以及O点的初相. 但另一个重要的常数需结合两条波形曲线考虑. 从图上不难看出, 在0.5s内波形在x轴正向移动0.1m，于是可以计算出波速．再根据周期、波长、波速间的关系求出周期，进而求出角频率.
y/m
A (Ⅱ)

O 0.2 0.4 x/m

(Ⅰ)

图16-5
解 由图16-5知, A=0.1m, m,
m/s
s
rad/s
对O点
(1)
(2)
由(1)式得，由(2)式得，所以应取

故O点的振动方程为 m
以O为原点的波函数为
m
(2)将m代入上式，得A点的振动方程为
m
16-6 一平面波的波函数为 ，式中x，y以m为单位，t以s为单位, 试求:（1）波的振幅、频率、波长和波速；（2）何时原点处第一次出现波峰；（3）当t=1s时，最靠近原点的两个波峰位置.
分析 本书约定波函数以余弦函数表示, 因此可先把题目给的波函数化为余弦函数．分列在原点两侧的第一个波峰应是最靠近原点的波峰．
解 (1)波函数化为余弦函数形式为
m

(2) 将x=0, y=A代入波函数，当第一次出现波峰时，有

得　　　　　　　　　　 t=0.01s
(3) 将t=1s代入波函数得t=1s时的波形方程

欲出现波峰需满足条件：

得最靠近原点的两波峰位置为

16-7 沿x轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形如图16-17(a), 波速v=0.5m/s, 求O点的振动方程及此波的波函数.
y/m y/m
t=0时
0.5 0.5

-1 O 1 x/m O 1 x/m

(a) 图16-7 　　 (b)
分析 由已知条件算出T=4s. 欲从t=2s时的波形求出t=0时的波形, 只需将t=2s时的波形曲线沿x轴负向移动半个波长即得. 从t=0时的波形便可求出振动方程的几个常数.
解 从图16-7(a)知

可得t=0时的波形如图16-7(b). 从图知O点将向下运动，于是O点在t=0时有
(1)
(2)
由(1)式得，由(2)式得，所以应取

O点的振动方程为 　　 m
以O为原点的波函数为 m
16-8 一平面简谐波沿x轴负向传播, 波长为 P处质点元的振动规律如图16-8. (1)求P点的振动方程; (2)设OP=d, 求此波以O为原点的波函数.
分析　振动曲线是描绘波线上某点位移与时间关系的曲线，即y-t图．通过振动曲线可知P点的初始条件．有了P点的初始条件，可得P点的振动方程．由于波沿x轴负向传播，因而O点的相位比P点落后．
解 (1)由振动曲线知P点在t=0时有
(1)
(2)

yp/m

A

0 1 2 3 t/s

-A d
x
O P

图16-8
由(1)式得，满足(2)式．
因T=4s，则
rad/s
所以P点的振动方程为
m
(2)波沿x轴负向传播, P点相位比O点超前,所以O点的振动方程为
m
有
以O为原点的波函数为
m
16-9　图16-9 (a)是一平面简谐波在t=0时的波形曲线. P点位于波线上x=1m处, 图(b)是P处质点元的振动曲线. 求以O为原点的波函数.
y/m y/m
0.2

P
O 1 2 x/m O 0.1 0.2 t/s
-0.2

(a) (b)
图16-9

分析 题目已给出t=0时的波形曲线，似乎问题很简单，但由于没给出波的传播方向，这样从波形曲线无法判定t=0时O点的运动方向．从题目给出的距O点为1 m处P点的振动曲线可以判明，当t稍微大于零时其位移为正，因而t=0时P点将向上运动．再观察波形图上x=1.5m处的质点，当t=0时位于最大位移处，此后一定要向下运动回到平衡位置．既然t=0时P点将向上最大位移处运动， 而1.5m处质点已从最大位移返回，便可判断出P点(1m处)的相位比1.5m处质点落后，所以波沿x轴负向传播．
解 从图16-9(a)知 m, T=0.2s, A=0.2m.

从图16-9 (b)P点的振动曲线并结合波形曲线(a), 判断出波沿x轴负向传播, 因而t=0时O点向下运动，O点初相由下两式决定：
(1)
(2)
由(1)式得，由(2)式得，所以应取

得波函数为 m

S1 S2
30m
xP
o P x
图16-10

16-10 两相干波源S1、S2具有相同的振幅、频率和初相位．已知振幅A=0.01m, 频率为100Hz, 初相位为零. 两波源相距30m, 相向发出二简谐波, 波长为5m. 试求: (1)两波源的振动方程; (2)在两波源连线中点处的合振动方程.
分析 相干波在相遇点的合振幅是各列波在相遇点引起的振动的合成．
解 (1) 已知
rad/s
所以S1、S2的振动方程为

