2021高考数学(福建-理)一轮作业：10.3-二项式定理.docx

10.3 二项式定理一、选择题1二项式6的开放式中的常数项是()A20 B20C160 D160解析 二项式(2x)6的开放式的通项是Tr1C(2x)6rrC26r(1)rx62r.令62r0，得r3，因此二项式(2x)6的开放式中的常数项是C263(1)3160.答案 D2若二项式n的开放式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为()A6 B10 C12 D15解析Tr1C()nrr(2)rCx，当r4时，0，又nN*，n12.答案C3.(1t)3dt的开放式中x的系数是()A1 B1C4 D4解析 (1t)3dt，故这个开放式中x的系数是1.答案B4已知8开放式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则开放式中各项系数的和是()A28 B38 C1或38 D1或28解析由题意知C(a)41 120，解得a2，令x1，得开放式各项系数和为(1a)81或38.答案C5设n的开放式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN240，则开放式中x的系数为()A150 B150 C300 D300解析由已知条件4n2n240，解得n4，Tr1C(5x)4rr(1)r54rCx4，令41，得r2，T3150x.答案B6.2n开放式的第6项系数最大，则其常数项为()A120 B252C210 D45解析 依据二项式系数的性质，得2n10，故二项式2n的开放式的通项公式是Tr1C()10rrCx5，依据题意50，解得r6，故所求的常数项等于CC210.正确选项为C.答案C7在(x)2 006的二项开放式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x时，S等于()A23 008 B23 008 C23 009 D23 009解析(x)2 006x2 006Cx2 005()Cx2 004()2()2 006，由已知条件SC()2 006C()2 006C()2 00622 00521 00323 008.答案B二、填空题8(1x)3(1)3的开放式中的系数是_解析 利用二项式定理得(1x)33的开放式的各项为CxrCxnCCxrn，令rn1，故可得开放式中含项的是，即(1x)33的开放式中的系数是15.答案 159 设x6a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4a5(x1)5a6(x1)6，则a3_.解析 x61(x1)6，故a3C20.答案 2010若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_.解析令x1，则a0a1a2a1236，令x1，则a0a1a2a121，a0a2a4a12.令x0，则a01，a2a4a121364.答案36411已知(1xx2)n的开放式中没有常数项，nN*且2n8，则n_.解析n开放式中的通项为Tr1CxnrrCxn4r(r0,1,2，8)，将n2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知n5.答案n512若(cosx)5的开放式中x3的系数为2，则sin_.解析 由二项式定理得，x3的系数为Ccos22，cos2，故sincos22cos21.答案 三、解答题13若n的开放式中各项系数和为1 024，试确定开放式中含x的整数次幂的项解析 令x1，则22n1 024，n5.Tr1C(3x)5rrC35r，含x的整数次幂即使为整数，r0、r2、r4，有3项，即 T1243x5，T3270x2，T515x1.14在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和(1)试用组合数表示这个一般规律：(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前全部数之和；(3)摸索究在杨辉三角形的某一行能否毁灭三个连续的数，使它们的比是345，并证明你的结论第0行1第1行 11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561解析(1)CCC(2)12222n2n11(3)设CCC345由，得即3n7r30由，得即4n9r50解联立方程组得n62，r27即CCC345.15已知等差数列2,5,8，与等比数列2,4,8，求两数列公共项按原来挨次排列构成新数列Cn的通项公式解析等差数列2,5,8，的通项公式为an3n1，等比数列2,4,8，的通项公式为bk 2k ，令3n12k ，nN*，k N*，即n，当k 2m1时，mN*，nN*，Cnb2n122n1(nN*)16已知f(x).(1)试证：f(x)在(，)上为单调递增函数；(2)若nN*，且n3，试证：f(n).证明(1)任取x1，x2(，)设x1x2，f(x1)f(x2)，由x1x2则2x12x2，2x12x20.因此f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，因此f(x)在(，)上单调递增(2)当nN*且n3，要证f(n)，即，只须证2n2n1，2nCCCCCCC2n1.f(n).