高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第五节推理与证明AB卷文1.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【大高考】2017 版高考数学一轮总复习第 7 章 不等式、推理与证明 第五节推理与证明 AB卷 文 新人教 A版1.(2016 新课标全国，4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15，B点表示四月的平均最低气温约为5.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 的月份有5 个解析由题意知，平均最高气温高于20 的六月，七月，八月，故选D.答案D 2.(2016新课标全国，16)有三张卡片，分别写有1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和 2”或“1 和 3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和 3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和 3”.答案1 和 3 3.(2014课标，14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为_.解析根据甲和丙的回答推测乙没去过B城市，又知乙没去过C城市，故乙去过A城市.答案A小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.(2016 浙江，8)如图，点列 An，Bn 分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，n N*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示点P与Q不重合).若dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，则()A.Sn 是等差数列B.S2n 是 等差数列C.dn 是等差数列D.d2n是等差数列解析Sn表示点An到对面直线的距离(设为hn)乘以|BnBn1|长度一半，即Sn12hn|BnBn1|，由题目中条件可知|BnBn 1|的长度为定值，过A1作垂直得到初始距离h1，那么A1，An和两个垂足构成等腰梯形，则hnh1|A1An|tan(其中 为两条线所成的锐角，为定值)，从而Sn12(h1|A1An|tan )|BnBn1|，Sn 112(h1|A1An1|)|BnBn1|，则Sn1Sn12|AnAn1|BnBn1|tan，都为定值，所以Sn1Sn为定值，故选A.答案A 2.(2016山东，12)观察下列等式：sin 32sin 2324312；sin 52 sin 252 sin 352 sin 4524323；sin 72 sin 272 sin 372sin 6724334；sin 92sin 292sin 392sin 8924345；照此规律，sin 2n1 2 sin 22n1 2 sin 32n12sin 2n2n12_.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析观察等式右边的规律：第1 个数都是43，第 2 个数对应行数n，第 3 个数为n1.答案43n(n1)3.(2015陕西，16)观察下列等式112121121314131411213141516141516据此规律，第n个等式可为 _.解析等式左边的特征：第 1 个等式有2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个有 6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为112131412n112n；等式右边的特征：第 1 个有 1 项，第 2 个有 2 项，第 3 个有 3 项，故第n个有n项，且有前几个的规律不难发现第n个等式右边应为1n11n212n.答案112131412n112n1n11n 212n4.(2013陕西，13)观察下列等式(1 1)21(2 1)(2 2)2213(3 1)(3 2)(3 3)23135 照此规律，第n个等式可为 _.解析观察规律，等号左侧为(n1)(n2)(nn)，等号右侧分两部分，一部分是2n，另一部分是13(2n1).答案(n1)(n2)(nn)2n 13(2n1)5.(2014福建，16)已知集合 a，b，c0，1，2，且下列三个关系：a2；b2；c0 有且只有一个正确，则100a10bc等于 _.解析可分下列三种情形：(1)若只有正确，则a2，b2，c0，所以ab 1与集小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学合元素的互异性相矛盾，所以只有正确是不可能的；(2)若只有正确，则b2，a 2，c0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有正确是不可能的；(3)若只有正确，则c0，a2，b2，所以b0，c1，所以 100a10bc1002100 1201.答案201 6.(2014 山东，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3axb0 没有实根B.方程x3axb0 至多有一个实根C.方程x3axb0 至多有两个实根D.方程x3axb0 恰好有两个实根解析至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x3axb0 没有实根”.答案A 7.(2016浙江，20)设函数f(x)x311x，x0，1，证明：(1)f(x)1xx2；(2)34f(x)32.证明(1)因为 1xx2x31（x）41（x）1x41x，由于x0，1，有1x41x1x1，即 1xx2x31x1，所以f(x)1xx2.(2)由0 x1得x3x，故f(x)x31x1x1x1x1x13232（x1）（2x 1）2（x1）3232，所以f(x)32.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由(1)得f(x)1xx2x1223434，又因为f12192434，所以f(x)34.