(2) 如图16-10, 取S1为坐标原点, 向右为正. 第一列波到达波源连线中点P的振动方程为

第二列波到达P点的振动方程为

所以P点的合振动方程式为
m
16-11 一简谐空气波, 沿直径为0.14m的圆柱形管传播, 波的平均强度为W/m2, 频率为300Hz, 波速为300m/s. 求: (1)波的平均能量密度和最大能量密度; (2)每两个相邻同相面间的波中含有的能量.
分析 本题涉及的概念有: 能量密度、平均能量密度、平均能流、能流密度或波的强度. 从能量密度看到, 介质单位体积中的能量不守恒, 随时间作周期变化, 在给定时刻能量又随单位体积平衡位置坐标x作周期变化，因此波的传播既是振动相位的传播又是能量的传播，因此而称为行波．
解 (1)平均能量密度为
平均强度为 　

能量密度为
最大能量密度为
(2)相邻同相面间隔的距离为一个波长，即
m
相邻同相面间的波中含有能量

16-12 一简谐波在弹性介质中传播, 波速m/s, 振幅A=1.0×10-4m, 频率Hz. 若介质的密度, 求: (1)该波的能流密度; (2) 若有一平面面积s=4.0×10-4m2, 波速v与该平面法线en的夹角为， 求一分钟内通过该面积的平均能流.
解 (1)能流密度为

(2)一分钟内通过垂直于波传播方向的平均能流为

16-13 若太阳能电池板的接收面积为13cm2, 当正对太阳时, 电池板产生0.45V电压, 并提供0.20A电流. 设太阳光的能流密度为1.0×103W/m2, 求太阳能转变为电能的效率.
分析 1s内太阳能电池板产生的电能与1s内电池板吸收的太阳能之比就是能量转换效率．本题提供的太阳的能流密度是一常识性数据．
解 1 s内太阳能电池吸收的太阳能为

产生的电能为 E = 0.2×0.45 J = 0.09 J
所以转换效率为

A P B

x x

图16-14
16-14 两相干平面波波源A、B相距20m, 作同频率、同方向和等振幅的振动， 它们所发出的波的频率为100Hz，波速为200m/s，相向传播, 且A处为波峰时, B处为波谷, 求AB连线上因干涉而静止的各点的位置.
分析 两相干波等振幅，所以相干减弱点的振幅为零，即因干涉而静止．A处为波峰时B处恰为波谷, 表明波源A与波源B的相位差为．
解 两相干平面波波长为
m
两平面波相向传播，相遇点在两波源之间，设P在A、B间，距离波源A为x，如图16-14，设波源B相位比波源A超前，有

相遇点为干涉静止时需满足条件为

得 　　
所以AB连线上因干涉而静止点的位置为
x = k+10 m 　　　
16-15 如图16-15, 两列波长均为的相干简谐波, 分别通过图中的O1和O2点, 通过O1点的简谐波在M1M2平面反射后与通过O2点的简谐波在P点相遇. 假定波在M1M2平面反射时有半波损失, O1和O2两点的振动方程分别为和, 且O1m+mP=8, O2P=3, 求: (1)两列波分别在P点引起的振动的振动方程; (2)P点的合振幅(设介质无吸收).

M1 m M2
P
O1
O2

图16-15
分析 通过O1的简谐波在M1M2平面的m点反射，反射时有半波损失，即对于通过O1的简谐波, M1M2平面是波密介质, 反射时反射波的相位改变．介质无吸收，即表明振幅保持不变．
解 (1) s
在M1M2面上反射有半波损失, 所以通过O1点的简谐波在P点的振动方程为

通过O2点的简谐波在P点的振动方程为

(2)由(16-22)式, P点合振动的振幅为

16-16 如图16-16(a), 三列波长均为的简谐波, 各自通过S1、S2、S3后在P点相遇，求P 点的振动方程. 设三列简谐波在 S1、S2、S3 振动的振动方程分别为,
且S2P=4,S1P=S3P=5, 并设介质无吸收.
分析　振动的合成采用旋转矢量法最简便．本题可用旋转矢量法先求第一、二个振动的合振动，再与第三个合成. 以此类推可作多个振动的合成．
解 三列简谐波在P点的振动方程分别为

先将第一列波在P点引起振动的旋转矢量A1与第三列波在P点引起振动的旋转矢量A3合成，合旋转矢量为A13, 如图16-16(b). 合振动方程为

再将A13与A2合成, 合旋转矢量为A合, 如图16-16（c）.合振动方程为

P

S1 S2 S3

(a)
A1

O x
A13

A3

（b）

A2
O x
A13 A合

（c）

图16-16
16-17 沿弦线传播的一入射波的波函数为设波在x=L处(B点)反射, (1)反射点为自由端, 写出以B为原点的反射波的波函数; (2)反射端为固定端又如何?
分析 考虑在自由端反射的反射波无半波损失，在固定端反射的反射波有半波损失，结合波函数的物理意义, 可写出B点的振动方程．沿入射波的传播方向, 波线上各点相位依次落后，且注意到入射波的波函数是以O为原点．B点的坐标为xB=L，于是以B为原点的反射波传到坐标x点时, 传播距离是L-x.

. . x
O B

L

图16-17
解 (1)如图16-17, 反射点B为自由端时, 反射波无半波损失，B点坐标xB=L，B点振动方程为

反射波沿BO方向传播, BO间各点的相位均落后于B点, BO上坐标为x的任一点t时刻相位为

所以B点为自由端时, 以其为原点的反射波波函数为

(2)当反射点B为固定端时, 反射波有半波损失，以B为原点的反射波波函数为

16-18 两列波在同一直线上传播, 波速均为1 m/s.它们的波函数分别为 式中各量均采用国际单位制. (1)试说明在直线上形成驻波, 并给出波腹、波节的位置; (2)求在x=1.2m处的振幅.
分析 两列在同一直线上沿正反方向传播的等振幅相干波叠加形成驻波．驻波波函数为 为振幅项．结合书上对驻波的讨论, 可总结出驻波区别于行波的两个特点：在驻波中无能量传播, 无相位传播．
解 两波函数改写为

所以这两列波是在同一直线上沿正反方向传播的等振幅的相干波，在直线上叠加形成驻波，(16-24)式给出驻波波函数的形式为

与已知条件比较，知
得 s ， Hz， m.
所以驻波波函数为
m
当 x 满足时出现波腹, 即
(k=0,1,2,…..)
解出x=k m出现波腹.
当 x 满足时出现波节, 即
(k=0,1,2,…..)
解出 m出现波节.
(2)x=1.2m处的振幅为
m .
16-19 如图16-19, 位于x=0 处的波源O作简谐振动, 产生振幅为A, 周期为T,波长为的平面简谐波. 波沿x轴负向传播, 在波密介质表面B处反射. 若t=0时波源位移为正最大, 且OB=L, 求:(1)入射波的波函数; (2)以B为原点的反射波的波函数; (3)设L=, 证明BO间形成驻波, 并给出因干涉而静止的点的位置.

B O
x
L

图16-19
分析 将入射波的波函数写出后与习题16-17 联系应不难求解. 解题时需十分留心的是题目已把坐标取定, B点的坐标.
解 (1)波源的初相由下式给出
(1)
(2)
从(1)式解出
满足(2)式, 故
所以以O为原点, 沿x轴负向传播的入射波波函数为

(2)B点坐标xB=-L, 且B点为波密介质表面一点, 在B点反射的反射波有半波损失，B点的振动方程为

反射波沿x轴正向传播, BO间坐标为-x的任一点t时刻相位为

所以以B为原点的反射波波函数为

(3) 因，所以入射波波函数为

反射波波函数为

BO间两波叠加, 合成波为

为驻波.
因干涉而静止点的位置满足

即 (k=0,1,2,….)，且，所以BO间因干涉而静止的点为 处．
16-20 站在铁路附近的观察者, 听到迎面开来的火车笛声频率为440Hz,当火车驶过后, 笛声的频率降为390Hz, 设声音速度为340m/s, 求火车的速度.
分析 据已知, 观察者相对于介质静止, 波源(汽笛)先向着观察者运动后又背离观察者，对照(16-29)式不难求解.
解 设和分别为观察者听到的火车迎面开来和驶过时的频率, 为汽笛的固有频率. 设声速为V, v为火车速度,火车的汽笛是波源. 据(16-29)式, 火车向着观察者运动v>0, 有

火车背着观察者运动v<0, 有

两式相除得
解出火车速度
16-21 水下甲潜艇静止, 乙潜艇以航速v向着甲运动. 为了测定乙潜艇的航速, 甲潜艇上的人员用声纳装置向乙潜艇发出频率为的超声波. 若甲潜艇收到的反射波的频率为, 试确定与、v间的关系（已知超声波在水中传播速度为u）.
分析 超声波是指频率高于2000Hz的机械纵波，具有频率高、波长短、强度大特点，因而有良好的定向传播性能和很强的穿透本领. 由于海水导电性能好，对电磁波有很强的吸收，因而依赖发射、接收电磁波而工作的电磁雷达无法在海水中使用. 利用超声波制成的超声波雷达——声纳应运而生.
解 超声波从甲传到乙时， 甲为波源静止，频率为. 乙为接收者，以
v向着甲运动, v<0. 据(16-28)式, 乙接收到的频率为

超声波从乙传到甲时，甲为接收者，静止. 乙为波源，频率为，以v向着甲运动, v>0. 由(16-29)式, 甲接收到的反射波频率为