综上，34f(x)32.8.(2015四川，21)已知函数f(x)2xln xx22axa2，其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0 在区间(1，)内有唯一解.(1)解由已知，函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(x1ln xa)，所以g(x)22x2（x 1）x，当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递增.(2)证明由f(x)2(x1ln xa)0，解得ax1ln x，令(x)2xln xx22x(x1ln x)(x1ln x)2(1 ln x)22xln x，则(1)1 0，(e)2(2 e)0，于是，存在x0(1，e)，使得(x0)0，令a0 x01ln x0u(x0)，其中u(x)x1ln x(x1)，由u(x)11x0 知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增，故 0u(1)a0u(x0)u(e)e21，即a0(0，1)，当aa0时，有f(x0)0，f(x0)(x0)0，再由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递增，当x(1，x0)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学又当x(0，1 时，f(x)(xa0)22xln x0，故x(0，)时，f(x)0，综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0 恒成立，且f(x)0 在区间(1，)内有唯一解.9.(2015江苏，20)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列.(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a1，d及正整数n，k，使得an1，ank2，an 2k3，an3k4依次构成等比数列？并说明理由.(1)证明因为2an12an2an1an2d(n1，2，3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列，(2)解令a1da，则a1，a2，a3，a4分别为ad，a，ad，a2d(ad，a 2d，d 0).假设存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4(ad)(ad)3，且(ad)6a2(a2d)4.令tda，则 1(1 t)(1 t)3，且(1 t)6(1 2t)412t1，t0，化简得t32t22 0(*)，且t2t1.将t2t1 代入(*)式，t(t1)2(t 1)2t2 3tt 13t 4t1 0，则t14.显然t14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立.因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列.(3)解假设存在a1，d及正整数n，k，使得an1，an k2，an2k3，an3k4依次构成等比数列，则an1(a12d)n2k(a1d)2(nk)，且(a1d)nk(a13d)n3k(a12d)2(n2k).分别在两个等式的两边同除以a2（nk）1及a2（n 2k）1，并令tda1t13，t0，则(1 2t)n2k(1t)2(nk)，且(1 t)nk(1 3t)n3k(12t)2(n2k).将上述两个等式两边取对数，得(n2k)ln(12t)2(nk)ln(1t)，且(nk)ln(1t)(n3k)ln(13t)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 2(n2k)ln(12t).化简得 2kln(12t)ln(1 t)n2ln(1t)ln(1 2t)，且 3kln(13t)ln(1 t)n3ln(1t)ln(1 3t).再将这两式相除，化简得ln(1 3t)ln(12t)3ln(1 2t)ln(1t)4ln(1 3t)ln(1t)(*).令g(t)4ln(1 3t)ln(1t)ln(1 3t)ln(12t)3ln(1 2t)ln(1t)，则g(t)2（13t）2ln（13t）3（12t）2ln（1 2t）3（1t）2ln（1t）（1t）（12t）（13t）.令(t)(1 3t)2ln(1 3t)3(1 2t)2ln(1 2t)3(1 t)2ln(1 t)，则(t)6(1 3t)ln(1 3t)2(12t)ln(1 2t)(1 t)ln(1t).令 1(t)(t)，则 1(t)63ln(13t)4ln(1 2t)ln(1 t).令 2(t)1(t)，则 2(t)12（1t）（12t）（13t）0.由g(0)(0)1(0)2(0)0，2(t)0，知 2(t)，1(t)，(t)，g(t)在 13，0 和(0，)上均单调.故g(t)只有唯一零点t0，即方程(*)只有唯一解t0，故假设不成立.所以不存在a1，d及正整数n，k，使得an1，ank2，an 2k3，an3k4依次构成等比数列.10.(2014天津，20)已知q和n均为给定的大于1 的自然数.设集合M 0，1，2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n.(1)当q2，n3 时，用列举法表示集合A；(2)设s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i 1，2，n.证明：若anbn，则st.(1)解当q2，n3 时，M0，1，A x|xx1x22x322，xiM，i1，2，3.可得，A0，1，2，3，4，5，6，7.(2)证明由s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn 1，ai，biM，i 1，2，n及anbn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q 1)q(q1)qn2qn 1（q1）（1qn1）1qqn1 10.所以，st.